精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期末阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个各选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分． 1. 在，，，这四个数中，比小的数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 3 D. 5. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A. 4.995×1011 B. 49.95×1010 C. 0.4995×1011 D. 4.995×1010 6. 面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ） A B. 4 C. 2 D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 因式分解_________． 8. 在函数中，自变量的取值范围是________． 9. 一个不透明袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为_______． 10. 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为______． 11. “南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮．它设有个太空舱，每舱可容游客人，舱内有液晶电视冷暖空调，每小时将可容纳近千人“空中”旋转看南昌，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即 长度为 _________．（结果保留） 12. 已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为_________． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共 30 分) 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，，，是垂直平分线，求的长． 14. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 15. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 16. 滕王阁位于江西省南昌市东湖区，始建于唐永徽四年（年），与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”．不少人来到滕王阁，不仅仅满足于品尝美食和拍照留念的“打卡游”，她们更期待穿上与周围环境相协调的传统服饰．这天，小希和小傅两人来到一家汉服店，老板介绍有，，，四款汉服可供选择． （1）小希选中的汉服是款的概率是　　； （2）小希和小傅各自挑选一款喜欢汉服，请用树状图或者列表的方法求出她们心有灵犀选中同一款汉服的概率． 17. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共2 4 分) 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 19. “今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． （1）甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ （2）由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 20. 如图，是△ABC的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接并延长交于点E，若，求的长． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 22. 教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 六、解答题(本大题共 12 分) 23. 如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 初步感知 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， __________； ②S关于t的函数解析式为__________． 深入探究 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为__________； ②求S关于t的函数解析式． 延伸探究 （3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，的值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期末阶段性学习质量检测卷 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个各选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其代码填涂在答题卡相应位置，错选、多选或未选均不得分． 1. 在，，，这四个数中，比小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过比较四个数与的大小关系，找出比小的数，注意负数比较时，绝对值越大，数值越小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 比小的数是， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法法则，二次根式的加减运算法则，同底数幂的除法法则、单项式乘以多项式的运算法则，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数的加法法则，二次根式的加减运算法则，同底数幂的除法法则、单项式乘以多项式的运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、，错误； B、、B， B正确； C、， C错误； D、， D错误. 故选B． 3. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 4. 如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（ ） A. 2 B. －2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解此题的关键是能否得出一个关于b的方程， 把代入方程的出新方程，解方程即可． 【详解】解：把是一元二次方程得： ， 解得：， 故选：D． 5. 舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A. 4.995×1011 B. 49.95×1010 C. 0.4995×1011 D. 4.995×1010 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010． 故选：D． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 面积为6在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵反比例函数的图象经过点B，， ∴， 故选：B． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 因式分解_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，该多项式是平方差形式，可直接应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9. 一个不透明的袋子里装有2个黑球和7个白球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，据此进行计算即可得到答案． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球有种等可能的结果，其中从袋中任意摸出一个球是黑球的结果有2种， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率．熟练掌握概率公式是解题关键． 10. 我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为______． 【答案】 【解析】 分析】设梨买个，果买个，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设梨买个，果买个，那么可列方程组为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 11. “南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮．它设有个太空舱，每舱可容游客人，舱内有液晶电视冷暖空调，每小时将可容纳近千人“空中”旋转看南昌，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即 长度为 _________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得和圆的半径，代入弧长公式即可． 【详解】解：由题意得， 圆的半径为 ， 该轿厢所经过的路径（即长度为， 故答案为：． 12. 已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出点和点的坐标，根据的面积与的面积相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， 解得：或或； 故答案为：或或 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共 30 分) 13. （1）计算：； （2）如图，在中，，，，，是的垂直平分线，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减； （2）首先利用勾股定理求出，设交于点 O，得到，利用平行线分线段成比例得到，，证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】（1） ； （2）在中，，，， ， 如图所示，设交于点 O， ∵是的垂直平分线， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴，， ∴是的中位线， ． 【点睛】此题考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，勾股定理，垂直平分线性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】；1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 详解】解： ， ∵，， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 15. 如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形； （2）如图2，作一个底角为的等腰三角形． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形； （2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 【小问1详解】 解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形； 理由：∵多边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求； 理由：由（1）可得：，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∴是正五边形的对称轴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求作的等腰三角形， 同理可得：即为所求作等腰三角形． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键． 16. 滕王阁位于江西省南昌市东湖区，始建于唐永徽四年（年），与湖南岳阳岳阳楼、湖北武汉黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一、“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”．不少人来到滕王阁，不仅仅满足于品尝美食和拍照留念的“打卡游”，她们更期待穿上与周围环境相协调的传统服饰．这天，小希和小傅两人来到一家汉服店，老板介绍有，，，四款汉服可供选择． （1）小希选中的汉服是款的概率是　　； （2）小希和小傅各自挑选一款喜欢的汉服，请用树状图或者列表的方法求出她们心有灵犀选中同一款汉服的概率． 【答案】（1） （2）树状图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求概率，正确的列出表格，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可． （2）画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：老板介绍有，，，四款汉服可供选择， 小希选中的汉服是款的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中她们心有灵犀选中同一款汉服的结果有种， ∴她们心有灵犀选中同一款汉服的概率为． 17. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，轴对称的性质． （1）将代入求出，即；将代入求出，把A，B两点的坐标分别代入中求出即可； （2）先求出，再根据轴对称的性质求出，可知轴，，点A到的距离为，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即； ∵点在的图象上， ∴， ∴． 把A，B两点的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即． ∵点D与点C关于x轴对称， ∴． 又∵， ∴轴，， ∴点A到的距离为， ∴． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共2 4 分) 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； （2）若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）或． 【解析】 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； 【小问2详解】 分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 19. “今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． （1）甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ （2）由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【答案】（1）甲、乙两商户每天分别生产小时和小时 （2）甲商户增加的生产时间为3小时 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时， 则：，解得：； 答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时； 【小问2详解】 设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：甲商户增加的生产时间为3小时． 20. 如图，是△ABC的外接圆，是的直径，，垂足为点F．延长交过点D的切线于G点． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接并延长交于点E，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）垂径定理，等弧对等弦，即可得证； （2）切线的性质，得到，进而得到，平行线的性质结合圆周角定理，即可得证； （3）延长交于点，连接，先证，得到，再求出、、的长，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：是的直径，， ， ； 【小问2详解】 ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：延长交于点，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，， ， 即点为的中点， 点为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）图见解析 （2）C （3）该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息． （1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）50个人的中位数是第25和26人的平均数； （3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【小问1详解】 解：． D组人数：人． 如图为所求： 【小问2详解】 解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 22. 教材改编题改编自人教版八上综合与实践 【追本溯源】 下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题． 把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么? [结论证明】 （1）如图（1），将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E，求证：重合部分是等腰三角形． 【类比迁移】 （2）如图（2），将长方形纸片折叠，使B，D 两点重合，点A 的对应点为，折痕分别交于点M，N，求证：． 【拓展应用】 （3）如图（3），将正方形纸片对折再展开，折痕为，将 对折再展开，折痕为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质， （1）要证是等腰三角形，则需要证中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论； （2）由折叠可得，要证，则需要证明，进而结合（1）中结论即可得证； （3）结合（1）中结论，可延长交的延长线于点 N，进而得到，再结合正方形的性质、勾股定理求出，即可求出的值； 【详解】（1）证明：由折叠知， 在长方形中，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ 重合部分是等腰三角形； （2）证明：同理（1）可知， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴； （3）如图，延长交的延长线于点 N， 同（1）可得， ∴ 设，则， ， ， ， ∵， ∴， ． 六、解答题(本大题共 12 分) 23. 如图（1），在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 初步感知 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， __________； ②S关于t的函数解析式为__________． 深入探究 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为__________； ②求S关于t的函数解析式． 延伸探究 （3）当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，的值为__________． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②；（3）①；②10 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，含30度角的直角三角形，待定系数法求函数解析式，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）①中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据时，，列出比例式进行求解即可；②联立①的等式和，求出，进而求出，即可． 【详解】解：（1）①当时，， 作于点， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为； ②由题意，得：， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点恰好运动到点，由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，代入， 得 解得， ∴S关于t的函数解析式为 （3）①由题图（2）可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴， 由题意可知，， ∴ 当时，则：， ∴， ∴， ∴ ②联立，解得 ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $