专项复习一 计算十大典型题型（因数和倍数）技巧点拨+题型讲练+优选题拔尖练 共50题-2025-2026学年人教版数学五年级下册培优讲练

专项复习一 计算十大典型题型（因数和倍数） 【原卷版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）a的最大因数是15，a的因数有( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西抚州·期中）一个数既是24的因数，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．4 B．8 C．12 D．16 【变式训练2】（24-25五年级下·广东汕头·期中）一个大于0的整数的最小倍数除以它的最大因数，商是（    ）。 A．1 B．2 C．10 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 【变式训练1】（24-25五年级下·江西九江·期中）49的因数有( )；50以内9的倍数有( )。 【变式训练2】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数的最小倍数是24，这个数的因数有( )个。 题型三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( )（判断对错） 【变式训练2】（24-25五年级下·河南周口·期中）5的倍数中，最小的是( )；100以内3的最大倍数是( )，27的因数中最大的一位数是( ) 题型四：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【变式训练1】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【变式训练2】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 题型五：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 【变式训练1】（24-25六年级上·河南周口·期末）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）先把下面各数填入相应的框里，再填空。 6  9  15  30  70  48  57  91  120  17  75  600 题型六：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）从下面的卡片中任取三张，按要求组成三位数。（每小题写两个） (1)偶数： (2)3的倍数： (3)5的倍数： (4)既是2的倍数，又是3的倍数： (5)既是2的倍数，又是5的倍数： (6)既是2，5的倍数，又是3的倍数： 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北荆州·期中）三个连续奇数的和是189，则这三个奇数分别是 、 、 。 题型七：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个数可以表示为奇数与偶数的乘积，且是3的倍数，这个数可能是（    ）。 A．9 B．14 C．15 D．18 【变式训练1】（24-25五年级下·河南许昌·期中）如果□28是3的倍数，那么□里最大可以填（    ）。 A．2 B．5 C．8 D．9 【变式训练2】（24-25五年级下·山西忻州·期中）小卓在前面学习过程中发现了6的倍数的特征，请你完成他的探究过程。 (1)列举：先按顺序写出一组6的倍数：( )（至少写5个）。 (2)发现： 发现1：这组数的个位上的数是0、2、4、6或8，它们都是2的倍数。 发现2：各位上的数的和分别是( )，它们都是( )的倍数。 (3)结论：既是( )的倍数又是( )的倍数的数一定是6的倍数。 题型八：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）12的因数有( )，50以内12的倍数有( )。同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西宜春·期中）有一个五位数，4□520，既是2的倍数，又同时有因数3和5，□代表的数字最小是( ) 【变式训练2】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）在四位数11□□中的方框里填上数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 题型九：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( )（判断对错） 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 题型十：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【变式训练1】（24-25五年级下·山东济宁·期中）奇数×奇数＝( )，偶数×奇数＝( )。 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）下面算式的结果是奇数还是偶数？填一填。 (1)1＋3＋5＋…＋47＋49，( )。 (2)1×3×5×…×47×49×2，( )。 1．（24-25五年级下·北京大兴·期末）从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．642 B．640 C．420 D．240 2．（24-25五年级下·江西抚州·期末）下面的4个六位数中，B＝0，其中一定同时是2和3的倍数的为（    ）。 A．ABBABA B．AAABAA C．ABBABB D．ABABAB 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 4．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个三位数，各数位上的数字之和是3，这样的数中偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 7．（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□里最小填( )。 8．（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）分一分，填一填。 46  75  97  102  690  37  53  111  68  33  28  305 偶数：       质数： 3的倍数：       5的倍数： 2，3，5的倍数：     既是奇数又是合数： 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2     ②3÷8＝0.375      ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7      ⑤55÷11＝5       ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9       ⑧24÷4＝6      ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①            ）， 第二类：（②                        ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10       7和16      45和60         24和30 12．（24-25五年级下·江西九江·期中）对号入座。 19、24、37、50、57、65、88、93、97、102 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝      ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝       ⑤43＋15＝       ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 14．（23-24五年级下·全国·课后作业）下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 15．（22-23五年级下·全国·单元测试）找出40的所有因数。 16．写出下面各数的倍数。（各写5个） 1       13        190 17．如果三个连续自然数的和150，这三个自然数分别是多少？ 18．写出下面各数的因数。 3       9      32 19．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和9           8和25          36和18          12和15 20．写出下面各数的倍数。 8   11   5   10 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习一 计算十大典型题型（因数和倍数） 【解析版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）a的最大因数是15，a的因数有( )。 【答案】1，3，5，15 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，据此确定a的值，再找出a的因数即可。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】a的最大因数是15，a就是15。 15＝1×15＝3×5 a的因数有1，3，5，15。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西抚州·期中）一个数既是24的因数，又是4的倍数，这个数不可能是（    ）。 A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【思路引导】要找出既是24的因数又是4的倍数的数，需先列出24的所有因数，再筛选出其中是4的倍数的数，最后判断选项中哪个不符合条件。 【完整解答】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24； 4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28…； 同时满足两个条件的有：4，8，12，24。 A．4；是24的因数，是4的倍数，不符合题意； B．8；是24的因数，是4的倍数，不符合题意。 C．12；是24的因数，是4的倍数，不符合题意。 D．16；不是24的因数，是4的倍数，符合题意。 一个数既是24的因数，又是4的倍数，这个数不可能是16。 故答案为：D 【变式训练2】（24-25五年级下·广东汕头·期中）一个大于0的整数的最小倍数除以它的最大因数，商是（    ）。 A．1 B．2 C．10 【答案】A 【思路引导】一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。据此一个大于0的整数的最小倍数除以它的最大因数，就是这个数÷这个数＝1。 【完整解答】一个大于0的整数的最小倍数除以它的最大因数，商是1。 故答案为：A 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）写出下面各数的所有因数。 13       27 【答案】13的因数：1、13；27的因数：1、3、9、27 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】13＝1×13 13的因数有：1、13 27＝1×27＝3×9 27的因数有：1、3、9、27 【变式训练1】（24-25五年级下·江西九江·期中）49的因数有( )；50以内9的倍数有( )。 【答案】 1，7，49 9，18，27，36，45 【思路引导】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【完整解答】49＝1×49＝7×7 因此，49的因数有（1，7，49）。 9×1＝9，9×2＝18，9×3＝27，9×4＝36，9×5＝45，9×6＝54（超过50，舍去） 因此，50以内9的倍数为（9，18，27，36，45）。 【变式训练2】（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数的最小倍数是24，这个数的因数有( )个。 【答案】8 【思路引导】根据“一个数的最小倍数是它本身”可知，一个数的最小倍数是24，则这个数是24；然后列举出24的所有因数，再数出因数的个数即可。 根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】一个数的最小倍数是24，则这个数是24； 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24； 这个数的因数有8个。 题型三：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是( )。 【答案】18 【思路引导】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54的所有因数和54以内9的倍数，最后从这些数中找出符合条件的最小数，据此解答。 【完整解答】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 由上可知，一个数既是54的因数，又是9的倍数，这个数可能是9，18，27，54，同时有因数2和3，这个数最小是18。 【变式训练1】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，据此解答。 【完整解答】一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，如：8的因数有1，2，4，8，最大的因数是8；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，如：8的倍数有8，16，24，32，40，……最小的倍数是8，所以题目说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】（24-25五年级下·河南周口·期中）5的倍数中，最小的是( )；100以内3的最大倍数是( )，27的因数中最大的一位数是( ) 【答案】 5 99 9 【思路引导】倍数的定义：一个数的倍数是它本身与整数（0 除外）的乘积（如 5×1＝5，5×2＝10，5×3＝15……）。一个数的最小倍数是它本身，据此得出5的最小倍数是5。 根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。需找到 “小于100的最大整数，且是3的倍数”： 先计算 100÷3 的商和余数：100＝3×33＋1，即 100 比3的33倍多1。 因此，3的33倍（3×33＝99）是小于 100 的最大3的倍数（验证：9＋9＝18，18 是3的倍数，符合特征）。 所以，100以内3的最大倍数是 99。 因数是能整除27的整数（即 27÷因数＝整数，无余数）。 27的因数有：1（27÷1＝27）、3（27÷3＝9）、9（27÷9＝3）、27（27÷27＝1）。 从这些因数中筛选 “一位数”：1、3、9（27 是两位数，排除）。 其中最大的一位数是 9。 【完整解答】5的倍数中，最小的是5，100以内3的最大倍数是99，27的因数中最大的一位数是9。 题型四：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【答案】17 【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，一个数的最大因数是17，说明这个数是17，最小倍数也是它本身，即17。 【变式训练1】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【答案】C 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【完整解答】a的最大因数是a；b的最小倍数是b； a的最大因数等于b的最小倍数，则a＝b。 如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较，a＝b。 故答案为：C 【变式训练2】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【思路引导】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【完整解答】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 题型五：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 【答案】(1)52；72 (2)27；57；72；75 (3)25；75 (4)75 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除； （3）5的倍数特征：个位上是0或5的数。 （4）既有因数3又有因数5的数的特征：各个数位上的数字相加，和是3的倍数，且个位上是0或5的数。 【完整解答】（1）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是2的数有52、72，所以可以摆出的2的倍数有52、72； （2）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75； 27各位数字之和：，9是3的倍数，所以27是3的倍数； 57各位数字之和：，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 72各位数字之和：，9是3的倍数，所以72是3的倍数； 75各位数字之和：，75是3的倍数，所以75是3的倍数； 所以3的倍数有27；57；72；75。 （3）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是5的数有25、75，所以可以摆出的5的倍数有25、75。 （4）既有因数3又有因数5的数，就是既是3的倍数又是5的倍数的数。由前面的计算可知，是3的倍数的数有27、72、57、75，是5的倍数的数有25、75，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是75。 【变式训练1】（24-25六年级上·河南周口·期末）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路引导】能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能同时被2，3，5整除的数需要同时满足以上三个条件，即个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除；在四位数150中，个位数字是0，已经满足能被2和5整除的条件，只需考虑各个数位上的数字之和能被3整除；据此解答。 【完整解答】 150中已知数字1、5、0的和为：1＋5＋0＝6；因为6能被3整除，所以里的数字加上6之后仍需是3的倍数；里可填的数字是一位数，找出符合是3的倍数的：6＋0＝6；6＋3＝9；6＋6＝12；6＋9＝15 所以，里可填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）先把下面各数填入相应的框里，再填空。 6  9  15  30  70  48  57  91  120  17  75  600 【答案】2的倍数：6，30，70，48，120，600； 3的倍数：6，9，15，30，48，57，120，75，600； 5的倍数：15，30，70，120，75，600； 同时是2，3，5的倍数的是：30，120，600。 【思路引导】2的倍数：个位上的数字是0、2、4、6、8； 3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数：个位上的数字是0或5； 同时是2，3，5的倍数：个位上的数字是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【完整解答】2的倍数：6，30，70，48，120，600； 3的倍数：6，9，15，30，48，57，120，75，600； 5的倍数：15，30，70，120，75，600； 同时是2，3，5的倍数：30，120，600。 题型六：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【答案】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数。据此解答。 【完整解答】A．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，2m＋2同样是偶数，所以不符合； B．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，1是奇数，2m＋1是奇数，所以符合； C．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m＋1为奇数，若m为奇数，则m＋1为偶数，所以不能确定m＋1为奇数还是偶数，所以不符合； D．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m－1为奇数，若m为奇数，则m－1为偶数，所以不能确定m－1为奇数还是偶数，所以不符合； 故答案为：B 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）从下面的卡片中任取三张，按要求组成三位数。（每小题写两个） (1)偶数： (2)3的倍数： (3)5的倍数： (4)既是2的倍数，又是3的倍数： (5)既是2的倍数，又是5的倍数： (6)既是2，5的倍数，又是3的倍数： 【答案】(1)102，720 (2)102，270 (3)120，710 (4)102，270 (5)120，710 (6)120，210 【思路引导】2的倍数：个位是0，2，4，6，8的数； 3的倍数：各个数位上的数字和是3的倍数的数； 5的倍数：个位是0和5的数； 奇数：个位是1、3、5、7、9的数； 偶数：个位是0、2、4、6、8的数； 结合的时候要满足对应的条件。 【完整解答】（1）偶数：102，720； （2）3的倍数：102，270； （3）5的倍数：120，710； （4）既是2的倍数，又是3的倍数：102，270； （5）既是2的倍数，又是5的倍数：120，710； （6）既是2，5的倍数，又是3的倍数：120，210。 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北荆州·期中）三个连续奇数的和是189，则这三个奇数分别是 、 、 。 【答案】 61 63 65 【思路引导】根据连续奇数的特点，两个相邻的奇数相差2；用这三个连续奇数的和除以3，求出平均数，即是中间的奇数，再用中间的奇数分别减2、加2，求出相邻的另外两个奇数即可。 【完整解答】189÷3＝63 63－2＝61 63＋2＝65 三个连续奇数的和是189，则这三个奇数分别是61、63、65。 题型七：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个数可以表示为奇数与偶数的乘积，且是3的倍数，这个数可能是（    ）。 A．9 B．14 C．15 D．18 【答案】D 【思路引导】因为任何数乘偶数都得偶数，因此奇数与偶数的乘积一定是偶数，即这个数是偶数；3的倍数是指能被3整除的数，符合这两项条件的即为答案。 【完整解答】A.9为奇数，不能表示为奇数与偶数的乘积，排除； B.14是偶数，，商不是整数，所以14不是3的倍数，排除； C.15是奇数，不能表示为奇数与偶数的乘积，排除； D.18是偶数，，商是整数，所以18是3的倍数，符合条件。 故答案为：D 【变式训练1】（24-25五年级下·河南许昌·期中）如果□28是3的倍数，那么□里最大可以填（    ）。 A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】根据3的倍数特征，一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将□28的各位数字相加：□＋2＋8＝□＋10，需满足（□＋10）是3的倍数。 【完整解答】A．2＋10＝12，12是3的倍数。 B．5＋10＝15，15是3的倍数。 C．8＋10＝18，18是3的倍数。 D．9＋10＝19（19÷3余1，不符合）． 8＞5＞2 故答案为：C 【变式训练2】（24-25五年级下·山西忻州·期中）小卓在前面学习过程中发现了6的倍数的特征，请你完成他的探究过程。 (1)列举：先按顺序写出一组6的倍数：( )（至少写5个）。 (2)发现： 发现1：这组数的个位上的数是0、2、4、6或8，它们都是2的倍数。 发现2：各位上的数的和分别是( )，它们都是( )的倍数。 (3)结论：既是( )的倍数又是( )的倍数的数一定是6的倍数。 【答案】(1)6、12、18、24、30… (2) 6、3、9、6、3 3 (3) 2 3 【思路引导】（1）列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此写出一组6的倍数。 （2）个位上的数是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （3）6＝2×3，根据2和3的倍数特征，确定6的倍数的特征，即一个数是2的倍数又是3的倍数，一定是6的倍数。 【完整解答】（1）6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30…… 6的倍数：6、12、18、24、30… （2）1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋0＝3 各位上的数的和分别是6、3、9、6、3，它们都是3的倍数。 （3）结论：既是2的倍数又是3的倍数的数一定是6的倍数。 题型八：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）12的因数有( )，50以内12的倍数有( )。同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 90 120 【思路引导】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。因为12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4，12÷4＝3，12÷6＝2，12÷12＝1，商都是整数且没有余数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，12×5＝60＞50（舍去），所以50以内12的倍数有12，24，36，48。 同时是2和5的倍数：2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，所以数的个位一定是0；有因数3：即这个数是3的倍数，特征是各位数字相加的和是3的倍数。 要找最大两位数，十位需取最大的一位数（从9开始试）；十位是9、个位是0的数是90，各位数字和为9＋0＝9（9是3的倍数），满足所有条件。因此最大两位数是90。 要找最小三位数，百位需取最小的非0一位数（即1），再看十位；百位是1、个位是0，先试十位最小的数0：组成100，各位和为1＋0＋0＝1（1不是3的倍数，不满足）；试十位为1：组成110，各位和为1＋1＋0＝2（2不是3的倍数，不满足）；试十位为2：组成120，各位和为1＋2＋0＝3（3是3的倍数，满足）。因此最小三位数是120。 【完整解答】12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12÷4＝3 12÷6＝2 12÷12＝1 商都是整数且没有余数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 所以50以内12的倍数有12，24，36，48。 最大两位数：90，9＋0＝9（9是3的倍数） 最小三位数：120，1＋2＋0＝3（3是3的倍数，满足） 同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90，最小三位数是120。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西宜春·期中）有一个五位数，4□520，既是2的倍数，又同时有因数3和5，□代表的数字最小是( ) 【答案】1 【思路引导】这个五位数要同时是2、3、5的倍数。根据2和5的倍数特征，个位必须是0，题目中的数4□520末尾已经是0，满足条件。接下来需满足3的倍数特征，即所有数位上的数字之和是3的倍数。计算已知数位的和：4＋5＋2＋0＝11，再加上□的值，总和11＋□必须是3的倍数。由此确定□的最小值。 【完整解答】4＋5＋2＋0＝11 11＋1＝12，12是3的倍数。 所以有一个五位数，4□520，既是2的倍数，又同时有因数3和5，□代表的数字最小是1。 【变式训练2】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）在四位数11□□中的方框里填上数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；先确定个位数字为0，再根据3的倍数特征求出符合条件的十位上的数字，据此解答。 【完整解答】分析可知，这个四位数的个位数字为0。 当十位数字为0时，1＋1＋0＋0＝2，2不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为1时，1＋1＋1＋0＝3，3是3的倍数，符合条件； 当十位数字为2时，1＋1＋2＋0＝4，4不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为3时，1＋1＋3＋0＝5，5不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为4时，1＋1＋4＋0＝6，6是3的倍数，符合条件； 当十位数字为5时，1＋1＋5＋0＝7，7不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为6时，1＋1＋6＋0＝8，8不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为7时，1＋1＋7＋0＝9，9是3的倍数，符合条件； 当十位数字为8时，1＋1＋8＋0＝10，10不是3的倍数，不符合条件； 当十位数字为9时，1＋1＋9＋0＝11，11不是3的倍数，不符合条件。 综上所述，最多有3种填法。 故答案为：B 题型九：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用这三张数字卡片组成的三位数一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．奇数 D．偶数 【答案】A 【思路引导】根据“一个数各个数位上的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数”，，9是3的倍数，所以用2、3、4 三张数字卡片组成的所有三位数都是3的倍数， 组成的所有三位数除了1和本身外还有因数3，所 以用2、3、4三张数字卡片组成的所有三位数一 定是合数。据此进行分析。 【完整解答】根据分析得：用这三张数字卡片组成的三位数一定是合数。 故答案为：A 【变式训练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据奇数和偶数的乘法性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。质数中，2是唯一的偶质数，其余都是奇质数。若两个质数的积是奇数，则这两个质数必须都是奇数（因为若有一个是偶数，即2，则积为偶数，与条件矛盾）。 【完整解答】由分析可知，两个质数的积是奇数时，这两个质数一定都是奇数。例如，3和5都是奇质数，它们的积15是奇数；若有一个质数是2（如2和3），积6是偶数，不满足条件。 故答案为：√ 【变式训练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在1，4，11，39，51，23，72这些数中，偶数有( )，奇数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 4，72 1，11，39，51，23 11，23 4，39，51，72 【思路引导】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【完整解答】由分析可知，这些数中，偶数有4，72，奇数有1，11，39，51，23，质数有11，23，合数有4，39，51，72。 题型十：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【答案】(1) 偶 偶 偶 (2) 奇 偶 奇 (3) 奇 偶 【思路引导】（1）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断海海卡片上的数的奇偶性。根据“偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数”进行解答。 （2）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断园园卡片上的数的奇偶性。根据“奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”进行解答。 （3）根据奇数与偶数的运算性质，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行判断即可。 【完整解答】（1），，，， 海海卡片上的数都是偶数，根据偶数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是偶数。 （2），，， 园园卡片上的数都是奇数，根据奇数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数。 （3）海海和园园各拿出一张卡片，海海卡片上的数都是偶数，园园卡片上的数都是奇数，那么卡片上两数的和是奇数，积是偶数。 【变式训练1】（24-25五年级下·山东济宁·期中）奇数×奇数＝( )，偶数×奇数＝( )。 【答案】 奇数 偶数 【思路引导】根据奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，据此解答。 【完整解答】奇数×奇数＝奇数，偶数×奇数＝偶数，例如：1×3＝3，2×3＝6。 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）下面算式的结果是奇数还是偶数？填一填。 (1)1＋3＋5＋…＋47＋49，( )。 (2)1×3×5×…×47×49×2，( )。 【答案】(1)奇数 (2)偶数 【思路引导】（1）奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数个奇数相加，和是奇数，据此分析； （2）奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，若干个自然数相乘，只要有1个偶数，积就是偶数，据此分析。 【完整解答】（1）1、3、5…47、49，共25个奇数相加。 1＋3＋5＋…＋47＋49，结果是奇数。 （2）1×3×5×…×47×49×2，其中2是偶数，无论奇数还是偶数，乘偶数的结果都是偶数。 1×3×5×…×47×49×2，结果是偶数。 1．（24-25五年级下·北京大兴·期末）从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数的最大三位数是（    ）。 A．642 B．640 C．420 D．240 【答案】C 【思路引导】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要想组成的三位数同时是2、3、5的倍数，个位应该是0，还剩下2、4、6这三张卡片，选择2和4，组成的三位数才是3的倍数，那么这个三位数百位上应该是4，十位上应该是2。据此解答。 【完整解答】 从四张数字卡片中任选三张组成一个三位数，同时是2、3、5的倍数，这个数各数位数字之和是3的倍数，且个位只能是0，所以这个数应是420。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·江西抚州·期末）下面的4个六位数中，B＝0，其中一定同时是2和3的倍数的为（    ）。 A．ABBABA B．AAABAA C．ABBABB D．ABABAB 【答案】D 【思路引导】2的倍数的特征是个位数字为0、2、4、6、8 3的倍数的特征是各个数位上的数字之和是3的倍数。 先根据2的倍数特征，将B＝0代入各选项，分析其个位数字是否为0，再根据3的倍数特征判断数字之和是否为3的倍数，从而确定正确选项。 【完整解答】A．ABBABA替换B＝0后为A00A0A，个位数字是A（A为1－9的整数，可能为奇数），不一定是2的倍数； B．AAABAA替换B＝0后为AAA0AA，个位数字是A，不一定是2的倍数； C．ABBABB替换B＝0后为A00A00，个位数字是0，是2的倍数； D．ABABAB替换B＝0后为A0A0A0，个位数字是0，是2的倍数 A00A00的数字之和为A＋0＋0＋A＋0＋0＝2A，2A不一定是3的倍数， 例如A＝1时，2A＝2不是3的倍数； A0A0A0的数字之和为A＋0＋A＋0＋A＋0＝3A，3A一定是3的倍数， 因为3A÷3＝A，A为整数。 所以只有选项D同时满足2和3的倍数特征因此，一定同时是2和3的倍数的选项为D。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【思路引导】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出54的所有因数；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54以内9的倍数，最后找出符合条件的数即可。 【完整解答】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个三位数，各数位上的数字之和是3，这样的数中偶数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】先把3写成三个数字之和，再根据“整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8”写出符合条件的三位数，据此解答。 【完整解答】3＝0＋0＋3＝0＋1＋2＝1＋1＋1 由上可知，各数位上的数字之和是3，这样的数中偶数有300、102、120、210，一共4个。 故答案为：C 5．（24-25五年级下·天津和平·期末）哥德巴赫猜想的内容为“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”下面符合这个猜想的算式是（    ）。 A．45＝2＋43 B．42＝11＋31 C．38＝25＋13 D．16＝7＋9 【答案】B 【思路引导】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；结合质数、偶数的定义，分析算式中的和与加数，由此解答即可。 【完整解答】A．45＝2＋43，其中45不是偶数，所以这个算式45＝2＋43不符合哥德巴赫猜想。 B．42＝11＋31，42是偶数，11和31都是质数，所以算式42＝11＋31符合哥德巴赫猜想。 C．38＝25＋13，38是偶数，25的因数除了1和25外，还有因数5，所以25不是质数，所以算式38＝25＋13不符合哥德巴赫猜想。 D．16＝7＋9，其中9除了因数1和9外，还有因数3，所以9不是质数，算式16＝7＋9不符合哥德巴赫猜想。 所以符合哥德巴赫猜想的算式是42＝11＋31。 故答案为：B 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 【答案】B 【思路引导】数码之和指的是每个数的各位数字相加的总和。 数列为从1到99的连续奇数，包括一位数和两位数，一位数奇数有：1、3、5、7、9，其数码之和为1＋3＋5＋7＋9＝25；两位数奇数（从11到99）：十位数字从1到9，个位数字为1、3、5、7、9，两位数奇数的十位是1~9，每个十位对应5个奇数（如十位是1时，对应11、13、15、17、19），因此十位数码之和为（1＋2＋3＋…＋9）×5＝45×5＝225；个位数码之和为：（1＋3＋5＋7＋9）×9＝25×9＝225。最后将一位数奇数的数码之和和两位数奇数的数码之和（分为十位数码之和和个位数码之和）相加即可。 【完整解答】1＋3＋5＋7＋9 ＝5×5 ＝25 （1＋2＋3＋…＋9）×5 ＝（5×9）×5 ＝45×5 ＝225 （1＋3＋5＋7＋9）×9 ＝（5×5）×9 ＝25×9 ＝225 25＋（225＋225） ＝25＋450 ＝475 因此所有数码（数字）之和等于475。 故答案为：B 【考点再现】本题需把连续奇数1、3、5、…、97、99按一位数、两位数分类，两位数再分为十位数和个位数，分别计算它们的数码之和，再相加。 7．（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□里最小填( )。 【答案】0 【思路引导】既能被2整除，又是3的倍数，就是既是2的倍数又是3的倍数，这样的数个位上是偶数，且各个数位上数字之和是3的倍数。由此判断这个三位数的可能数字。 【完整解答】一个三位数是24□，被2整除，那么□可取0，2，4，6，8。 又是3的倍数，2＋4＋0＝6，6是3的倍数。 2＋4＋6＝12，12是3的倍数。□可取0，6。 0＜6 一个三位数是24□，既能被2整除，又是3的倍数，□最小填0。 8．（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 15 30 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此解答。 【完整解答】一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位是0或5，十位最小是1，1＋5＝6，6÷3＝2，所以这个数最小是15； 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数的个位只能是0，则十位最小是3，所以这个数最小是30。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是15；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是30。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）分一分，填一填。 46  75  97  102  690  37  53  111  68  33  28  305 偶数：       质数： 3的倍数：       5的倍数： 2，3，5的倍数：     既是奇数又是合数： 【答案】 46，102，690，68，28 97，37，53 75，102，690，111，33 75，690，305 690 75，111，33，305 【思路引导】偶数是能被2整除的数，所以偶数有46，102，690，68，28； 质数是只有1和它本身两个因数的数，所以质数有97，37，53； 3的倍数是各位数字之和能被3整除的数75，102，690，111，33； 5的倍数是个位是0或5的数，所以5的倍数有：75，690，305； 同时是2，3，5的倍数需满足个位是0且各位数字之和能被3整除，所以2，3，5的倍数有：690； 奇数是不能被2整除的数，合数是除了1和本身还有其他因数的数，75除了1和75还有3，5等因数，111除了1和111还有3，37等因数，33除了1和33还有3，11等因数，305可被5和61整除，是合数，所以既是奇数又是合数的有：75，111，33，305。 【完整解答】偶数：46，102，690，68，28 质数：97，37，53 3的倍数：75，102，690，111，33 5的倍数：75，690，305 2，3，5的倍数：690 既是奇数又是合数：75，111，33，305 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）观察下面的算式并分类（填序号），然后总结规律。 ①36÷18＝2     ②3÷8＝0.375      ③15÷2＝7.5 ④49÷7＝7      ⑤55÷11＝5       ⑥7÷3＝2……1 ⑦36÷4＝9       ⑧24÷4＝6      ⑨14÷3＝4……2 第一类：（①            ）， 第二类：（②                        ） 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的（    ）数，除数是被除数的（    ）数。 【答案】第一类：（①④⑤⑦⑧），第二类：（②③⑥⑨） 倍，因 【思路引导】观察算式可知，①④⑤⑦⑧属于整数除法，商是整数且无余数；②③⑥⑨属于非整数除法，含小数商或有余数。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。如，我们就说36是18的倍数，18是36的因数。 整数除法中，当被除数能被除数整除（商为整数、无余数）时，被除数与除数存在 “倍数 - 因数” 的关系；若不能整除，则商为小数或存在余数，不构成倍数 - 因数关系。 【完整解答】由分析可得： 第一类：①④⑤⑦⑧； 第二类：②③⑥⑨； 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10                7和16                45和60                24和30 【答案】最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【思路引导】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【完整解答】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 12．（24-25五年级下·江西九江·期中）对号入座。 19、24、37、50、57、65、88、93、97、102 【答案】 见详解 【思路引导】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数； 只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身两个因数外还有其他因数的数是合数； 一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数； 个位数字是0或5的数是5的倍数。据此逐一分析。 【完整解答】19：19÷2＝9……1，19不是2的倍数，是奇数；19＝1×19，只有1和它本身两个因数，是质数；1＋9＝10，10不是3的倍数，所以19不是3的倍数； 24：24÷2＝12，24是2的倍数，是偶数；24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数； 37：37÷2＝18……1，37不是2的倍数，是奇数；37＝1×37，只有1和它本身两个因数，是质数；3＋7＝10，10不是3的倍数，所以37不是3的倍数； 50：50÷2＝25，50是2的倍数，是偶数；50＝1×50＝2×25＝5×10，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；5＋0＝5，5不是3的倍数，所以50不是3的倍数； 57：57÷2＝28……1，57不是2的倍数，是奇数；57＝1×57＝3×19，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；5＋7＝12，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 65：65÷2＝32……1，65不是2的倍数，是奇数；65＝1×65＝5×13，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；6＋5＝11，11不是3的倍数，所以65不是3的倍数； 88：88÷2＝44，88是2的倍数，是偶数；88＝1×88＝2×44＝4×22＝8×11，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；8＋8＝16，16不是3的倍数，所以88不是3的倍数； 93：93÷2＝46……1，93不是2的倍数，是奇数；93＝1×93＝3×31，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；9＋3＝12，12是3的倍数，所以93是3的倍数； 97：97÷2＝48……1，97不是2的倍数，是奇数；97＝1×97，只有1和它本身两个因数，是质数；9＋7＝16，16不是3的倍数，所以97不是3的倍数； 102：102÷2＝51，102是2的倍数，是偶数；102＝1×102＝2×51＝3×34＝6×17，除了1和它本身两个因数外还有其他因数，是合数；1＋0＋2＝3，3是3的倍数，所以102是3的倍数； 综上，奇数有19、37、57、65、93、97，偶数有24、50、88、102； 质数有19、37、97，合数有24、50、57、65、88、93、102； 3的倍数有24、57、93、102； 个位数字是0或5的数有50、65，所以5的倍数有50、65。 13．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝      ②2＋3＝       ③15＋17＝     ④24＋19＝       ⑤43＋15＝       ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 【答案】12；5；32   43；58；39   ②④⑥；①③⑤；偶数；奇数；偶数 【思路引导】先把每个算式算出结果，再根据结果是奇数还是偶数进行分类，再由算式的特征得出发现，据此解答。 【完整解答】①，10和2都是偶数，所得的结果也是偶数，由此可知偶数＋偶数＝偶数 ②，2是偶数，3是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ③，15和17都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ④，24是偶数，19是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ⑤，43和15都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ⑥，21是奇数，18是偶数，所得的结果是奇数，由此可知即奇数＋偶数＝奇数 因此，得数是奇数的算式有（填序号）：②④⑥；得数是偶数的算式有（填序号）：①③⑤； 如下图： 我发现：奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 14．（23-24五年级下·全国·课后作业）下面的3组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ （1）72和8        （2）20和140        （3）17和51 【答案】（1）8是72的因数，72是8的倍数； （2）20是140的因数，140是20的倍数； （3）17是51的因数，51是17的倍数。 【思路引导】 根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此依次进行解答即可。 【完整解答】（1） 8是72的因数，72是8的倍数。 （2）20和140 20是140的因数，140是20的倍数。 （3）17和51 17是51的因数，51是17的倍数。 15．（22-23五年级下·全国·单元测试）找出40的所有因数。 【答案】1、2、4、5、8、10、20、40 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【完整解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 16．写出下面各数的倍数。（各写5个） 1       13        190 【答案】1、2、3、4、5（答案不唯一）； 13、26、39、52、65（答案不唯一）； 190、380、570、760、950（答案不唯一） 【思路引导】利用乘法，分别求出1、13和190的1倍、2倍、3倍、4倍和5倍，即可解题。 【完整解答】1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，所以1的倍数有：1、2、3、4、5； 13×1＝13，13×2＝26，13×3＝39，13×4＝52，13×5＝65，所以13的倍数有：13、26、39、52、65； 190×1＝190，190×2＝380，190×3＝570，190×4＝760，190×5＝950，所以190的倍数有：190、380、570、760、950。 17．如果三个连续自然数的和150，这三个自然数分别是多少？ 【答案】49、50、51 【思路引导】三个连续自然数的和是中间那个数的3倍，用150除以3即可求出中间的数，再分别减去1、加上1求出另外的两个数。 【完整解答】150÷3＝50 50－1＝49 50＋1＝51 18．写出下面各数的因数。 3       9      32 【答案】1、3； 1、3、9； 1、32、2、16、4、8 【思路引导】3是质数，它的因数只有1和本身； 根据求一个数的因数的方法，直接列举即可，在写一个数的因数时，如果有相同的因数，如9＝3×3，只写1个。 【完整解答】3＝1×3，所以3的因数有：1、3； 9＝1×9＝3×3，所以9的因数有：1、3、9； 32＝1×32＝2×16＝4×8，所以32的因数有：1、32、2、16、4、8。 19．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 6和9           8和25          36和18          12和15 【答案】6和9的最大公因数是3，最小公倍数是；8和25的最大公因数是1，最小公倍数是 36和18的最大公因数是18，最小公倍数是36；12和15的最大公因数是3，最小公倍数是 【思路引导】第2组的两个数是互质的，所以最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；第3组的两个数成倍数关系，所以最大公因数是其中较小的数最小公倍数是其中较大的数36；第1、4两组可以先分别列举两个数的因数和倍数，再找到最大公因数和最小公倍数，也可以用短除法或分解质因数法。 【完整解答】   6和9的最大公因数是3， 6和9的最小公倍数是。 8和25的最大公因数是1， 8和25的最小公倍数是。 36和18的最大公因数是18， 36和18的最小公倍数是36。      12和15的最大公因数是3， 12和15的最小公倍数是。 20．写出下面各数的倍数。 8   11   5   10 【答案】8的倍数：8、16、24、32、40、… 11的倍数：11、22、33、44、55、66、… 5的倍数：5、10、15、20、25、… 10的倍数：10、20、30、40、50、… 【思路引导】求一个数的倍数就是用这个数乘正整数，所求得的积就是这个数的倍数，因为一个数的倍数的个数是无限的，所以只要依次列出前几个再用省略号表示即可。 【完整解答】用8、11、5、10这四个数分别与正整数1、2、3、4、5相乘就能求出前五个倍数，然后用省略号表示。 8的倍数：8、16、24、32、40、… 11的倍数：11、22、33、44、55、… 5的倍数：5、10、15、20、25、… 10的倍数：10、20、30、40、50、… 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $