精品解析：重庆巫山县2025年秋季期末质量检测 八年级数学试卷

2025年秋季期末质量检测八年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂相乘和合并同类项等，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据幂的乘方、同底数幂相乘和合并同类项进行求解即可． 【详解】解：选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，错误； 故选A． 4. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式必须成立，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、这是多项式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、，原等式不成立，不是因式分解，不符合题意； D、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 6. 一个等腰三角形两边的长分别为2和5，那么这个三角形的周长是（　　） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：∵， ∴腰的长不能为2，只能为5， ∴等腰三角形的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 8. 观察点阵图的规律，第n个图的小黑点的个数应该是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化，观察图形发现每个图形比前一个图形多4个小黑点，据此求解即可． 【详解】解：∵第1个图形中小黑点个数为（个）， 第2个图形中小黑点个数为（个）， 第3个图形中小黑点个数为（个）， 第个图形中小黑点个数为个， 故选：B． 9. 如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形所对直角边等于斜边一半，根据，得到，从而得到，结合即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与的差中不含x项时，则；③当，时，的值总是正数．其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式的次数，项数，整式加减，计算、和（代入具体值），根据二次三项式定义、不含某项的条件及代数式恒正性判断各说法正误即可． 【详解】解：∵ ，， ①， 当为二次三项式时，需二次项系数，即，①错误； ②， 不含x项时，x项系数， ∴，②正确； ③ 当，时，， 的值不总是正数，③错误； ∴ 错误个数为2， 故选B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 当x______时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是：分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：． 12. 在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，关于轴对称的点的坐标特征． 根据折叠的性质和关于轴对称的点的坐标特征，可知点和点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得点的坐标． 【详解】解：∵将点沿轴折叠，得到对应点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是________． 【答案】##1260度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角．先利用多边形的外角和为计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】解：这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和是， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点的位置．连接，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点在点处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ， ， 当点在点处时，的值最小，最小值为的长． 所以的最小值是8． 故答案为：8． 15. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组无解， ， 解得， 解方程得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 16. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______． 【答案】 ①. 180 ②. 342 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，新定义运算，理解“方和数”的定义是解题的关键． （1）设，则，只需a，b都取最小值时，的值最小； （2）先计算出，根据B除以17余数为3，可得能被17整除，进而可得是17的倍数，b为一位数偶数，尝试a取最小值1，依次计算即可． 【详解】解：（1）设，则，其中，， 求最小的“方和数”，即的最小值， 取，， ，， ，即最小的“方和数”是180， 故答案为：180； （2）将放在的右边组成一个新的四位偶数B， ， B除以17余数为3， 能被17整除， 是整数， 是整数，即是17的倍数， 求满足条件的最小正整数A， 尝试a取最小值1， B是四位偶数， 可能为0，2，4，6，8， 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，不是17的倍数，不合题意； 当，时，，是17的倍数，符合题意； ，， 满足条件的最小正整数A为：， 故答案为：342． 三、解答题（本大题9个小题，其中17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，单项式乘除，掌握完全平方公式，平方差公式，单项式乘除的运算法则是解题的关键； （1）利用完全平方公式及平方差公式展开后再合并同类项即可； （2）先算乘方，再算乘除即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. （1）因式分解： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解和分式方程的解法，灵活运用完全平方公式进行因式分解和熟练进行分式方程求解是解题关键． （1）先展开多项式，再利用完全平方公式因式分解； （2）通过找公分母去分母，转化为整式方程求解，并检验分母是否为零． 【详解】解：（1） ； （2）解方程：方程为 两边同乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把值代入原式进行计算即可． 【详解】原式 ； ， ． 所以化简为，值为． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中；求的度数． 解：∵垂直平分线段， ∴，（_________）（填推理依据） ∴，（__________）（填推理依据） ∵，∴， ∵， ∴__________， ∴__________， ∵平分， ∴__________． 【答案】（1） 解：①作边的垂直平分线交于点，交于点如图所示： ②连接，作的平分线交于点如图所示： （2）线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，等边对等角，110，80，40 【解析】 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； ②先连接，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据角平分线的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握尺规作图和线段垂直平分线的性质是解题关键． 21. 如图，点D在上，点E在上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 22. 如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的． （2）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （3）若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图：即为所求； （2），，； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是作图-轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可； （3）先根据对称的性质求出点P的横坐标，进而确定点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由平面直角坐标系可知，，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 即 ∴或， ∴点P的坐标或． 故答案为：或． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后活动，某中学准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种型号“文房四宝”的单价多100元，且用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍． （1）求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种型号“文房四宝”共30个，求该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量． 【答案】（1）A种型号“文房四宝”的单价300元，B种型号“文房四宝”的单价是200元 （2）该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量是20个 【解析】 【分析】本题考查分式的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B种型号“文房四宝”的单价是x元，根据用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍，列出方程进行求解即可； （2）设购买m个A种型号“文房四宝”，根据学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种型号“文房四宝”共30个，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设B种型号“文房四宝”的单价是x元，则A种型号“文房四宝”的单价是元， 根据题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴A种型号“文房四宝”的单价是元， 答：A种型号“文房四宝”的单价300元，B种型号“文房四宝”的单价是200元； 【小问2详解】 设购买m个A种型号“文房四宝”，则购买个B种型号“文房四宝”， 根据题意得，， 解得， 答：该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量是20个． 24. 已知：在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在轴、轴上，且，． （1）如图1，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； （2）如图2，若平分，交于D，过B作轴于点，证明：． 【答案】（1） （2） 证明：延长，交于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，掌握其相关知识点是解题的关键． （1）过点作轴于，证明，根据全等三角形对应边相等，即可得到答案； （2）延长，交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可得到，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点作轴于， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 略 25. （1）如图1，中，，点是该三角形内部一点，若另有一个以为腰的等腰，且，求证：； （2）如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，与交于，若，求证：； （3）如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）∵是以、为腰的等腰三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，如图2， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）26 【解析】 【分析】（1）证明，再由证明，即可解决问题； （2）延长至G，使，连接，证明，得，然后证明，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题； （3）过A作于M，连接，证明，得，，证明，得，利用含30度角的直角三角形的性质和等腰三角形三线合一的性质即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过A作于M，连接． ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是得到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末质量检测八年级数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在括号里． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等腰三角形两边的长分别为2和5，那么这个三角形的周长是（　　） A. 9 B. 10 C. 9或12 D. 12 7. 如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ） A. AB=CD B. EC=BF C. ∠A=∠D D. AB=BC 8. 观察点阵图的规律，第n个图的小黑点的个数应该是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 关于的二次三项式，关于的代数式，下列说法：①当为关于的二次三项式时，则；②当多项式A与的差中不含x项时，则；③当，时，的值总是正数．其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 当x______时，分式有意义． 12. 在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为________． 13. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是________． 14. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是______． 15. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 16. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”． （1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______； （2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______． 三、解答题（本大题9个小题，其中17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线） 17. 计算： （1） （2） 18. （1）因式分解： （2）解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，． （1）尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中；求的度数． 解：∵垂直平分线段， ∴，（_________）（填推理依据） ∴，（__________）（填推理依据） ∵，∴， ∵， ∴__________， ∴__________， ∵平分， ∴__________． 21. 如图，点D在上，点E在上，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 如图，直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴对称的． （2）点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______． （3）若点与点关于轴对称，若，则点的坐标为______． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后活动，某中学准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种型号“文房四宝”的单价多100元，且用22500元购买A种型号“文房四宝”的数量是用10000元购买B种型号“文房四宝”数量的1.5倍． （1）求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？ （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种型号“文房四宝”共30个，求该学校最多购买的A种型号“文房四宝”的数量． 24. 已知：在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在轴、轴上，且，． （1）如图1，，当点B在第四象限时，求点B的坐标； （2）如图2，若平分，交于D，过B作轴于点，证明：． 25. （1）如图1，中，，点是该三角形内部一点，若另有一个以为腰的等腰，且，求证：； （2）如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点，与交于，若，求证：； （3）如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $