专项复习三 压轴题十三大典型题（因数和倍数）技巧点拨+讲练+优选题拔尖练 共46题-2025-2026学年人教版数学五年级下册培优讲练

该小学数学讲义通过知识框架系统梳理因数与倍数、2/5/3的倍数特征、奇数偶数、质数合数四大核心知识点，以定义解析、特点归纳、公式总结呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点是十三类典型题型的“典例精讲+变式训练”设计，如结合哈沙德数考查因数特征，引导学生用数学思维分析问题，培养推理意识。涵盖不同难度题目，基础生掌握方法，优生拓展思维，助力教师精准教学。

专项复习三 压轴题十三大典型题 （因数和倍数） 【解析版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）画一个面积是的长方形，可以画出（    ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数） 【答案】3，画图见详解。 【思路引导】画一个面积是的长方形，根据乘法算式找出18的因数，即是长方形的长和宽， 当长是18厘米，宽是1厘米，面积是平方厘米； 当长是9厘米，宽是2厘米，面积是平方厘米； 当长是6厘米，宽是3厘米，面积是平方厘米；共3种画法，据此画图。 【完整解答】画一个面积是的长方形，可以画出3种不同的长方形，画图如下： 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）韶关实验小学开展劳动实践活动。五（1）班的一部分同学负责种月季花，每人种的棵数相同。有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的总棵数，如下表。 姓名 聪聪 明明 伶伶 俐俐 棵数 79 83 85 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请结合第二单元知识说明理由。 （2）根据上面信息推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 【答案】（1）伶伶；（2）17人；5棵 【思路引导】（1）每个人种的棵数相同，说明总棵数除了1和它本身两个因数外还有其它的因数，据此只要判断这4个数哪个数的因数至少有3，那么这位同学的说法就正确，叙述理由，可以从因数的个数方面来叙述。 （2）根据（1）可知85的因数，五（1）班种月季花的人数不可能是1，也不可能是85，因为这个人数不符合实际情况，所以这个班种月季花的人数可能是17人，而17乘5得85，所以每人种5棵，据此解答。 【完整解答】（1）85的因数有1、5、17、85。 79的因数有1、79。 83的因数有1、83。 89的因数有1、89。 答：伶伶数对了，因为85的因数有1、5、17、85。 （2）85＝5×17 答：五（1）班种月季花的有17人，平均每人种5棵。 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25六年级上·湖北十堰·期末）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 【答案】13 【思路引导】根据题意[a]表示a的全部因数的和，据此先分别求出[12]与[8]的因数和，然后作差，即可解答。 【完整解答】12的因数有1、2、3、4、6、12； 8的因数有1、2、4、8。 [12]＝1＋2＋3＋4＋6＋12＝28 [8]＝1＋2＋4＋8＝15 [12]－[8] ＝28－15 ＝13 如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝13。 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 【答案】9、18、36 【思路引导】首先找出36的所有因数，然后从这些因数中筛选出是9的倍数的数即可。 【完整解答】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中9、18、36是9的倍数。 则这个数可能是9、18、36。 题型三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 【答案】4 【思路引导】将36名同学排成每列人数相等的队列，那么每列的人数一定是36的因数，所以我们需要找出36的所有因数，据此解答。（答案不唯一） 【完整解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以每列可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36人。 【变式训练】（2025·北京西城·小升初真题）读一读、填一填。 数学中有很多有趣的数，哈沙德数就是其中之一。一个非0自然数，如果各个数位上的数字之和是它的因数，这个数就是哈沙德数。如18，因为1＋8＝9，9是18的因数，所以18是哈沙德数。而19不是哈沙德数，因为1＋9＝10，10不是19的因数。 (1)今年是2025年，2025( )哈沙德数。（括号里填“是”或“不是”。） (2)王丽发现：10、20、30、40都是哈沙德数，她猜测：个位上是0的数都是哈沙德数。但在继续举例验证的过程中，她发现自己的猜测是错误的。请你在50～200中找到能验证王丽的猜测是错误的数，它是( )。（写出一个即可。） 我是这样想的： 。 【答案】(1)是 (2) 130 1＋3＋0＝4，4不是130的因数，130不是哈沙德数 【思路引导】（1）根据题意可知，一个非0自然数，如果各个数位上的数字之和是它的因数，这个数就是哈沙德数。先把2025的各个数位上的数字相加求结果，然后判断结果是否是2025的因数即可。 （2）举例合理即可，例如130，1＋3＋0＝4，4不是130的因数，130不是哈沙德数。 【完整解答】（1）2＋0＋2＋5＝9 2025÷9＝225 9是2025的因数，所以2025是哈沙德数。 （2）王丽的猜测是错误的，例如它是130。我是这样想的：1＋3＋0＝4，4不是130的因数，130不是哈沙德数，所以王丽的猜测是错误的。（答案不唯一） 题型四：找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 【答案】（1）3253不是；254514是；见详解 （2）①见详解； ②7878 【思路引导】（1）3253的末三位数是253，末三位以前的数字是3，判断它们的差能否被13整除即可；254514的末三位数是514，末三位以前的数字组成的数是254，判断它们的差能否被13整除即可； （2）①用表示任意一个四位“间同数”，则这个四位数可以表示为，化简后结果为，由此可知任意一个四位“间同数”都是101的倍数，即任意一个四位“间同数”都能被101整除； ②由上可知，任意一个四位“间同数”可以表示为，因为这个四位数能被13整除，而101不能被13整除，说明一定是13的倍数，即两位数一定是13的倍数，那么这个两位数最小是13，最大是91，最大值与最小值的差为101×（91－13），据此解答。 【完整解答】（1）3253：253－3＝250 250÷13≈19.23 因为3253的末三位与末三位以前的数字组成的数的差不能被13整除，所以3253不是“十三数”。 254514：514－254＝260 260÷13＝20 因为254514的末三位与末三位以前的数字组成的数的差能被13整除，所以254514是“十三数”。 （2）①假设四位间同数为（，）。 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为是101的倍数，所以任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②分析可知，四位“间同数”为，且这个数一定是13的倍数，因为101不能被13整除，所以一定是13的倍数。 13×1＝13 13×2＝26 13×3＝39 13×4＝52 13×5＝65 13×6＝78 13×7＝91 由上可知，最小为13，最大为91。 101×（91－13） ＝101×78 ＝7878 答：满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差是7878。 【考点再现】本题主要考查“十三数”与“间同数”，分析题意理解这两种数的特征，并可以用含有字母的式子表示出任意一个四位“间同数”是解答题目的关键。 【变式训练】（23-24六年级上·湖北黄冈·阶段练习）甲数3＝乙数（甲、乙数为非零自然数），乙数是甲数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．既是倍数，也是因数 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】一个整数能被另一个整数整除，则这个数就是另一个数的倍数，另一个数就是这个数的因数。据此可得出答案。 【完整解答】甲数3＝乙数（甲、乙数为非零自然数），则乙数÷甲数＝3，即乙数能被甲数整除，乙数是甲数的倍数。 故答案为：A 【考点再现】本题主要考查的是因数、倍数的判定，解题的关键是熟练运用因数、倍数的概念，进而得出答案。 题型五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【思路引导】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【完整解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【变式训练】一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【思路引导】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【完整解答】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【考点再现】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 题型六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【完整解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【变式训练】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【思路引导】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【完整解答】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 题型七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）有0、2、4、9四张数字卡片，任意抽取其中的两张组成一个两位数，关于组成的两位数中“是3的倍数”和“是5的倍数”的可能性下列说法正确的是（    ）。 A．抽中3的倍数的可能性大 B．抽中5的倍数的可能性大 C．抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】可先列出用0、2、4、9组成的所有两位数，再分别找出其中是3的倍数和5的倍数的数，最后比较它们的数量来判断可能性大小。 用0、2、4、9组成的两位数有：20、24、29、40、42、49、90、92、94，共9个。根据3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。24：2＋4＝6，6是3的倍数，所以24是3的倍数。42：4＋2＝6，6是3的倍数，所以42是3的倍数。90：9＋0＝9，9是3的倍数，所以90是3的倍数。所以是3的倍数的数有3个。 根据5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。20：个位是0，是5的倍数。40：个位是0，是5的倍数。90：个位是0，是5的倍数。所以是5的倍数的数有3个。 因为组成的两位数中是3的倍数的数有3个，是5的倍数的数也有3个，所以抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大。 【完整解答】0、2、4、9组成的两位数有：20、24、29、40、42、49、90、92、94，共9个； 3的倍数：24；42；90，共3个； 5的倍数：20；40；90，共3个； 组成的两位数中是3的倍数的数有3个，是5的倍数的数也有3个，所以抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）有一把万能钥匙能同时打开下面图中的3把锁。这把万能钥匙的号码是( )。 【答案】10 【思路引导】万能钥匙的条件一：是一个两位数；条件二：同时是2和5的倍数，根据2和5的倍数特征，个位上是0，所以这个数可能是10、20、30…；条件三：所有因数的和是18。据此分析可能的数，进而找出正确答案。 【完整解答】以10为例，10的因数有1、2、5、10，因数和为1＋2＋5＋10＝18。 若为20，20的因数有1、2、4、5、10、20，因数和为1＋2＋4＋5＋10＋20＝42不等于18，不符合。更大的整十数因数和会更大，所以符合条件的数是10。 这把万能钥匙的号码是10。 题型八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·重庆南川·期末）一个九位数，最高位上是最大的奇数，千万位上是最大的一位数，百万位上的数是6，其余各位上都是0，这个数写作( )，以“亿”作单位保留一位小数约是( )。 【答案】 996000000 10.0亿 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，一位数中最大的奇数是9，最大的一位数也是9，由此写出这个九位数；改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字，先把这个九位数改写成用“亿”作单位的数，再根据“四舍五入”取小数的近似值，据此解答。 【完整解答】分析可知，一个九位数，最高位上是最大的奇数，千万位上是最大的一位数，百万位上的数是6，其余各位上都是0，这个数写作996000000，改写成用“亿”作单位的数是9.96亿，保留一位小数约是10.0亿。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。 (1)最大的奇数 。 (2)最小的偶数 。 (3)5的倍数 。 (4)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数 。 【答案】(1)923 (2)230 (3)320 (4)390 【思路引导】（1）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。较大的3个数是9、3、2，最大的数放到百位，较小的3放到个位即可； （2）较小的3个数是0、3、2，因为0不能在最高位，将2放到百位，0放到个位即可； （3）个位上是0或5的数是5的倍数，据此选出包含0的三个数，将0放到个位即可； （4）既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【完整解答】（1）最大的奇数923。 （2）最小的偶数230。 （3）5的倍数320。（答案不唯一） （4）既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数390。 题型九：3的倍数特征 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 【答案】(1)52；72 (2)27；57；72；75 (3)25；75 (4)75 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除； （3）5的倍数特征：个位上是0或5的数。 （4）既有因数3又有因数5的数的特征：各个数位上的数字相加，和是3的倍数，且个位上是0或5的数。 【完整解答】（1）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是2的数有52、72，所以可以摆出的2的倍数有52、72； （2）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75； 27各位数字之和：，9是3的倍数，所以27是3的倍数； 57各位数字之和：，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 72各位数字之和：，9是3的倍数，所以72是3的倍数； 75各位数字之和：，75是3的倍数，所以75是3的倍数； 所以3的倍数有27；57；72；75。 （3）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是5的数有25、75，所以可以摆出的5的倍数有25、75。 （4）既有因数3又有因数5的数，就是既是3的倍数又是5的倍数的数。由前面的计算可知，是3的倍数的数有27、72、57、75，是5的倍数的数有25、75，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是75。 【变式训练】（2024五年级·全国·竞赛）把1到200这二百个自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数从小到大的排列出来，其中第101个数是( )。 【答案】188 【思路引导】1到200是3的倍数的数有66个，1到200是5的倍数的数有40个，1到200既是3的倍数又是5的倍数的数的数有13个，所以1到200是3的倍数或是5的倍数的数有（个），1到200不是3的倍也不是5的倍数的数有：200-93＝107（个），既不是3的倍数也不是5的倍数的数字从小到大的排列出来，其中第101个数就是倒数第7个，据此求出这个数是188。 【完整解答】解：1到200是3的倍数的数有：[2003]＝66（个）， 1到200是5的倍数的数有：[200÷5]＝40（个）， 1到200是3的倍数也是5的倍数的数有： [200÷15]＝13（个）， 1到200是3的倍数或是5的倍数的数有： 66＋40-13＝93（个）， 1到200不是3的倍也不是5的倍数的数有： 200-93＝107（个）， 第101个数，就是倒数第7个数，将它们从大到小排列是：199、197、196、194、193、191、188 所以从小到大排列，第101个数是188。 【考点再现】本题考查了因数与倍数问题，解决本题的关键是先求出1到200是3或者是5的倍数的数。 题型十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数最大的因数和最小倍数的和是54，这个数是( )，至少再加上( )，它就同时是2、5、3的倍数。 【答案】 27 3 【思路引导】一个数最大因数和最小倍数都是它本身，因此它们的和为这个数的2倍，用54÷2＝27，求出这个数。 2、3、5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。个位是0，同时是2、5、3的倍数的最小两位数是30，用30－27，即可求出至少再加上几同时是2、5、3的倍数。 【完整解答】54÷2＝27 30－27＝3 一个数最大的因数和最小倍数的和是54，这个数是27，至少再加上3，它就同时是2、5、3的倍数。 【变式训练】（22-23五年级下·全国·单元测试）一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且还是一个偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【思路引导】同时是3和5的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，因为这个两位数是一个偶数，所以个位数字只能是0，此时十位数字最小是3，最大是9，据此解答。 【完整解答】分析可知，一个两位数，它既是5的倍数，又是3倍数，而且还是一个偶数，这个数最小是30，最大是90。 题型十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）正方形的边长是质数，它的周长和面积的数值一定是( )（填质数或合数）。 【答案】合数 【思路引导】合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数。 质数一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 再根据正方形的周长＝边长×4；正方形的面积＝边长×边长即可额填空 【完整解答】正方形的周长＝边长×4；则正方形周长的数值除了能被1和本身整除外，还能被边长，2，4整除，则正方形的周长一定为合数； 正方形的面积＝边长×边长，则正方形面积的数值除了能被1和本身整除外，还能被边长整除，则正方形的面积一定为合数； 即正方形的边长是质数，它的周长和面积的数值一定是合数。 【变式训练】（25-26五年级上·河南商丘·期中）萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 【答案】266910724 【思路引导】要得出萱萱的QQ号，我们按顺序分析每一位的数字：首先，2的最大因数是它本身，所以第1位是2；最小的奇数是1，它的6倍是6，第2位是6；10以内有因数3的偶数是6，第3位是6；最大的一位数是9，第4位是9；既不是质数也不是合数的数是1，第5位是1；最小的自然数是0，第6位是0；10以内最大的质数是7，第7位是7；既是质数又是偶数的数是2，第8位是2；最小的合数是4，第9位是4。把这些数字依次排列，萱萱的QQ号就是266910724。 【完整解答】2的最大因数是2；最小的奇数是1，它的6倍是6；10以内有因数3的偶数是6；最大的一位数是9；既不是质数，也不是合数的数是1；最小的自然数是0；10以内最大的质数是7；既是质数，又是偶数的数是2；最小的合数是4。 答：萱萱的QQ号是266910724。 题型十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 【答案】991652 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，写出这个数即可。 【完整解答】个位：既是偶数，又是质数，这个数是2。 十位：既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是6。 千位：既不是质数，也不是合数，这个数是1。 万位：既是奇数，又是合数，这个数是9。 十万位：一位数中最大的合数，这个数是9。 因此密码是：991652 【考点再现】关键是理解因数和倍数的含义，掌握2和3的倍数的特征，掌握奇数、偶数、质数、合数的分类标准。 【变式训练】猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【思路引导】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【完整解答】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 【考点再现】本题考查了质数、合数、因数、奇数的认识。 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 【答案】(1) 11 (2) 相同 【思路引导】一个骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两个骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。偶数：是2的倍数的数叫偶数；个位是0、2、4、6、8的数字是2的倍数；奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此判断谁赢的可能性大。 【完整解答】根据分析得出表格： 2、4、6、8、10、12是偶数，由表格知：点数之和为偶数有18种情况；3、5、7、9、11是奇数，由表格知：点数之和为奇数有18种情况；所以同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。 （1）点数之和共有（11）种可能。 （2）若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性（相同）。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 【答案】14.2 【思路引导】A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大，所以有A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36，由此可知：B＝C－5，D＝C＋3，可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数；在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28，由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28，所以，A、B、C、D、E即可求出，再根据平均数＝总数量÷总份数，问题即可解决。 【完整解答】因为A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大 所以有，A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36 由此可知：B＝C－5，D＝C＋3 可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数 在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28 由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28 所以C＝15 于是A＝7，B＝10，D＝18，E＝21 五个数的平均数为： （7＋10＋15＋18＋21）÷5 ＝71÷5 ＝14.2 答：这五个整数的平均数是14.2。 【考点再现】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法。 1．（25-26五年级上·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各位数字之和是3的倍数，这个数是3的倍数。据此逐一分析。 【完整解答】A．个位数字是4，174是2的倍数，1＋7＋4＝12，12是3的倍数，符合； B．个位数字是7，177不是2的倍数，不符合； C．个位数字是8，178是2的倍数，1＋7＋8＝16，16不是3的倍数，不符合； D．个位数字是9，179不是2的倍数，不符合。 综上，要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填4。 故答案为：A 2．（2025·浙江·小升初模拟）把分别写着1－9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸到（    ）的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】C 【思路引导】1－9的9个数字，其中的质数是2、3、5、7，合数是4、6、8、9，奇数是1、3、5、7、9，偶数是2、4、6、8。9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸出任意一类数字的可能性都有，哪一类数字的个数多，则摸出哪一类数字的可能性就大，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，9个数字中质数有4个，合数有4个，奇数有5个，偶数有4个，5＞4，所以摸出奇数数字卡片的可能性大。 故答案为：C 3．（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】根据题意，转盘被六等分，每个区域面积相等，数字为1、2、3、4、5、6。我们可以先分别数出其中奇数和偶数的个数，结合六等分的条件，说明每个数字被指针指向的机会相同，通过比较奇数和偶数的个数是否相等来判断游戏是否公平，据此解答。 【完整解答】转盘被六等分，共6个数字区域。 奇数有1、3、5，共3个； 偶数有2、4、6，共3个。 因为奇数和偶数的个数一样，且每个区域被指向的机会相同，所以青青和乐乐赢的机会相同，游戏是公平的。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明是偶数，则可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明是3的倍数；前四位数是4的倍数，则组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。 【完整解答】分析可知，一定是5，可能是2、4、6，可能是2、4、6，可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则可能是12、16、32、36，当为12时，只能是3，这个六位数是341256（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数）或361254（3＋6＋1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为16时，只能是3，这个六位数是321654（3＋2＋1＝6，6是3的倍数）或341652（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当为32时，只能是1，这个六位数是143256（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数）或163254（1＋6＋3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为36时，只能是1，这个六位数是123654（1＋2＋3＝6，6是3的倍数）或143652（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意，综上所述，这个六位数是321654或123654，所以是4。 故答案为：B 【考点再现】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。 5．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确； ②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确； ③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确； ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。 【完整解答】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。 故答案为：C 【考点再现】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。 6．（25-26四年级上·河北唐山·期末）18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 【答案】 6 2 9 1 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，先求出18的因数，再根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，其中1既不是质数也不是合数，据此填空即可。 【完整解答】1×18＝18，1和18都是18的因数； 2×9＝18，2和9都是18的因数； 3×6＝18，3和6都是18的因数。 18的因数有：1、2、3、6、9、18 既是偶数又是质数的数：2 既是奇数又是合数的数：9 既不是质数也不是合数的数：1 18的因数有6个，其中既是质数又是偶数的是2，既是合数又是奇数的是9，既不是质数也不是合数的是1。 7．（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【答案】 8 3 5 10 3 7 【思路引导】根据题意，首先明确哥德巴赫猜想（偶数情形）的定义：任何不小于4的偶数，都可以表示为两个质数相加的形式。 确定偶数：选择两个不小于4的不同偶数，比如8和10。 寻找质数组合： 偶数8，先列出小于8的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于8的组合，例如3＋5＝8。 偶数10，列出小于10的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于10的组合，例如3＋7＝10。据此解答。 【完整解答】选择偶数8：质数3与5相加：3＋5＝8 选择偶数10：质数3与7相加：3＋7＝10 综上所述可得，8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 8．（25-26五年级上·湖南永州·期末）一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数。一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字是0。各个数位上的数字的和是3的倍数。 【完整解答】根据分析可知，一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是30，最大是90。 9．（25-26五年级上·广东韶关·期中）郑和是世界航海先驱，他下西洋的首次航行始于公元1405年7月11日，共进行了7次航行，拜访了30多个国家和地区，是15世纪航海史上的空前壮举，比哥伦布发现美洲新大陆早87年，比达•伽马绕过好望角早98年，比麦哲伦到达菲律宾早116年。 上文中出现的“1405，7，11，30，15，87，98，116”这几个数中， (1)质数有( )； (2)既是合数又是奇数的是( )； (3)3的倍数有( )； (4)既是2的倍数，又是5的倍数的是( )，它的因数有( )。 【答案】(1)7，11 (2)1405，15，87 (3)30，15，87 (4) 30 1，2，3，5，6，10，15，30 【思路引导】（1）质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数。 （2）合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 （3）3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。 （4）2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数；既是2的倍数，又是5的倍数，则这个数的末尾是0。因数和倍数定义：如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。根据乘法算式即可找出一个的所有因数。 【完整解答】（1）1405除了1和1405还有5等其他因数； 7只有1和7两个因数； 11只有1和11两个因数； 30除了1和30还有2等其他因数； 15除了1和15还有5等其他因数； 87除了1和87还有3等其他因数、 98除了1和98还有2等其他因数、 116除了1和116还有2等其他因数。 所以质数有7，11。 （2）合数有：1405， 30，15，87，98，116； 奇数有：1405，7，11，15，87； 既是合数又是奇数的是：1405，15，87。 （3）1＋4＋0＋5＝5＋0＋5＝5＋5＝10，10不是3的倍数，所以1405不是3的倍数； 7不是3的倍数； 1＋1＝2，2不是3的倍数； 3＋0＝3，3是3的倍数，所以30是3的倍数； 1＋5＝6，6是3的倍数，所以15是3的倍数； 8＋7＝15，15是3的倍数，所以87是3的倍数； 9＋8＝17，17不是3的倍数，所以98不是3的倍数； 1＋1＋6＝2＋6＝8，8不是3的倍数，所以116不是3的倍数。 因此，3的倍数有：30，15，87。 （4）既是2的倍数，又是5的倍数的是30； 1×30＝2×15＝3×10＝5×6＝30 它的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 10．（2025·广东广州·小升初模拟）设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于 。 【答案】 70 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数，用除法找因数，从1开始试除：因为任何非0自然数都能被1整除，所以从1开始用要找因数的数除以1，得到的商就是它的一个因数；按顺序试除：接着用这个数除以2，若能整除，除数和商都是它的因数；避免重复：当除数和商接近或相等时，就不用再往后除了，因为后面的情况会和前面重复；找出所有因数，通过这样按顺序用除法试除，就能找出这个数的所有因数。 【完整解答】从1开始找3600的因数：3600÷1＝3600，所以1和3600是3600的因数；3600÷2＝1800，所以2和1800是3600的因数；3600÷3＝1200，所以3和1200是3600的因数；3600÷ 4＝900，所以4和900是3600的因数；3600÷5＝720，所以5和720是3600的因数；3600÷6＝600，所以6和600是3600的因数；3600÷8＝450，所以8和450是3600的因数；3600÷9＝400，所以9和400是3600的因数；3600÷10＝360，所以10和360是3600的因数；3600÷12＝300，所以12和300是3600的因数：3600÷15＝240，所以15和240是3600的因数；3600÷16＝225，所以16和225是3600的因数；3600÷18＝200，所以18和200是3600的因数；3600÷20＝180，所以20和180是3600的因数；3600÷24＝150，所以24和150是3600的因数；3600÷25＝144，所以25和144是3600的因数；3600÷30＝120，所以30和120是3600的因数；3600÷36＝100，所以36和100是3600的因数；3600÷40＝90，所以40和90是3600的因数；3600÷45＝80，所以45和80是3600的因数；3600÷48＝75，所以48和75是3600的因数；3600÷50＝72，所以50和72是3600的因数；3600÷60＝60，此时两个因数相同，算1个。经统计，3600的因数有45个，即M＝45。 从1开始找10000的因数：10000÷1＝10000，所以1和10000是10000的因数；10000÷2＝5000，所以2和5000是10000的因数；10000÷4＝2500，所以4和2500是10000的因数；10000÷5＝2000，所以5和2000是10000的因数，10000÷8＝1250，所以8和1250是10000的因数；10000÷10＝1000，所以10和1000是10000的因数；10000÷16＝625，所以16和625是10000的因数；10000÷20＝500，所以20和500是10000的因数；10000÷25＝400，所以25和400是10000的因数；10000÷40＝250，所以40和250是10000的因数；10000÷50＝200，所以50和200是10000的因数；10000÷80＝125，所以80和125是10000的因数；10000÷100＝100，此时两个因数相同，算1个。经统计，10000的因数有25个，即N＝25。 计算M＋N，45＋25＝70。 所以M＋N等于70。 【考点再现】本题的关键在于计算因数时，要不重复，不遗漏，有顺序的计算。 11．（2025五年级下·全国·专题练习）1985199545472能被3整除吗？能被9整除吗？ 【答案】能被3整除，不能被9整除 【思路引导】根据3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；如果一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，那么这个数是9的倍数，据此解答。 【完整解答】1＋9＋8＋5＋1＋9＋9＋5＋4＋5＋4＋7＋2＝69 69÷3＝23，69能被3整除，所以69是3的倍数，即1985199545472能被3整除。 69÷9＝7……6，69不能被9整除，所以69不是9的倍数，即1985199545472不能被9整除。 因此1985199545472能被3整除，不能被9整除。 12．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【完整解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 13．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 【答案】(1)73、63、37、67 (2)30、60、36 (3)30、60、70 (4)30、60 【思路引导】奇数的特征：奇数必须以奇数字结尾，个位上是1、3、5、7、9的数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数； 既是2的倍数，又是3的倍数：所以个位只能是0或6，且各位数字之和能被3整除；既是2的倍数，又是5的倍数：个位上是0的数；同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和能被3整除。 【完整解答】（1）个位为3时，十位可选7或6；个位为7时，十位可选3或6；奇数：73、63、37、67。 （2）个位为0时，十位可选3或6；个位为6时，十位可选3；既是2的倍数，又是3的倍数：30、60、36。 （3）个位是0，十位可选3、7、6，既是2的倍数，又是5的倍数：30、70、60。 （4）个位是0，十位可选3或6，同时是2、3、5的倍数：30、60。 14．（25-26五年级上·全国·单元测试）妙妙和甜甜玩抽纸牌游戏，游戏规则如下：从下面这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相乘，若乘积为3的倍数，则妙妙获胜，否则甜甜获胜，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；理由和公平游戏规则见详解 【思路引导】从4张纸牌（数字为1、3、5、6）中任意取2张，共有6种组合，1和3：乘积为1×3＝3，3是3的倍数。1和5：乘积为1×5＝5，5不是3的倍数。1和6：乘积为1×6＝6，6是3的倍数。3和5：乘积为3×5＝15，15是3的倍数。3和6：乘积为3×6＝18，18是3的倍数。5和6：乘积为5×6＝30，30是3的倍数。在这6种组合中，乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。因此这个游戏不公平。 新规则：从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。计算所有组合的和：1＋3＝4（偶数）。1＋5＝6（偶数）。1＋6＝7（奇数）。3＋5＝8（偶数）。3＋6＝9（奇数）。5＋6＝11（奇数）。和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。 【完整解答】1×3＝3，是3的倍数； 1×5＝5，不是3的倍数； 1×6＝6，是3的倍数； 3×5＝15，是3的倍数； 3×6＝18，是3的倍数； 5×6＝30，是3的倍数； 乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。 从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。 1＋3＝4（偶数） 1＋5＝6（偶数） 1＋6＝7（奇数） 3＋5＝8（偶数） 3＋6＝9（奇数） 5＋6＝11（奇数） 和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。 答：这个游戏不公平，因为妙妙获胜的可能性与甜甜获胜的可能性不相等。公平的游戏规则可以是从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜，若和为偶数，则甜甜获胜。（新规则不唯一） 15．（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人 【思路引导】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。 【完整解答】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39； 其中33和39是奇数，36是偶数， 且39＞36＞33。 答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。 16．（24-25五年级下·河北邢台·期中）有36名同学参加研学，中午自由活动时分成人数相同的小组，要求每组人数必须多于3人，少于18人，一共有几种不同的分组方法？ 【答案】4种 【思路引导】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先找出36的因数，其中大于3小于18的是每组人数，与之相乘等于36的另一个因数是组数。 【完整解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36； 大于3小于18的有：4、6、9、12，共4个。 答：一共有4种不同的分组方法。 17．（2022五年级下·全国·专题练习）一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 【答案】2620或2711 【思路引导】88＝8×11，因为未知的两个数是相同的，所以可以根据能被8和11整除的特征求出各□的数。被8整除的特征是后三位数是8的倍数，所以A＝0或8。当A＝0时，这个六位数是230560，当A＝8时，这个六位数是238568，再分别除以88求商即可。 【完整解答】由分析得， 当A＝0时，这个六位数是230560， 230560÷88＝2620 当A＝8时，这个六位数是238568， 238568÷88＝2711 答：这个数除以88所得的商是2620或2711。 【考点再现】此题考查的是倍数的应用，解答此题关键是掌握能被8整除的特征。 18．学校组建合唱团，五年级有48人报名，六年级有54人报名。老师准备把两个年级的同学分别分成若干小组进行训练。 （1）要使两个年级每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ （2）暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，最少要花（    ）分钟才能通知到每个人。（直接填出答案即可） 【答案】（1）每组最多有6人 （2）答：最少花7分钟才能通知到每个人。 【思路引导】（1）由题意知：要使两个年级每个小组的人数相同并每组人数最多、这个数值既是48的最大约数，也是54的最大约数。 （2）老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知的一共1＋2＝3个队员，第三分钟可以推出通知的一共3 ＋4＝ 7个队员，以此类推，第四分钟通知的一共7 ＋8＝ 15个队员，第五分钟最多可通知到15 ＋ 16＝ 31个队员， 第六分钟最多可通知到31 ＋ 32 ＝ 63个队员， ……由此问题解决. 【完整解答】（1）48的约数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 54的约数有：1、2、3、6、9、18、27、54 48和54的最大公约数是：6 答：每组最多有6人。 （2）第一分钟通知到1个队员； 第二分钟最多可通知到3个队员； 第三分钟最多可通知到7个队员； 第四分钟最多可通知到15个队员； 第五分钟最多可通知到31个队员； 第六分钟最多可通知到63个队员； 第7分钟最多可通知到127个队员； 127＞48＋54 所以最少需要7分钟. 答：最少花7分钟才能通知到每个人。 【考点再现】在“打电话”的优化问题中：“相互通知” 这种方法最省时，所以它是最优方案；规律是：新接到通知的人数等于前一分钟通知到的师生的总人数，新接到通知的队员数是总人数的一半；本题还可以通过画示意图和列表找打电话最优方案的规律。 19．甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？ 【答案】甲盏灯 【思路引导】根据题意可知，属于周期问题，每四次为一组，奇数组时灯是关着的，偶数组时灯是开着的，用2007÷4可知，共有501组零3次，奇数组时灯全部是关着的，又从丁依次按了3次，则丁、丙、乙都被打开了，只有甲是关着的，据此解答即可。 【完整解答】（组）……3（次）； 答：这时候甲盏灯是关着的。 【考点再现】本题属于周期问题的灵活运用，要明确奇数组时灯全部是关着的，偶数组时灯是开着的。 20．有50名同学去公园游玩，他们准备乘船过河，公园划船处提供了4条船。每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。请你说说每条船上各坐几个同学？ 【答案】19、17、1、13（答案不唯一） 【解析】据题意：有50名同学，每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。即要找出20以内的所有奇数，在这些奇数中任选4个使它们的和等于50即可。 【完整解答】据分析，此题答案不唯一：20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。任选4个的和为50，如：19＋17＋1＋13＝50（人）；15＋13＋17＋5＝50（人）…… 答：每条船上可各坐19人、17人、1人、13人。（答案不唯一） 【考点再现】理解要找20以内的奇数，使其中任意4个的和为50，是解决此题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项复习三 压轴题十三大典型题（因数和倍数） 【原卷版】 知识点一 因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点二 2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） (1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 (3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) (4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点四 质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， (2) 最小的质数是2 最小的合数是4 (3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 (4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 (5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 (6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 题型一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）画一个面积是的长方形，可以画出（    ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数） 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）韶关实验小学开展劳动实践活动。五（1）班的一部分同学负责种月季花，每人种的棵数相同。有几位小朋友数了数五（1）班所种的月季花的总棵数，如下表。 姓名 聪聪 明明 伶伶 俐俐 棵数 79 83 85 89 （1）其中只有一位小朋友数对了，哪位小朋友数对了？请结合第二单元知识说明理由。 （2）根据上面信息推算出五（1）班种月季花的有多少人？平均每人种几棵？ 题型二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25六年级上·湖北十堰·期末）如果用[a]表示a的全部因数的和，如[6]＝1＋2＋3＋6＝12，那么[12]－[8]＝( )。 【变式训练】（25-26五年级上·广东韶关·期中）一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 题型三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是( )人。 【变式训练】（2025·北京西城·小升初真题）读一读、填一填。 数学中有很多有趣的数，哈沙德数就是其中之一。一个非0自然数，如果各个数位上的数字之和是它的因数，这个数就是哈沙德数。如18，因为1＋8＝9，9是18的因数，所以18是哈沙德数。而19不是哈沙德数，因为1＋9＝10，10不是19的因数。 (1)今年是2025年，2025( )哈沙德数。（括号里填“是”或“不是”。） (2)王丽发现：10、20、30、40都是哈沙德数，她猜测：个位上是0的数都是哈沙德数。但在继续举例验证的过程中，她发现自己的猜测是错误的。请你在50～200中找到能验证王丽的猜测是错误的数，它是( )。（写出一个即可。） 我是这样想的： 。 题型四：找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（2025·重庆渝北·小升初真题）一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。 例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383－357＝26。26能被13整除，因此383357是“十三数”。 （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由。 （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 ①求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除。 ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 【变式训练】（23-24六年级上·湖北黄冈·阶段练习）甲数3＝乙数（甲、乙数为非零自然数），乙数是甲数的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．既是倍数，也是因数 D．无法确定 题型五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（23-24五年级下·甘肃武威·期中）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【变式训练】一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 题型六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【变式训练】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 题型七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）有0、2、4、9四张数字卡片，任意抽取其中的两张组成一个两位数，关于组成的两位数中“是3的倍数”和“是5的倍数”的可能性下列说法正确的是（    ）。 A．抽中3的倍数的可能性大 B．抽中5的倍数的可能性大 C．抽中3的倍数和5的倍数的可能性一样大 D．无法判断 【变式训练】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）有一把万能钥匙能同时打开下面图中的3把锁。这把万能钥匙的号码是( )。 题型八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25六年级下·重庆南川·期末）一个九位数，最高位上是最大的奇数，千万位上是最大的一位数，百万位上的数是6，其余各位上都是0，这个数写作( )，以“亿”作单位保留一位小数约是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·甘肃庆阳·期中）从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。 (1)最大的奇数 。 (2)最小的偶数 。 (3)5的倍数 。 (4)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数 。 题型九：3的倍数特征 【典例精讲】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 【变式训练】（2024五年级·全国·竞赛）把1到200这二百个自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数从小到大的排列出来，其中第101个数是( )。 题型十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个数最大的因数和最小倍数的和是54，这个数是( )，至少再加上( )，它就同时是2、5、3的倍数。 【变式训练】（22-23五年级下·全国·单元测试）一个两位数，它既是5的倍数，又是3的倍数，而且还是一个偶数，这个数最小是( )，最大是( )。 题型十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）正方形的边长是质数，它的周长和面积的数值一定是( )（填质数或合数）。 【变式训练】（25-26五年级上·河南商丘·期中）萱萱的QQ号是一个九位数，从左往右依次是：①2的最大因数；②最小的奇数的6倍；③10以内有因数3的偶数；④最大的一位数；⑤既不是质数，也不是合数的数；⑥最小的自然数；⑦10以内最大的质数；⑧既是质数，又是偶数的数；⑨最小的合数。请分析萱萱的QQ号是多少。 题型十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 【变式训练】猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 题型十三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 1．（25-26五年级上·天津河西·期末）要使17既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填（    ）。 A．4 B．7 C．8 D．9 2．（2025·浙江·小升初模拟）把分别写着1－9的9张数字卡片反扣在桌面，打乱顺序后，任意摸出一张，摸到（    ）的可能性最大。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 3．（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 4．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 5．（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26四年级上·河北唐山·期末）18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 7．（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 8．（25-26五年级上·湖南永州·期末）一个两位数既能被2和3整除，又能被5整除，这个两位数最小是( )，最大是( )。 9．（25-26五年级上·广东韶关·期中）郑和是世界航海先驱，他下西洋的首次航行始于公元1405年7月11日，共进行了7次航行，拜访了30多个国家和地区，是15世纪航海史上的空前壮举，比哥伦布发现美洲新大陆早87年，比达•伽马绕过好望角早98年，比麦哲伦到达菲律宾早116年。 上文中出现的“1405，7，11，30，15，87，98，116”这几个数中， (1)质数有( )； (2)既是合数又是奇数的是( )； (3)3的倍数有( )； (4)既是2的倍数，又是5的倍数的是( )，它的因数有( )。 10．（2025·广东广州·小升初模拟）设3600的因数个数为M，10000的因数个数为N，那么M＋N等于 。 11．（2025五年级下·全国·专题练习）1985199545472能被3整除吗？能被9整除吗？ 12．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 13．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 14．（25-26五年级上·全国·单元测试）妙妙和甜甜玩抽纸牌游戏，游戏规则如下：从下面这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相乘，若乘积为3的倍数，则妙妙获胜，否则甜甜获胜，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 15．（24-25五年级下·广西玉林·期中）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 16．（24-25五年级下·河北邢台·期中）有36名同学参加研学，中午自由活动时分成人数相同的小组，要求每组人数必须多于3人，少于18人，一共有几种不同的分组方法？ 17．（2022五年级下·全国·专题练习）一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 18．学校组建合唱团，五年级有48人报名，六年级有54人报名。老师准备把两个年级的同学分别分成若干小组进行训练。 （1）要使两个年级每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ （2）暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式，每分钟通知1人，最少要花（    ）分钟才能通知到每个人。（直接填出答案即可） 19．甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？ 20．有50名同学去公园游玩，他们准备乘船过河，公园划船处提供了4条船。每条船上坐的人数最多不超过20人，而且各不相同，人数都是奇数。请你说说每条船上各坐几个同学？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $