精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

雅礼教育集团2025年下学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值150分 命题人：李云皇 审题人：彭熹、汤芳 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再利用集合的运算即可求出答案. 【详解】解不等式得，所以， 所以，即. 故选：A. 2. 已知非零向量，满足，则（ ） A. B. C. 与的方向相同 D. 与的方向相反 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 3. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角关系式求出，最后由二倍角公式得． 【详解】因为（），所以， 故． 故选：D． 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 是减函数 D. 是奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得.进而可得的单调性和奇偶性，进而逐项分析判断. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以. 对于A：可知的定义域为，故A错误； 对于BD：因为，可知是偶函数，故B正确，D错误； 对于C：由偶函数对称性可知在定义域内不单调，故C错误； 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为向右平移个单位后解析式为， 又图象关于原点对称， 时，， 故选：B. 6. 某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（ ） A. 60天 B. 70天 C. 80天 D. 90天 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将或代入表达式即可求解. 【详解】由题意可知，，，可得， 所以， 故该品牌牛奶在的保质期是80天. 故选：C 【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题. 7. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式可得，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为，即， 所以，则， 因为，所以. 故选：A. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，，则：， C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据充分性的定义、必要性的定义、全称命题的否定的性质、比较法逐一判断即可． 【详解】对于，由，可以推出，但推不出，， 比如，但， 所以“，”是“”成立的充分不必要条件，故A正确； 对于B，根据全称命题的否定为特称命题，所以：，，故B错误； 对于C，当时，，可得，故C正确； 对于D，由不能推出，比如，，所以必要性不成立，故D错误． 故选：AC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据同号，确定角所在象限； B选项，顺时针转动了30°，故B正确； C选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合； D选项，由扇形面积公式进行求解. 【详解】A选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故A错误； B选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是，故B正确； C选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，C正确； D选项，扇形面积为，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，由正弦型函数值域可求得结果. 【详解】，当时，. 故答案为：. 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，再利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 则， 故答案为： 14. 函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】画出，的图象，数形结合后可求参数的取值范围． 【详解】因为， 所以， 则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解， 故，的图象有两个不同的交点， 设， 又，的图象如图所示， 由图象可得两个函数的图象均过原点， 当时， 考虑直线与的图象相切， 则由可得，即， 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即． 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即， 结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】方法点睛：数形结合思想，分类讨论思想与转化思想的应用.解决本问题的方法是把方程根的问题转化为函数与直线交点个数问题，作出图形，结合图形求解，并注意临界值的取舍问题. 四、解答题：（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，． （1）求的值； （2）当为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对展开并代入即可求解； （2）根据与垂直可得，代入，即可求解k． 【小问1详解】 因为，， 所以，则． 【小问2详解】 若与垂直，则， 从而，又因为，， 所以，解得． 16. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一，根据三角函数定义可得，，继而利用诱导公式化简，即可求得答案；法二，利用三角函数定义可得，继而利用诱导公式和同角的三角函数关系化简，可得答案； （2）利用三角函数定义以及同角的三角函数关系以及两角和的余弦公式，即可求得答案. 【小问1详解】 法一：由角终边上一点，得， 故 法二：由角终边上一点，得， 故； 【小问2详解】 由角终边上一点，得， 因为，， 所以， 则 17. 如图，是函数（，，）图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的函数图像性质即可求得的解析式； （2）令，则可转化为方程在有且仅有两个实根，解出t的多解表达式，并分析区间和正根之间的大小关系即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为， 则， 所以，因为， 则，因为， 所以，解得，所以． 【小问2详解】 令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数，由求解； （2）由（1）可求出，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 函数为偶函数， ，即， ， . 【小问2详解】 由（1）知，， ， 不等式，等价于， 即， 由，解得， 由，得， 得，即， 综上，不等式的解集为. 19. 已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数的值； （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以（且）是型函数， 即每一个指数函数都是型函数． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入计算证明即可； （2）代入化简，利用指数函数的性质求解即可； （3）根据已知条件和二次函数性质，分段处理分类讨论，确保不等式恒成立即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是型函数， 所以， 显然，则，所以， 整理得对于定义域内任意恒成立， 所以，解得． 【小问3详解】 因为为型函数，所以， 当时，， 因为，所以，满足； 当时，恒成立， 令，则，所以在上恒成立，则恒成立， 因为在上单调递增，且，故． 当时，， 则， 因为，所以， 令，则当时，恒成立． 由上可知，所以在上恒成立， 则在上恒成立， 因为，当且仅当时取得等号，所以． 综上可知，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025年下学期期末考试试卷 高一数学 时量：120分钟 分值150分 命题人：李云皇 审题人：彭熹、汤芳 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量，满足，则（ ） A. B. C. 与的方向相同 D. 与的方向相反 3. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 是减函数 D. 是奇函数 5. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 6. 某品牌牛奶的保质期（单位：天）与储存温度（单位：）满足函数关系.该品牌牛奶在的保质期为270天，在的保质期为180天，则该品牌牛奶在的保质期是（ ） A. 60天 B. 70天 C. 80天 D. 90天 7. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “，”是“”成立的充分不必要条件 B. 命题：，，则：， C. 命题“若，则”是真命题 D. “”是“”成立的必要不充分条件 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则为第一象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 C. 终边经过点的角的集合是 D. 在一个半径为的圆上画一个圆心角为的扇形，则该扇形面积为 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的最大值为__________. 13. 已知，则______. 14. 函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，． （1）求的值； （2）当为何值时，与垂直？ 16. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 如图，是函数（，，）图象的一部分． （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 19. 已知函数的定义域为，若，使得对都成立，则称为型函数． （1）证明：每一个指数函数（且）都是型函数； （2）若函数是型函数，求实数的值； （3）已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数，当时，．若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $