培优02 解直角三角形（10种题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

培优02 解直角三角形 题型1 解直角三角形 解直角三角形选择合适的锐角三角函数的原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据). 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 2．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 4．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，为的直径，，点C为上一点，连接，，平分交于，若，则的长为 ． 5．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 题型2 解非直角三角形 6．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 7．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 9．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长； (2)的正弦值． 题型3 构造直角三角形求不规则图形的面积 11．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 12．（2025·湖南娄底·二模）如图，在菱形中，，内切于菱形，则的面积与菱形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 13．（2024--2025学年人教版九年级数学下册期末模拟卷）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 14．（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是 ． 15．（22-23九年级下·山东·自主招生）（1）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用a、b、α表示）写出探究过程___________． 结论：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角正弦值的一半．如：中，，，，则的面积 （2）如图3，P，Q，R是三边上的点，且 求的值． （3）如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且 求的值． 题型4 网格问题 格点的水平线和竖直线以及格点的个数可以很方便构造相似三角形，然后用相似三角形的性质解决问题.格点中利用平行线可以构成中点或等分点，从而利用锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质解决问题 16．（2025年湖北省荆楚联盟中考三模数学试题）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（　　） A．2 B． C．4 D． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 19．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】（1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】（3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 题型5 解一图多三角形的直角三角形 21．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 22．（2023·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·河南焦作·二模）如图，等边三角形钢架的立柱于点（立柱也用钢制成），的长为．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（   ） A． B． C． D． 题型6 解直角三角形与四边形综合 在四边形、圆等几何问题中，若题目给出某个锐角的三角函数值，则可根据此条件，解这个角(或其等角)所在的直角三角形，得到线段长度，进而得出其他结论. 25．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 26．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 27．（2025·江苏常州·模拟预测）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 28．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． (1)如图1，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (2)如图2，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 题型7 解直角三角形与函数综合 29．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是抛物线第一象限内图像上任意一点，作，交于点，当时，求出点坐标； (3)如图2，点分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 31．（2025·广东广州·二模）如图，已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标； (3)过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值． 32．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求的值； (3)点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 题型8 解直角三角形与动态问题综合 33．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 34．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A．B．C． D． 35．（2023·安徽黄山·二模）如图，四边形ABCD是菱形，，且，作，交的延长线于点E．现将沿的方向平移，得到．设与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）的面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图像为（    ）    A． B． C． D．   36．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，四边形为正方形，且边长，点E是以为直径的圆上一动点，当时，的长度为 ． 37．（2025九年级下·江西·专题练习）创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 38．（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，，分别是直线，的动点，设． (1)如图，若时，写出面积关于角的函数解析式； (2)如图，若时，写出面积关于角的函数解析式． 题型9 胡不归问题 在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段 注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可. 39．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 40．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 43．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是 ． 题型10 12345模型 若两个锐角α、β满足tanα= ，tanβ=，则α+β=45°，上面的条件，只要其中两个条件成立，另一个条件也成立.（知二推一） 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 45．（2023九年级下·全国·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则 ． 46．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ． 47．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 解直角三角形 题型1 解直角三角形 解直角三角形选择合适的锐角三角函数的原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据). 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、解直角三角形；在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得的长即可解题． 【详解】解：在中， ∵，在中， ∵在矩形中，，， 又， ∴ 故答案为：． 2．（2025·青海西宁·三模）如图，，是的两条切线，切点分别为点A，B，连接与相交于点C，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握余弦定义是解答的关键．利用余弦定义可求得，在中，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，是的两条切线，切点分别为点A，B， ∴，，又， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 设，， ∴，则， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，为的直径，，点C为上一点，连接，，平分交于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再利用正切的定义得到，则设，，则，所以，解方程得到，，连接、，过A点作于H，如图，证明为等腰直角三角形得到，接着计算 ，然后利用勾股定理计算出，最后计算即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， 在中，， 设，，则， ，解得， ，， 连接、，过A点作于H，如图， ∵平分交于D， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 在中，， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 5．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)3 【分析】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型2 解非直角三角形 6．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 7．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 题型3 构造直角三角形求不规则图形的面积 11．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 12．（2025·湖南娄底·二模）如图，在菱形中，，内切于菱形，则的面积与菱形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 设、、上的切点分别为，连接，则，再说明是直角三角形，分别用表示出的长，最后根据面积法求解即可． 【详解】解：如图：设、、上的切点分别为，连接，则， ∵内切于菱形， ， 平分，平分， ， ， ∵菱形中，， ∴， ， ， ， ， ， 故选：D． 13．（2024--2025学年人教版九年级数学下册期末模拟卷）在中，为钝角，若，，，则的面积等于 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角函数并运用分类讨论思想是解题的关键． 如图：作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①如图1，当位于异侧时， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当位于的同侧时， 由①知，，，， ∴， ∴． 综上，的面积是或． 故答案为或． 14．（24-25九年级下·浙江台州·自主招生）如图，一个六边形的六个内角都是，连续四边的长依次是、、、．则该六边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查面积及等积变换，解直角三角形，解答本题的关键是把这个六边形进行拆分，充分利用内角都为这一特点．首先把这个六边形分割成两个等腰三角形，一个矩形和一个直角梯形，分别根据面积公式求出三角形、矩形和梯形的面积，这些图形的面积之和即为六边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，过上点作，作于点，作于点， 六边形的六个内角都是， 和均为等腰三角形，四边形为矩形，四边形为直角梯形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 六边形的面积是， 故答案为：． 15．（22-23九年级下·山东·自主招生）（1）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积． 为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究． 探究一：如图1，在中，，，，，求的面积． 探究二：如图2，中，，，，求的面积（用a、b、α表示）写出探究过程___________． 结论：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是，两边之积乘以两边所夹角正弦值的一半．如：中，，，，则的面积 （2）如图3，P，Q，R是三边上的点，且 求的值． （3）如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且 求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）探究一：先利用正弦得到，再表示出的面积； 探究二：作，垂足为D，求出，再表示出的面积； （2）先得出，，从而可求得； （3）先求得，再求得，，从而可得的值． 【详解】解：（1）探究一：在中，， ∴， ∴， ∴； 探究二：作，垂足为D， 因为， 所以， （2）因为， 同理可得， 所以； （3）连接、，由上面的方法易知， ， 所以， 同理， 所以． 题型4 网格问题 格点的水平线和竖直线以及格点的个数可以很方便构造相似三角形，然后用相似三角形的性质解决问题.格点中利用平行线可以构成中点或等分点，从而利用锐角三角函数以及相似三角形的判定与性质解决问题 16．（2025年湖北省荆楚联盟中考三模数学试题）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，正六边形的性质，矩形的性质与判定等等，由正六边形的性质可知，格点A、B、G、D四点共线，格点C、E、F、D四点共线，过格点P和M分别作的垂线，垂足分别为Q、N，求出，解直角三角形得到，，，证明四边形是矩形，得到，则，进而得到，则，求出点A到的距离为，根据，可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，由正六边形的性质可知，格点A、B、G、D四点共线，格点C、E、F、D四点共线， 过格点P和M分别作的垂线，垂足分别为Q、N， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴，，， 同理可得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 由题意得：， ∴， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 19．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）取格点，连接交于点，点即为所求； （2）取格点，，连接交于点，点即为所求； （3）构造直角三角形，交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）如图②中，点即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图③中，点即为所求． ∵， ∴． 20．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型5 解一图多三角形的直角三角形 21．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B．    22．（2023·山东淄博·二模）如图，在中，，是的中点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过作于，由锐角的正切求出的长，由勾股定理求出长，由的正切，勾股定理求出长，即可求解． 【详解】解：过作于， 是的中点， ， ，，， ， ， ， ， ， 令，， ， ， ， ． 故选：B 23．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，，于D，的平分线交于E，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：，，，代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴、、是直角三角形， ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．（2025·河南焦作·二模）如图，等边三角形钢架的立柱于点（立柱也用钢制成），的长为．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：A． 题型6 解直角三角形与四边形综合 在四边形、圆等几何问题中，若题目给出某个锐角的三角函数值，则可根据此条件，解这个角(或其等角)所在的直角三角形，得到线段长度，进而得出其他结论. 25．（2026·江西·模拟预测）新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为． (1)连接，求的长； (2)求该置物架所占用墙面的宽度 d． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．先求出，，过点C作，垂足为H，证明四边形为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：共线，连接，过点Q作，垂足为N，则，求出，在求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R． ， ，   ，   ， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 过点C作，垂足为H， 则， ∵ ∴四边形为矩形，     ， ∴， ； （2）如图（2），由题意得：共线，连接， 过点Q作，垂足为N， 则 ， 在中， ， ， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接， 则， 是等边三角形， ，    ， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为． 26．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质、面积法及正弦的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质得出，再结合平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可解决问题． （2）先求出的长，进一步得出的长，再过点C作的垂线，垂足为M，结合面积法求出的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 在中， ． 在中， ， 过点C作，垂足为M，如图 ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． 27．（2025·江苏常州·模拟预测）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，综合较强，证明三角形相似和全等是解题的关键． 28．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． (1)如图1，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． (2)如图2，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）过点作于点，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论； （2）分三种情形：①当时；②当时；③当时，点与重合．分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）①如图，当时，延长交于，设， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型7 解直角三角形与函数综合 29．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3； (2)， (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，设平移后的直线的解析式为，把点M的坐标代入求出n，过点作于H，则直线的解析式为，构建方程组求出点H的坐标，证明，推出可得结论． （3）如图2中，过点G作于H，过点E作于K．证明，由题意，，推出，由，进而求解． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， 解得或6， ∴， ∵直线经过点A， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3；； （2）解：如图1中，设平移后的直线的解析式． ∵平移后的直线经过， ∴， ∴， ∴平移后的直线的解析式为①， 过点作于H， 则直线的解析式为②， 联立①②并解得， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∴． （3）解：存在，理由： 如图2中，过点G作于H，过点E作于K． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 30．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是抛物线第一象限内图像上任意一点，作，交于点，当时，求出点坐标； (3)如图2，点分别是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，得到，进而求解； （3）在轴的下方作，并截取，证明，则当C、D、F共线时，的最小值为，过F点作，交的延长线于点H，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的函数表达式为， 将，代入得，， ， 即； （2）解：∵，， ， ， ， ， 设， 将，坐标分别代入得， ，解得 即， 将代入得，， 即， 设， 将，坐标分别代入得， ，解得 即， ， 设， 将坐标代入得， 解得，， 即， 故，解得，（舍去） ； （3）解：在轴的下方作，并截取， 在和中，     ， ∴， ， ， 当C、D、F三点共线时，的值最小 过F点作，交的延长线于点H， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴当C、D、F三点共线时，， 的最小值． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图像和性质，解直角三角形，三角形全等，线段和最值等知识，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是解题关键． 31．（2025·广东广州·二模）如图，已知抛物线的顶点为，且经过点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点的一条直线与抛物线交于点，且满足，求点的坐标； (3)过点作轴的平行线交轴于点，过点的直线与抛物线交于，两点，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、解直角三角形、矩形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）代入点坐标即可； （2）取的中点，以为边向下作正方形，连接，计算出的长度，过点作于点，求出，进而得到，分两种情况分类讨论，联立直线和抛物线即可求解； （3）设，，，联立直线和抛物线，结合根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴， 即； （2）解：由（1）知， 如图1， 取的中点，以为边向下作正方形，连接， 根据对称性，此时点一定在边上，，， ∵，， ∴，， 过点作于点，则， ∴， ∵， ∴， ①当在轴下方时，，则， 联立， 解得或， ∴； ②当在轴上方时，，则， 联立， 解得或， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2， ∵， ∴， 设，，，且， 联立， 得， 则，， 则， ， ∴ ， ∴． 32．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求的值； (3)点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）由对称轴计算公式可得，再把A、C两点坐标代入解析式中求解即可； （2）解得到，则；求出点B的坐标，取点，连接，可证明是等腰直角三角形，且；取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接，则；可求出，则，解直角三角形得到，则，即点D即为线段与抛物线的交点，如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L，则点D为直线与抛物线的交点，据此求解即可； （3）分为边和对角线两种情况，根据菱形的邻边相等，以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 如图所示，取点，连接， ∴， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且； 如图所示，取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接， ∵，， ∴R的横坐标为，纵坐标为， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D即为线段与抛物线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点D的坐标为； 如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L， ∴点L的横坐标为，纵坐标为， ∴点L的纵坐标为， 同理可证明此时，即， ∴点D为直线与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， 此时点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解： ，， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 设， ∴，， 如图3-1所示，当是菱形的边时，则， ∴，解得或， ∴，， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 同理可得点的坐标为； 如图3-2所示，当是菱形的边时，则， ∴， 解得或， ∴， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 如图3-3所示，当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴， 同理可得； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型8 解直角三角形与动态问题综合 33．（24-25九年级下·河南安阳·期中）如图1，在中，，，，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为，关于的函数图像如图2，当运动时间为时，的值是（   ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了30度角的性质，三角函数． 先求出，判断出运动时间为时，P在上，再求出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当点P在上运动时，作交于D，作交于E， 当时，， ∵， ∴， ∵当，时， ∴， ∴， ∵ ∴点先到达点， 由图像可知，， ， ， 当时，，， 此时， 如图，作交于F， ∵ ∴， ∴的值是， 故选：B． 34．（2024·广东梅州·一模）如图，在等腰梯形中，，，，点沿从点出发向点匀速移动．过点作，交折线于点，记的面积为，则关于时间的函数图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点在线段上；当点在线段上；当点在线段上．分别用含表示出每一种情况的即可． 【详解】解：根据题意知：点的速度为，运动时间为，则， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在等腰梯形中，，，， ∴， 设， 当点在线段上， ，， ∴的面积：， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向上且经过原点并位于第一象限的抛物线的一部分； 当点在线段上， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积：， 此时关于时间的函数图像是正比例函数图像的一部分； 当点在线段上， 则， ∴， ∴的面积： ， ∵，， ∴， 此时关于时间的函数图像是开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，关于时间的函数图像大致是选项D所表示的图像， 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，等腰梯形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，二次函数的定义及图像，正比例函数的定义及图像等知识点，运用了分类讨论的思想．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 35．（2023·安徽黄山·二模）如图，四边形ABCD是菱形，，且，作，交的延长线于点E．现将沿的方向平移，得到．设与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）的面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图像为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意，进行分类讨论，求出不同情况下阴影部分面积的表达式，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，，且， ∴， ∵， ∴，， ∵平移距离为x， ∵沿的方向平移，得到， ∴，，， ∵平移距离为x， ∴， ∴， ∴，， ①当时， ， 整理得：， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值；    ②当时， ∵， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值；当时，有最小值；    ③当时， ， 整理得：， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，    综上：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题于函数图象，解题的关键是正确找出不同情况下阴影部分面积的求法． 36．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图，四边形为正方形，且边长，点E是以为直径的圆上一动点，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了矩形、正方形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握矩形、正方形的判定与性质以及勾股定理是解本题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得，解直角三角形得，过点E分别作于P，于Q，则四边形为矩形，可得出，然后分两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点E是以为直径的圆上一动点， ∴， ∴， ∵， ∴， 设 ∴， ∵，解得：， ∴， 过点E分别作于P，于Q， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，， 当点E在上方时， ∵， ∴， 当点E在下方时， ∵， ∴， ， ∴的长度为或， 故答案为：或． 37．（2025九年级下·江西·专题练习）创新考法结合新定义考查多解题定义：若三角形一边上的高与这边的边长相等，则称此三角形为“完美三角形”．如图，在 中，，，，点P是边上一动点，若是“完美三角形”，则的长为 ． 【答案】4.8或6或7.5 【分析】首先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后根据题意分三种情况讨论：①如图（1），当时，②如图（2），过点B作于点E，当时，设，，得到，然后证明出，得到，代入表示出，然后利用勾股定理求解即可；③如图（3），过点P作于点F，当时，解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 过点A 作于点 D， ∴，即 ∴， 分三种情况讨论： ①如图（1），当时，为“完美三角形”； ②如图（2），过点B作于点E，当时，是“完美三角形”． 设，， ∵ ∴此时点P在点D右侧， ∴， ∵，， ∴， ，即 在中，∵ 整理得， 解得， ∴； ③如图（3），过点P作于点F，当时，是“完美三角形”． ，即 ∴． 综上所述，的长为4.8或6或7.5． 故答案为：4.8或6或7.5． 【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 38．（21-22九年级下·湖南株洲·自主招生）如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，，分别是直线，的动点，设． (1)如图，若时，写出面积关于角的函数解析式； (2)如图，若时，写出面积关于角的函数解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三角形的面积公式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据三角函数的定义分别求出和，再用直角三角形的面积公式即可得解； （）先求出，进而求出的长度, 再依据作边上的高, 得到，最后代入求解化简即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于点， 则， ∴ ． 题型9 胡不归问题 在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型. 而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段 注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可. 39．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解直角三角形，垂线段最短，过点作，可得，则可得 的最小值为点到的垂线段的长度，利用解直角三角形，列方程，求解即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，   ， 由题意可得为的垂直平分线， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度， 如图，   ， 设，则， ， ， ， ， 则可得， 解得， ， 故选：B． 40．（2025·四川自贡·二模）等腰中，，于，点是线段上一个动点．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的有关计算，画出图形，过作于，过作于，根据结合求出，，得到，则，得到，再根据面积求出，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：A． 41．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，垂线段最短，掌握转化思想是解题的关键． 作于，于，由得，继而通过解直角三角形将转化为，而，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于，于． ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，当点共线，且点与点重合时，取得最小值， ∴ 故选：A． 42．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，四边形为平行四边形，，，对角线，P为上一动点，Q为上一定点，则的最小值为 ． 【答案】30 【分析】过点作射线的垂线，垂足分别为，由平行四边形得到，可证明，则，那么，故，而，故，由，则的最小值为，而即可求解． 【详解】解：过点作射线的垂线，垂足分别为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，解直角三角形，垂线段最短，难点在于需要利用“胡不归模型”进行转化． 43．（2025·山东淄博·一模）如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是 ． 【答案】13 【分析】勾股定理求出，进而得到，作，过点作，过点作，则：，得到，进而得到当的值最小时，的值最小，推出当最小时，的值最小，的值最小，圆周角定理，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，过点作，交于点，得到的最小值为的长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作，过点作，过点作，则：， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当最小时，的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，过点作，交于点， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长，此时点与点重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：13． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是确定点的轨迹，以及垂线段最短． 题型10 12345模型 若两个锐角α、β满足tanα= ，tanβ=，则α+β=45°，上面的条件，只要其中两个条件成立，另一个条件也成立.（知二推一） 44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数求得、坐标，再过作的垂线，构造直角三角形，根据勾股定理和正余弦公式求得的长度，得到点坐标，从而得到直线的函数表达式. 【详解】因为一次函数的图像分别交、轴于点、，则，，则．过作于点，因为，所以由勾股定理得，设，则，根据等面积可得：，即，解得．则，即，所以直线的函数表达式是． 【点睛】本题综合考察了一次函数的求解、勾股定理、正余弦公式，以及根据一次函数的解求一次函数的表达式，要学会通过作辅助线得到特殊三角形，以便求解. 45．（2023九年级下·全国·专题练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】取格点C，再根据正切的定义分别求出，，最后相加即可． 【详解】解：如图，取格点C， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求角的正切值．掌握正切的定义并利用数形结合的思想是解题关键． 46．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于两点，已知点，点为线段的中点，连结，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造相似三角形，对的取值分析进行讨论，在时，点在轴的负半轴，而此时，，不合题意；故．由相似比求得边的相应关系． 【详解】解：作，连接．则，,如图， 由可得． ∴， ∴． 当时，， 所以，此时，故不合题意． ∴． ∵， ∴，即， ∴，   ∵点为线段的中点， ∴， ∴，即 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造相似三角形． 47．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出过点D作于点E，依据三角函数值可得从而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，从而可求出CD． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴ 由勾股定理得, 过点D作于点E，如图，    ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 在中, ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $