第二单元 因数和倍数（单元复习课件）-2025-2026学年人教版数学五年级下册重点难点举一反三讲义

该小学数学课件系统梳理了因数与倍数、2/5/3的倍数特征、奇数偶数、质数合数等核心知识，通过导图指引构建知识框架，将定义、特征、方法等内容分点梳理，形成逻辑清晰的知识网络。 其亮点在于采用“典例精讲-变式训练-真题实战”的复习策略，如通过装蛋挞、猜号码等实际问题培养学生的数学应用意识和推理能力。分层训练涵盖基础夯实与创新拓展，满足不同学生需求，帮助教师精准教学，有效巩固知识。

第二单元 因数和倍数 人教版五年级下册单元复习举一反三培优讲练 CONTENTS 目录 1. 导图指引 2. 知识点梳理 3. 重点难点考点讲练 4. 真题实战演练 5. 难点分层训练 01 导图指引 Part 导图指引 02 知识点梳理 Part 知识点一：因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 2、5、3倍数特征之间的联系 3的倍数特征 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征 个位上是0或5的数是5的倍数。 知识点二：2、5、3的倍数特征 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 定义 分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 注意事项 知识点五：分解质因数 03 重点难点考点讲练 Part 典例精讲 高频考点一：根据因数的特征解决问题 （24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 变式训练 高频考点一：根据因数的特征解决问题 （23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ （1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 典例精讲 高频考点二：根据倍数的特征解决问题 （22-23五年级下·安徽马鞍山·期中）饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 变式训练 高频考点二：根据倍数的特征解决问题 欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 22÷3＝7（元）……1（元） 答：钢笔上的标价为整数，买了3支相同的钢笔，付的钱应该是3的倍数，但22不是3的倍数。所以售货员的说法错误。 典例精讲 高频考点三：倍数和因数的综合应用 （23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b a的最大因数是a；b的最小倍数是b； a的最大因数等于b的最小倍数，则a＝b。 如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较，a＝b。 故答案为：C 变式训练 高频考点三：倍数和因数的综合应用 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 典例精讲 高频考点四：2、5的倍数特征 （25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位是0或5，十位最小是1，1＋5＝6，6÷3＝2，所以这个数最小是15； 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数的个位只能是0，则十位最小是3，所以这个数最小是30。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是15；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是30。 典例精讲 高频考点五：奇数与偶数的认识 （24-25五年级下·全国·课后作业）一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。 (1)翻动15次后杯口朝( )，翻动20次后杯口朝( )。 (2)得出上述答案的理由：15是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )；20是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )。 （1）由分析可知，翻动15次后杯口朝下，翻动20次后杯口朝上。 （2）得出上述答案的理由：15是奇数，当翻动奇数次时，杯口朝下；20是偶数，当翻动偶数次时，杯口朝上。 典例精讲 高频考点六：3的倍数特征 （24-25五年级下·山西忻州·期中）为了验证“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，小丽以465为例，把465进行拆分。（如下图） 从图中可以发现，4个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以465就是3的倍数。请你用小丽的方法分一分并说一说564是不是3的倍数？比较两次验证过程，你有什么发现？ 典例精讲 高频考点六：3的倍数特征 从图中可以发现，5个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以564就是3的倍数。 比较两次验证过程，我的发现：示例：判断一个数是否为3的倍数只与各数字各位上数的和有关，与顺序无关。 变式训练 高频考点六：3的倍数特征 （24-25五年级下·广西玉林·期中）一个两位数既有因数3又是5的倍数，而且是偶数，这个两位数最小是（    ）。 A．12 B．15 C．30 D．90 确定个位数字：因为这个数是5的倍数且是偶数，所以个位只能是0。 确定十位数字：当个位是0时，要满足是3的倍数，那么十位上的数是一定3的倍数，所以十位上只能3、6、9，十位上是3时，这个两位数最小。 所以这个两位数最小是30。 故答案为：C 典例精讲 高频考点七：2、3、5的倍数特征综合 （24-25五年级下·浙江杭州·期中）54是一个四位数，它既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最小是( )，最大是( )。 个位必为0，此时四位数为“5□40”； 5＋□＋4＋0＝9＋□ 百位取0，9＋0＝9，能被3整除，最小数是5040； 百位取9，9＋9＝18，能被3整除，最大数是5940。 这个四位数最小是5040，最大是5940。 典例精讲 高频考点八：质数与合数的认识 （24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“运动手环”能记录运动的步数，帮助我们分析运动效果。李爷爷每天早上戴着运动手环去公园锻炼，一天李爷爷锻炼回来发现运动手环记录的步数是一个四位数，千位上的数字是最小的合数，百位上的数字既是偶数又是质数，十位上的数字既不是质数也不是合数，个位上的数字既是奇数又是合数，李爷爷运动手环记录的步数是( )。 最小的合数是4，因此千位数字为4；既是偶数又是质数的数只有2，因此百位数字为2；既不是质数也不是合数的数是1，因此十位数字为1；既是奇数又是合数的个位数是9（9＝3×3），因此个位数字为9；将各位数字组合，得到四位数4219。 所以李爷爷运动手环记录的步数是4219。 典例精讲 高频考点九：质数与合数的综合应用 （22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 个位：既是偶数，又是质数，这个数是2。 十位：既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是6。 千位：既不是质数，也不是合数，这个数是1。 万位：既是奇数，又是合数，这个数是9。 十万位：一位数中最大的合数，这个数是9。 因此密码是：991652 变式训练 高频考点九：质数与合数的综合应用 一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 32÷2＝16（米） 16＝13＋3＝11＋5 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 所以这个长方形的面积是39平方米或55平方米。 典例精讲 高频考点十：运算性质（奇数和偶数) （24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） （1）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。其中相差2的质数对有3和5、5和7、11和13、17和19。 11和13是20以内的孪生质数。（答案不唯一） （2）因为m是奇数，2是偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为n是奇数，2是偶数，偶数×奇数＝偶数。 和表示孪生质数，那么是奇数，是偶数。 04 真题实战演练 Part 演练1 真题演练 （2025·山东菏泽·小升初真题）两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有（    ）种。 A．4 B．5 C．8 D．9 8－5＝3（cm） 8＋5＝13（cm） 所以3＜第三根木棒长＜13； 因为8＋5＋第三根木棒长＝奇数，即13＋第三根木棒长＝奇数，所以第三根木棒长是偶数； 所以第三根木棒长可能是4、6、8、10、12共5种情况。 两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有5种。 故答案为：B 演练2 真题演练 （2025·湖北武汉·小升初真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 根据分析： 15、25、35、45、65是5的倍数，其中是5的倍数的两位数有5种可能； 12、15、24、36、45、21、51、42、63、54是3的倍数，其中是3的倍数的两位数有10种可能。 演练3 真题演练 （2025·重庆北碚·小升初真题）若自然数能被它各数位上的数字之积整除，我们就称这样的自然数为“闪亮数”。 （1）若三位数为“闪亮数”，请直接写出的值； （2）请求出所有的两位“闪亮数”。 演练3 真题演练 （1）根据“闪亮数”的定义，可知为的倍数，，即能被3整除， 所以必须能被3整除，能被3整除则的取值可以是1、4、7， 又时，＝7……1，有余数，故满足题意的只能是1或7。 答：的值是1、7。 （2）当个位数字为1时，“闪亮数”可以是11； 当个位数字为2时，“闪亮数”可以是12； 当个位数字为3时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为4时，“闪亮数”可以是24； 当个位数字为5时，“闪亮数”可以是15； 当个位数字为6时，“闪亮数”可以是36； 当个位数字为7时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为8时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为9时，不存在“闪亮数”。 答：所有的两位“闪亮数”为：11、12、15、24、36。 05 难度分层训练 Part 基础夯实 能力提升 分层训练 1．（24-25五年级上·吉林四平·期末）两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（    ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 A．48＋46＝94，这两个偶数的和不是98，不符合； B．54＋52＝106，这两个偶数的和不是98，不符合； C．48＋50＝98，且50－48＝2，符合； D．52－46＝6，这两个偶数的差不是2，即不是相邻的偶数，不符合。 所以这两个偶数分别是48和50。 故答案为：C 基础夯实 能力提升 分层训练 2．（24-25五年级下·全国·课后作业）在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 根据分析可知： 在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。 基础夯实 能力提升 分层训练 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 创新拓展 拔尖冲刺 分层训练 1．（25-26五年级上·天津河西·期中）16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 16＝1×16＝2×8＝4×4 ①16÷2＝8（人），可以分成2组，每组8人； ②16÷8＝2（人），可以分成8组，每组2人； ③16÷4＝4（人），可以分成4组，每组4人； 所以一共有3种分法。 故答案为：B 创新拓展 拔尖冲刺 分层训练 2．（25-26五年级上·天津河西·期中）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 根据分析： 10到20之间的5的倍数：10、15、20。 45的因数：1、3、5、9、15、45。 10到20之间公有的数：15。 所以小精灵今年的年龄是15岁。 创新拓展 拔尖冲刺 分层训练 3．（25-26五年级上·广东韶关·期中） （1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 创新拓展 拔尖冲刺 分层训练 （1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 谢谢大家 $