6.3 平面向量的基本定理及坐标表示讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标运算 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 知识点四：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点五：平面向量平行（共线）与垂直的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 2、平面向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，，=0 考向一 基底的判断 基底的判断：不共线的两个向量可以做基底 【例1】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 【一隅三反】 1．（2025·山西）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 考向二 平面向量基本定理 选择三角形（含有基底的三角形）--三角形法则或四边形法则，三点共线定理进行转化 【例2-1】（2025·湖南长沙）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【解析】如图 则. 故选：D 【例2-2】（25-26四川）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 【一隅三反】 1．（25-26安徽）在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，. 故选：A 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由可得， 则. 故选：C 3.（2024·四川 ）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C. 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则，又与交于点， 所以，则，所以， 又，所以故选：A. 考向三 根据平面向量的基本定理求参数（范围） 【例3-1】（25-26河南）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 【例3-2】（2025·黑龙江牡丹江）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 【一隅三反】 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为，所以，则， 故，.故选：B. 2．（2025湖北）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解析】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 【答案】B 【解析】   如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 考向四 平面基本定理的应用--共线 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【例4-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 【例4-2】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 【一隅三反】 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【解析】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以共线， 即三点共线，故A正确； ，，，不共线，故B错误； ，，，不共线，故C错误； ，，， 不共线，故D错误； 故选：A 3．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 4．（2025高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， 所以， 所以与反向平行，故A正确，B错误； ， 所以与同向平行，故CD错误. 故选：A 考向五 平面向量的坐标运算 【例5-1】（2026湖北）（多选）下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 【例5-2】（25-26 甘肃·月考）（多选）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【答案】AC 【解析】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 【例5-3】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：AC. 【一隅三反】 1．（2026浙江）（多选）已知平面向量， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题设，，故，A错误，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD 2．（25-26浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 3．（25-26江西抚州）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 4．（25-26安徽）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【解析】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 5（2025江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或.故选：AD. 考向六 平面向量数量积的坐标表示及运算 【例6-1】（23-24福建福州）（多选）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BD 【解析】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 【一隅三反】 1．（25-26福建）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 2．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 【答案】CD 【解析】因为，， 所以，则，故A错误； 又，则与向量共线的单位向量为， 即或，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确. 故选：CD 3（2025·海南）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，则，所以A错误； 对于B，在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，所以在方向上投影向量的模为： ， 当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确； 对于D，向量 ， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 考向七 平面向量数量积的综合应用 【例7-1】（25-26北京昌平）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 【例7-2】（2026·河北沧州）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系：    由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 【一隅三反】 1．（25-26江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 2．（25-26黑龙江）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 3．（25-26河北衡水·月考）（多选）已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 【答案】AD 【解析】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 4．（25-26云南曲靖）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（　　 ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】选项A：若，则，两边同除以（），得，故A错误. 选项B：, 因为正弦函数的值域为，所以的最小值为，故B正确. 选项C：若，则，即，移项得， 两边同除以（），得，故C错误. 选项D： 当时，取得最大值， 因此的最大值为，故D正确. 故选：BD 【题组一 基底的判断】 1．（2026湖北）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立.与不共线，所以能作为基底，所以D错误.故选：C. 2．（2025广西）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 3．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（）u哦下单设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【解析】不共线的向量可以作为一组基，所以不能作为一组基的便是共线向量， 对于A，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于B，因为，所以和不共线，可以作为基底； 对于C，因为，所以和共线，不可以作为基底； 对于D，因为，所以和不共线，可以作为基底． 故选：ABD． 5．（24-25高一下·全国·周测）（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ABD 【解析】对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确； 对于：由，可得， 所以和共线，故不能作为基底，故错误； 对于：由可得和不共线， 所以和能作为基底，故正确. 故选：. 【题组二 平面向量基本定理】 6．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 8．（25-26甘肃白银·月考）已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． 9．（25-26河南·月考）如图，在菱形ABCD中，，E，F分别为线段BC，CD的中点，则（    ） A． B．5 C． D．13 【答案】C 【解析】由题可知，， ， 所以， 故选：C 10．（25-26福建漳州·月考）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， . 故选：C 11．（24-25贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 12．（2026广西）在平行四边形中，，，点E为中点，点F满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接，如图所示 . 故选：A 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以， . 故选：D 【题组三 根据平面向量的基本定理求参数（范围）】 14．（25-26江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 15．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 17．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 18．（25-26湖北孝感·月考）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】  ，． 故选：C． 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，， 又， 解得，所以，，则. 故选：D 20．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 21．（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 又三点共线， 则， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 22．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 23．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 24．（2025河北衡水·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 25．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 26．（24-25湖南·月考）如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则 ． 【答案】3 【解析】由是的一条中线，所以， 又，，所以， 又，，代入上式，可得， 又因为三点共线，所以，故得. 故答案为：3. 【题组四 平面基本定理的应用--共线】 27．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 28．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 29．（24-25辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为，，， 所以， 因为，，三点共线，所以存在唯一的，使得， 即， 即，解得：. 故选：B. 30．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于 ． 【答案】/ 【解析】由题意可得， 因为、、三点共线，则， 则存在实数，使得，即， 因为、是两个不共线的向量，所以，，解得. 故答案为：. 31．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见详解 【解析】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 32．（24-25上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为为的中点，所以， 则，故． （2）设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 有公共点，故，，三点共线． 33．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解析】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 【题组五 平面向量的坐标运算】 34．（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，，所以，故选：B 35．（202湖南）如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，． 故选：A． 36．（2026·陕西宝鸡）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 37．（25-26湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 38．（25-26河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 39．（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以， 即，解得， 因此，，． 故选：B． 40．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 解得. 故选：C 41．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由题意可得，， 所以，， 所以，解得 故选：C. 42．（2026·山东枣庄）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 43．（2025·四川南充）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 44．（25-26江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴， ∵，∴． 故选：C． 【题组六 平面向量数量积的坐标表示及运算】 45．（25-26黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【解析】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 46．（2025贵州）（多选）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题意有在方向的投影向量为， 因为，所以， 因为，，所以， 得，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BCD 47．（25-26广东汕头·期末）（多选）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 【答案】ACD 【解析】由题可得，，，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，在上的投影向量为，由B分析可得， 又， 则，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD 48．（25-26安徽·月考）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 49．（25-26黑龙江佳木斯·月考）（多选）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角小于，则 B．的最小值为 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．时，在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】选项A，若与的夹角小于， 则，即，因此A正确； 选项B，向量的模长， 因为，所以当时，取得最小值， 因此B错误； 选项C，与共线的单位向量包括同向和反向两种情况，因此C错误； 选项D，当时，，计算在上的投影向量为， 点积， ， 因此投影向量为，而非，因此D错误. 故选：BCD. 50．（2025安徽）（多选）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与垂直 C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AD 【解析】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D对． 故选：AD． 【题组七 平面向量数量积的综合应用】 51．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 52．（2025·安徽）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以，当时，取得最大值， 此时点，即点与点重合，且， 此时. 故选：C. 53．（25-26安徽合肥·月考）已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 则、，设，则，，故，. 所以， 当时，，即，则， 故， 则， 结合题意可知为锐角，则可得，则， 故. 故选：A 54．（25-26安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 55．（2025湖南常德·专题练习）在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 则， 所以． 故选：C    56．（25-26江西南昌·月考）（多选）已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（ ） A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 【答案】AD 【解析】对于A，因为 所以 即，即. 则，故A正确； 对于B，因为， 所以令，， 又因为的最小值为，所以， 所以，则， 因为，所以或，故B错误； 对于 C ，因为， 其中或 所以 或，故C错误； 对于 D ，设，且，分别为在上的投影向量， 当时，结合图形（图1）可知，当同向共线时，有最大值； 当时，结合图形（图2）可知，当反向共线时，有最大值； 而；故D正确. 故选：AD 57．（2025吉林长春·专题练习）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 【答案】ABD 【解析】选项A，若，则， 即，()，得=，所以A正确。 选项B，若，则 即，得，所以B正确。 选项C，若与的夹角为， 又因为，而， 代入得：，所以C错误。 选项D，若与方向相反，则()，且， ，由，得， 故，在上的投影向量公式为： ，计算，， 代入得：，D正确. 故选：ABD. 58．（25-26吉林延边·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【答案】BCD 【解析】对于A，，由题意可知 ，则， 但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误； 对于B，∵与方向相反，则存在使得，， 即，解得或， 当时，（舍去），所以，即， 所以在上的投影向量，B选项正确； 对于C，，，∴， ∴，C选项正确； 对于D，设，， ∴， ∵ 由正弦定理可知， ，， ∴， ∵， 由余弦定理，， ∴， D选项正确. 故选：BCD. 59．（25-26四川绵阳）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A， 若，则，所以，故A正确； 对于B， 若，则，所以，故B错误； 对于C，， 其中且，当取得最大值时， 则，所以 ， 故C正确； 对于D，， 其中且，当时，取得最大值为 ，此时，故D正确. 故选：ACD. 60．（25-26重庆）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】AD 【解析】由向量，，则，故A正确； 由向量，，则， 又因为，即，故B错误； 由向量，则 ，故C错误； 由向量， 可得， 而，故D正确； 故选：AD. 61．（25-26辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．    【答案】17 【解析】建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为， 所以点的坐标分别为，，， 过点作，垂足为， 因为， 所以点也是的中点， 因此， 所以由勾股定理可得， 因此点的坐标为， 所以. 故答案为：    62．（25-26北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【解析】假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 63．（25-26 天津南开·月考）在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为 ，的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知， 而， 所以， 由向量夹角公式可求出，因为所以可求得 又因，所以， 解之可得或（舍）； 以为原点，为轴建立坐标系，则可知点，， ，设点则， 所以， 又因，所以当时最小，最小值为.    故答案为： 64．（25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则 ； ．    【答案】 【解析】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系，    设正方形边长为3，则，， ，， ， ， ，解得． 故答案为：；． 65．（25-26天津和平·月考）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 66．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由，，， 所以 ， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标运算 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 知识点四：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 知识点五：平面向量平行（共线）与垂直的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 2、平面向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，，=0 考向一 基底的判断 基底的判断：不共线的两个向量可以做基底 【例1】（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【一隅三反】 1．（2025·山西）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 考向二 平面向量基本定理 选择三角形（含有基底的三角形）--三角形法则或四边形法则，三点共线定理进行转化 【例2-1】（2025·湖南长沙）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【例2-2】（25-26四川）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26安徽）在中，点为重心，点在线段上，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 3.（2024·四川 ）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 考向三 根据平面向量的基本定理求参数（范围） 【例3-1】（25-26河南）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【例3-2】（2025·黑龙江牡丹江）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025湖北）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 4．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 考向四 平面基本定理的应用--共线 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【例4-1】（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 2．（24-25高一下·江西吉安·期中）已知，，（和不共线），则三点共线（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2025高一·全国·课后作业）设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则（    ） A．与反向平行 B．与同向平行 C．与反向平行 D．与不共线 考向五 平面向量的坐标运算 【例5-1】（2026湖北）（多选）下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例5-2】（25-26 甘肃·月考）（多选）已知向量，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或 【例5-3】（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026浙江）（多选）已知平面向量， 则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26江西抚州）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26安徽）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 5（2025江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 考向六 平面向量数量积的坐标表示及运算 【例6-1】（23-24福建福州）（多选）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 【一隅三反】 1．（25-26福建）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选）已知向量 则（    ） A． B．与向量共线的单位向量是 C． D．向量在向量上的投影向量是 3（2025·海南）（多选）已知向量，则（    ） A．若，则 B．在方向上的投影向量为 C．存在，使得在方向上投影向量的模为1 D．的取值范围为 考向七 平面向量数量积的综合应用 【例7-1】（25-26北京昌平）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·河北沧州）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【一隅三反】 1．（25-26江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26黑龙江）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26河北衡水·月考）（多选）已知向量，满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．，的夹角为 B． C．的最小值为 D．若，则的最大值为5 4．（25-26云南曲靖）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（　　 ） A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．的最大值为 【题组一 基底的判断】 1．（2026湖北）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025广西）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（）u哦下单设，是平面内不共线的两个向量，则下列四组向量中，能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25高一下·全国·周测）（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题组二 平面向量基本定理】 6．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26甘肃白银·月考）已知在中，，若点满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26河南·月考）如图，在菱形ABCD中，，E，F分别为线段BC，CD的中点，则（    ） A． B．5 C． D．13 10．（25-26福建漳州·月考）在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026广西）在平行四边形中，，，点E为中点，点F满足，则（　　） A． B． C． D． 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题组三 根据平面向量的基本定理求参数（范围）】 14．（25-26江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26湖北孝感·月考）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 19．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，的中点为的中点为的中点为，若，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 21．（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 22．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2025河北衡水·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·河南漯河·期末）如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 26．（24-25湖南·月考）如图所示，是的一条中线，点O满足，过点O的直线分别与射线，射线交于两点．设，，实数，，则 ． 【题组四 平面基本定理的应用--共线】 27．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25辽宁·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 30．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于 ． 31．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 32．（24-25上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 33．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【题组五 平面向量的坐标运算】 34．（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 35．（202湖南）如图，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底，若，则向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 36．（2026·陕西宝鸡）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 37．（25-26湖南·月考）平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 38．（25-26河北·期中）已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 39．（2025高三·全国·专题练习）设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，，若，则等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 42．（2026·山东枣庄）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 43．（2025·四川南充）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 44．（25-26江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题组六 平面向量数量积的坐标表示及运算】 45．（25-26黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知向量，，，，且，则（    ） A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 46．（2025贵州）（多选）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 47．（25-26广东汕头·期末）（多选）设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（    ） A． B． C．在上的投影向量的坐标为 D． 48．（25-26安徽·月考）（多选）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 49．（25-26黑龙江佳木斯·月考）（多选）设向量，则下列说法错误的是（    ） A．若与的夹角小于，则 B．的最小值为 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．时，在上的投影向量为 50．（2025安徽）（多选）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与垂直 C． D．向量在方向上的投影向量为 【题组七 平面向量数量积的综合应用】 51．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 52．（2025·安徽）如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 53．（25-26安徽合肥·月考）已知正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，当时，（     ） A． B． C． D． 54．（25-26安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 55．（2025湖南常德·专题练习）在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 56．（25-26江西南昌·月考）（多选）已知平面向量满足，且的最小值为，则下列选项正确的是（ ） A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 57．（2025吉林长春·专题练习）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为，则 D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是 58．（25-26吉林延边·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 59．（25-26四川绵阳）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．当取得最大值时， D．的最大值为 60．（25-26重庆）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 61．（25-26辽宁锦州·期末）如图，在平面凸四边形中，，则 ．    62．（25-26北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    63．（25-26 天津南开·月考）在中，，，点M满足，，O为线段BM的中点，点N在线段BC上移动（包括端点），则线段的长度为 ，的最小值为 . 64．（25-26高一上·北京·期末）如图，在正方形中，点在上，且，若，则 ； ．    65．（25-26天津和平·月考）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则 ；若，则的最大值为 . 66．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $