24.4 弧长和扇形面积 寒假巩固练习2025-2026学年人教版（2024）九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 寒假巩固 【题型1】弧长的计算 【典型例题】如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝40°，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长是（　　）cm． A. B. C. D. 【举一反三2】如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　      　． 【举一反三3】如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE． （1）求证：∠ACB＝∠E； （2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长． 如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． (1)如图1，连接DE，求∠ADE的度数； (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长 【典型例题】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的周长之和为（　　）cm． A.π+6 B. +3 C. D. 【举一反三1】如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，切掉了所对的部分，其中AB=BC，且∠ABC=60°，则阴影部分的周长为（　　）cm A. +10 B. +10 C. +20 D. +20 【举一反三2】如图，已知正方形ABCD的边长为2cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取，的中点M，N，连接MC，NC．若DE=，NE=CN，CN=CM，则阴影部分的周长为 　  　cm． 【举一反三3】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，以A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AB于点C，点D为的中点．若OA＝2，则图中阴影部分的周长为 　 　． 【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的周长． 【题型3】用弧长公式解决实际问题 【典型例题】如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　） A. B. C.π D.2π 【举一反三1】如图，用一个半径为10 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A. cm B.2π cm C. cm D.3π cm 【举一反三2】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　） A. B. C.π D.2π 【题型4】扇形面积的计算 【典型例题】如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为​（　　） A.πm2 B.0.5πm2 C.0.25πm2 D.不能确定 【举一反三1】已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　） A.24 B.22 C.12 D.6 【举一反三2】如果两个扇形的半径之比为1：2，圆心角之比也为1：2，那么它们的面积之比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：1 D.1：8 【举一反三3】如图，半径为6的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为 　 　． 【举一反三4】如图，正方形ABCD，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，S扇形OCE=，求正方形ABCD的边长. 【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积 【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A.4π﹣8 B.2π﹣4 C.π﹣2 D.8π﹣16 【举一反三1】如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A.πcm2 B. C.4πcm2 D. 【举一反三2】如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，则阴影部分的面积为 　     　． 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，已知：CA＝CD，∠A＝30°． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【题型6】用扇形面积公式解决实际问题 【典型例题】如图，在半径为4的扇形纸片OAB中，将其沿着直线l折叠，使得点A和点O重合．直线l与扇形OAB交于点C，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　） A.16πm2 B.12πm2 C.24πm2 D.48πm2 【举一反三3】如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 　 　． 【举一反三4】如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移，得到扇形O'A'B'，若∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为 　        　cm2． 【举一反三5】如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD∥AC． （1）求证：四边形ACOD是菱形． （2）若，求扇形AOC的面积． 【举一反三6】小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为3：2，已知小长方形的长为a． （1）求这个窗户的面积和窗户外框的总长； （2）小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）． 【题型7】圆柱的侧面积和表面积 【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（　　） A.9cm2 B.9πcm2 C.18πcm2 D.18cm2 【举一反三1】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（　　）相等． A.底面直径 B.底面周长 C.底面积 【举一反三2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 　      　平方厘米． 【举一反三3】蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？ 【题型8】圆锥的侧面积和表面积 【典型例题】用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是(　　) A.π   B.2π    C.3π   D.4π 【举一反三2】草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（　　） A.16πcm2 B.20πcm2 C.24πcm2 D.25πcm2 【举一反三3】在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为 　    　． 已知圆锥的底面半径是4，母线长为12，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 人教版（2024）九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 寒假巩固（参考答案） 【题型1】弧长的计算 【典型例题】如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】B 【解析】∵扇形的弧长为，半径为2， ∴＝， 解得：n＝45°． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝40°，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长是（　　）cm． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：连接AD，OD，OE， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠DAC＝∠BAC＝×40°＝20°， ∴∠DOE＝2∠DAE＝40°， ∵AB＝4cm， ∴OD＝AB＝2cm， ∴弧DE的长＝＝（cm）． 故选：C． 【举一反三2】如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD．若∠ADB＝50°，∠ACD＝80°，则劣弧BD的长为 　      　． 【答案】 【解析】解：如图，连接OB，OD， ∵∠ACD和∠ABD为所对的圆周角， ∴∠ABD＝∠ACD＝80°， ∵∠ADB＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝50°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝100°， ∵⊙O的半径为4， ∴劣弧BD的长为． 故答案为：． 【举一反三3】如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE． （1）求证：∠ACB＝∠E； （2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长． 【答案】（1）证明：∵OA⊥弦BC， ∴， ∴∠ACB＝∠E； （2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°， ∴∠AOC＝2∠E＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∴OA＝AC＝3， ∴的长为＝π． 如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． (1)如图1，连接DE，求∠ADE的度数； (2)如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 【答案】 解　(1)连接OD，如图所示. 在△OAC和△OBC中， ∴△OAC≌△OBC(SSS)， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360°, ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°. (2)连接OD，如图所示， 由(1)知，∠AOC＝90°，∵D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为． 【题型2】用弧长公式求阴影部分的周长 【典型例题】如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的周长之和为（　　）cm． A.π+6 B. +3 C. D. 【答案】B 【解析】解：图中的三个扇形弧长的和为＝πr＝（cm）． 三个扇形的半径共有6条，所以6条半径总长为0.5×6=3（cm） 所以三个扇形的周长之和(+3)cm. 故选：B． 【举一反三1】如图，一张直径为20cm的圆饼被切掉了一块，切掉了所对的部分，其中AB=BC，且∠ABC=60°，则阴影部分的周长为（　　）cm A. +10 B. +10 C. +20 D. +20 【答案】D 【解析】解：作OH⊥AB于点H连接OA，OC，OB，AC. ∵AB=BC，且∠AOC=60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AB=BC=AC ∴== ∴圆心O既是等边△ABC的内心，也是它的外心 ∴OB平分∠ABC，∴∠OBH=30°, ∵OH⊥AB于点H ∴∠OHB=90°，AB=2BH ∴OB=2OH=10 ∴OH=5 由勾股定理，得BH==5 ∴AB=10 ∴BC=AB=10 ∵∠AOC=2∠ABC=120° ∴的长== ∵== ∴的长=的长== ∴阴影部分的周长=AB+BC+的长+的长 =10+10+2×=+20 故选：D． 【举一反三2】如图，已知正方形ABCD的边长为2cm，以AB，AD为直径作两个半圆，分别取，的中点M，N，连接MC，NC．若DE=，NE=CN，CN=CM，则阴影部分的周长为 　  　cm． 【答案】π+2 【解析】解：如图，取AD的中点O，连接NO，设CN交AD于点E， ∵四边形ABCD为正方形且AB=BC=CD=DA=2 ∴分别以以AB，AD为直径作两个半圆相等 即= ∵点M，N分别是，的中点 ∴= ∴半圆的半径为1 ∵N是弧AD的中点， ∴NO⊥AD， ∴OA=OD=1 ∵DE= ∴OE＝1-＝， 在Rt△NOE中，NE＝＝＝， ∵NE=CN ∴CN＝3NE＝， ∵CN=CM ∴CM= ∵= ∴的长度+的长度=2×＝π， ∴图中阴影部分的周长=的长度+的长度+CN+CM=(π+2)cm． 故答案为：π+2． 【举一反三3】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，以A为圆心，以AO的长为半径作弧，交AB于点C，点D为的中点．若OA＝2，则图中阴影部分的周长为 　 　． 【答案】π+2 【解析】解：如图，连接OC，AC， ∵OA＝OC＝AC＝OD＝2， ∴∠A＝∠AOC＝60°， ∵∠AOB＝90°，点D为的中点． ∴∠AOD＝45°， ∴∠COD＝15°， ∴的长为＝π，的长为＝π， ∴图中阴影部分的周长为π+π+2＝π+2． 故答案为：π+2． 【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，连接AC．若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的周长． 【答案】解：连接OF，OC，BC. ∵C为劣弧BF的中点， ∴弧BC＝弧FC， ∴∠CAF＝∠BAC＝30°，∠COF=∠BOC ∴∠COF＝2∠CAF＝60°=∠BOC ∴∠AOF=60°(平角定义) ∵OF=OA ∴△AOF为等边三角形 ∴AF=OA=OF ∵AB为⊙O的直径，AB＝6， ∴OC＝AF=3 ∠ACB=90° ∵∠BAC=30° ∴BC=AB=3 由勾股定理，得：AC===3 弧FC的长＝， ∴阴影部分的周长=AF+AC+弧FC的长=3+3+π 故答案为：3+3+π． 【题型3】用弧长公式解决实际问题 【典型例题】如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　） A. B. C.π D.2π 【答案】C 【解析】∵△ABC为正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1， ∴＝＝， 根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和， 即凸轮的周长＝＝3×＝π． 【举一反三1】如图，用一个半径为10 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A. cm B.2π cm C. cm D.3π cm 【答案】B 【解析】重物上升了＝2π（cm）． 【举一反三2】道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】图中的管道中心线的长为＝（m）． 【举一反三3】如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于（　　） A. B. C.π D.2π 【答案】C 【解析】∵△ABC为正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1， ∴＝＝， 根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和， 即凸轮的周长＝＝3×＝π． 【题型4】扇形面积的计算 【典型例题】如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为1m的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为​（　　） A.πm2 B.0.5πm2 C.0.25πm2 D.不能确定 【答案】C 【解析】由于四边形的内角和是360°， 所以阴影部分4个扇形可以拼成直径为1m的圆， 因此面积为：π×（）2＝π＝0.25π（m2）， 故选：C． 【举一反三1】已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　） A.24 B.22 C.12 D.6 【答案】A 【解析】S扇形＝，即24π＝，解得r＝24． 故选：A． 【举一反三2】如果两个扇形的半径之比为1：2，圆心角之比也为1：2，那么它们的面积之比为（　　） A.1：2 B.1：4 C.1：1 D.1：8 【答案】D 【解析】解：∵两个扇形的半径之比为1：2，圆心角之比也为1：2， ∴设两个扇形的半径分别为r：2r，圆心角分别为n：2n， ∴它们的面积之比为＝， 故选：D． 【举一反三3】如图，半径为6的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为 　 　． 【答案】． 【解析】解：如图，连接OC， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴OC平分∠AOB， 又∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC＝∠AOB＝45°， ∵AO∥CE， ∴S△DCE＝S△OCE， ∴S阴影部分＝S扇形OBC ＝ ＝． 故答案为： 【举一反三4】如图，正方形ABCD，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，S扇形OCE=，求正方形ABCD的边长. 【答案】解：∵正方形ABCD中，∠BCD=90° 又∵AC为正方形ABCD的对角线 ∴∠ACB=45° ∵OE=OC ∴∠OCE=∠OEC=45° ∴∠EOC=90° 在扇形OCE中，设OC=r ∴S扇形OCE== 解得r2=1 ∵r>0 ∴r=1 ∴OC=1 ∴BC=2OC=2 所以正方形ABCD的边长2. 【题型5】用扇形面积公式求阴影部分的面积 【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（　　） A.4π﹣8 B.2π﹣4 C.π﹣2 D.8π﹣16 【答案】A 【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ACD＝∠BCA＝45°， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB＝2， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形CDF﹣S△OCD+S扇形ABE﹣S△OAB＝﹣×2×2+﹣×2×2＝4π﹣8， 故选：A． 【举一反三1】如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C'在BO延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A.πcm2 B. C.4πcm2 D. 【答案】C 【解析】解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°， ∴OC＝OC'，∠COC'＝∠BOB'，OB＝OB'＝4cm，S△COB＝S△C'OB'， ∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°， ∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，， ∴∠COC'＝180°﹣∠COB＝120°， ∴∠BOB'＝120°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB'+S△C'OB'﹣S扇形COC'﹣S△COB＝S扇形BOB'﹣S扇形COC'＝＝＝4π（cm2）， 故选：C． 【举一反三2】如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【解析】如图，连接CO，交AB于点D， 由折叠的性质得：OA＝OB＝AC＝BC＝3， ∴四边形AOBC是菱形， ∴∠AOB＝2∠AOC，OD＝，AB＝2AD， ∴AD＝， ∴AB＝3， ∵OC＝OA＝3， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝2∠AOC＝120°， ∴阴影部分的面积为S扇形AOB- S菱形AOBC． 【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，若AB＝1，则阴影部分的面积为 　     　． 【答案】 【解析】解：连接DE， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝1． 由题知， CE＝CD＝1， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠EDC＝45°， 则∠ADE＝90°﹣45°＝45°． 由勾股定理得， DE＝， ∴， ， ， 则S阴影＝S扇形DAE+S△CDE﹣S扇形CDE＝． 故答案为：． 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，CD与AB的延长线交于点D，已知：CA＝CD，∠A＝30°． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)过点B作BE⊥CD于点E，若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】 (1)证明　如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠COD＝60°， 又CA＝CD， ∴∠D＝∠A＝30°， ∴∠OCD＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴半径OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线. (2)解　∵OC＝2，∠A＝∠D＝30°，∠OCD＝90°， ∴OD＝2OC＝4， 又∵OB＝2， ∴BD＝OB＝2，即点B是OD的中点， 又∵BE⊥CD， ∴BE∥OC，BE是△OCD的中位线， ∴， ∴， ∴S阴影＝S梯形OBEC﹣S扇形BOC ． 【题型6】用扇形面积公式解决实际问题 【典型例题】如图，在半径为4的扇形纸片OAB中，将其沿着直线l折叠，使得点A和点O重合．直线l与扇形OAB交于点C，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：连接OC， 由题意得：直线l垂直平分AO， ∴AC＝OC， ∵OC＝OA， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝4， ∴扇形OAC的面积＝＝π， ∵△OAC的面积＝OA2＝4， ∴阴影的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣4． 故选：A． 【举一反三1】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，连接CD． ∵OC＝OD，∠O＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝3cm， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝， 故选：B． 【举一反三2】某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，4m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（　　） A.16πm2 B.12πm2 C.24πm2 D.48πm2 【答案】C 【解析】解：该五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴扇形区域总面积是， 故选：C． 【举一反三3】如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则阴影部分的面积为 　 　． 【答案】 【解析】解：连接AD、OD．根据题意可知点C是AO的中点， ∴CA＝， 在Rt△OCD中，，∠ODC＝30°， ∴CD＝ ∵∠COD＝60°， ∴∠AOB＝90°，∠BOD＝30°， ∵AO＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴阴影部分的面积＝S扇形AOD﹣S△COD ＝﹣＝， 故答案为：． 【举一反三4】如图，将半径为5cm的扇形OAB沿西北方向平移，得到扇形O'A'B'，若∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为 　        　cm2． 【答案】 【解析】解：设分别与O'A'、O'B'交于F、E，连接OE， ∵扇形OAB沿西北方向平移， ∴扇形OAB沿x轴负半轴平移1cm，沿y轴坐标轴平移1cm， ∵扇形OAB的半径是5cm， ∴O′E＝O′F＝﹣1＝（2﹣1）（cm）， ∵∠A'O'B'＝∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△EO′F＝×π×52﹣（2﹣1）×（2﹣1）＝cm2， 故答案为：． 【举一反三5】如图，这是一张以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，使点B落在⊙O上的点D处，连接AD，CB，CD，CD与直径AB交于点E，连接OD，AC，且OD∥AC． （1）求证：四边形ACOD是菱形． （2）若，求扇形AOC的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线， 即CO⊥BD， 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BD， ∴CO∥AD， 又∵OD∥AC， ∴四边形ACOD是平行四边形， ∵OD＝OC， ∴四边形ACOD是菱形， （2）解：∵四边形ACOD是菱形， ∴AC＝AD＝OC＝OD， ∵OC＝OD＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， 在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，BC＝4， ∴AB＝＝8， ∴OA＝4， ∴扇形AOC的面积＝＝． 【举一反三6】小红卧室的窗户上半部分是由4个扇形组成的半圆形，下半部分为4个大小一样的长方形组成的大长方形，小长方形的长和宽的比为3：2，已知小长方形的长为a． （1）求这个窗户的面积和窗户外框的总长； （2）小红想给窗户上方做装饰物，装饰物所占的面积为上半部分半圆面积的．求窗户中能射进阳光的部分的面积（窗框面积忽略不计）． 【答案】解：（1）由于小长方形的长和宽的比为3：2，小长方形的长为a，则宽为， 所以这个窗户的面积为πa2+2a×＝+＝； 这个窗户外框的总长；2a+×4+×2πa＝， 答：这个窗户的面积为，窗户外框的总长为； （2）这个窗户能射进阳光部分的面积为πa2×（1﹣）+2a××2＝， 答：这个窗户能射进阳光部分的面积为． 【题型7】圆柱的侧面积和表面积 【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（　　） A.9cm2 B.9πcm2 C.18πcm2 D.18cm2 【答案】D 【解析】解：所得几何体的主视图的面积是2×3×3＝18cm2． 故选：D． 【举一反三1】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（　　）相等． A.底面直径 B.底面周长 C.底面积 【答案】B 【解析】解：圆锥的侧面展开图的两条邻边分别为底面圆的周长和圆周的高， 又因为正方形的四边相等， 所以那么圆柱的高和底面周长相等； 故选：B． 【举一反三2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了 　      　平方厘米． 【答案】（72+4π） 【解析】解：2×9×4+π×12×4＝72+4π（平方厘米）， 故表面积增加了（72+4π）平方厘米． 故答案为：（72+4π）． 【举一反三3】蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)？ 【答案】解　如图是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2，高h2＝1.8 m； 上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m). 圆柱的底面圆的半径r＝≈1.954(m)， 侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2). 圆锥的母线长l＝≈2.404(m)， 侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)， 圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76(m2). 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m). 【题型8】圆锥的侧面积和表面积 【典型例题】用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（　　） A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】D 【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr＝，解得r＝2， 所以这个圆锥的底面圆的面积＝π×22＝4π． 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则这个圆锥的侧面积是(　　) A.π   B.2π    C.3π   D.4π 【答案】C 【解析】 圆锥的底面周长为2πr＝2π×1＝2π， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为2π， ∴其面积为lr2π×3＝3π． 【举一反三2】草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为（　　） A.16πcm2 B.20πcm2 C.24πcm2 D.25πcm2 【答案】B 【解析】解：由图中的数据可知：圆锥的底面直径为8cm，圆锥的高为3cm， 则圆锥的母线长为：＝5（cm）， ∴圆锥模型的侧面积为：×π×8×5＝20π（cm2） 故选：B． 【举一反三3】在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为 　    　． 【答案】18 【解析】设此圆锥的母线长为l， 根据题意得2π×6＝，解得l＝18， 即此圆锥的母线长为18． 故答案为：18． 已知圆锥的底面半径是4，母线长为12，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 解　将圆锥侧面沿母线AP展开如图所示. 圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120°． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴°． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 故最短距离是． 学科网（北京）股份有限公司 $