精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

重庆八中 2025—2026 学年度 (上)期末考试高二年级 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 直线倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 4. 已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（ ） A. B. C. 5 D. 5. 已知数列 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点（三点共线）反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在等差数列中，首项，前项和为，若.则（） A. B. 公差 C. D. 是中的最大值 10. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 有两个极值点 B. 函数 的单调递减区间为 C. 是函数 的极大值点 D. 方程 有两个实数根 11. 已知直线过抛物线焦点，且直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列选项正确的是（） A. B. 若线段的中点为与抛物线交于点，则 C. 当时，直线的斜率为 D. 面积的最小值为4 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若椭圆的离心率为，则________. 13. 函数的单调减区间是_____. 14. 数学家在求二元二次方程的正整数解时，先找到初始解，其中是所有解的最小值. 因为 ，所以； 又因为 ，所以；重复上述过程，可得 这就找完了二元二次方程的正整数解. 那么，对双曲线在第一象限内的全部整点，则的面积为_____. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列 与等比数列 满足: . （1）求数列 与 的通项公式； （2）记集合 ，求集合 中的元素个数. 16. 如图，在四棱锥 中，底面是矩形，底面 ， 且 ，是中点，平面与线段交于点 . （1）求证: ； （2）若 ，求直线 与平面所成角正弦值. 17. 记 是数列 前 项和， ，且数列 是等差数列. （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 18. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，. （1）求证:是定值； （2）求证:过点作抛物线的切线为； （3）取，分别过作抛物线的切线交于点，求证: . 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和， 右焦点坐标为为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点作的平行线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作、的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. 证明： ①共线； ②为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中 2025—2026 学年度 (上)期末考试高二年级 数学试题 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线倾斜角为， 则，所以. 故选：B． 2. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数求出时的导数值即直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由题，当时导数值为， 所以直线方程为，即，故A正确. 故选：A. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. 11 B. 31 C. 32 D. 121 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，再用公比表示出，求出.由等比数列的前n项和公式即可求得. 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 4. 已知直线，圆，则直线被圆截得的弦长是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离，半径，弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理可求出弦长. 【详解】圆， 所以圆的半径，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：. 5. 已知数列 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对取倒数后符合裂项相消的形式，先裂项，再对问题式子相消即可. 【详解】由题得，则原式 故选：D. 6. 椭圆 与直线 交于 两点，则线段 的中点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线方程与椭圆方程联立结合韦达定理即可求解. 【详解】设，联立得， 所以，所以线段的中点的横坐标为， 代入得，所以线段的中点为. 故选：B 7. 已知数列 是严格递增数列，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的单调性令，解不等式可得. 【详解】由题意可得， 解得， 因为，所以. 故选：C. 8. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点（三点共线）反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率． 【详解】易知共线，共线，如图， 设，，则， 由得，， 又， 所以，， 所以， 所以， 由得， 因为，故解得， 则， 在中，，即，所以． 故选：C． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 在等差数列中，首项，前项和为，若.则（） A. B. 公差 C. D. 是中的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由根据等差数列求和公式可得，再结合通项公式和可得，进而可得，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】在等差数列中，已知，所以， 化简得，所以，故选项A正确； 因为且，所以公差，选项B正确； ，因为， 所以，故，选项C错误； 由于，，数列前7项为正，第8项为0，第9项及以后为负， 所以前7项和与前8项和相等且最大，即为的最大值，选项D正确. 故选：ABD 10. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 有两个极值点 B. 函数 的单调递减区间为 C. 是函数 的极大值点 D. 方程 有两个实数根 【答案】ACD 【解析】 分析】直接求导得，分析其导函数正负和单调性即可判断ABC，对D，通过代入计算和单调性即可判断. 【详解】对于A、C，函数的定义域为，函数求导得 令，解得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 因此是极大值点，是极小值点， 函数有两个极值点，AC正确； 对于B，由上分析可知函数的单调递减区间为，而不是，所以B错误； 对于D，由上分析函数的单调性求解函数的值域，因为， 当时，；当时，； 则当时，，且函数递增， 故一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递减，结合， 则其一定存在唯一实数根，使得， 当时，此时单调递增，则， 此时不存在实数根使得， 综上所述，方程 有两个实数根，D正确； 故选：ACD. 11. 已知直线过抛物线焦点，且直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，设，则下列选项正确的是（） A. B. 若线段的中点为与抛物线交于点，则 C. 当时，直线的斜率为 D. 面积的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：可通过联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求解； 选项B：先求出点P的坐标，再根据中点坐标公式得到点M的坐标，进而求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据弦长公式判断与的关系； 选项C：根据向量关系得到与的关系，再结合韦达定理求出直线的斜率； 选项D：先求出点P到直线的距离，再根据弦长公式求出，进而求出的面积，最后根据面积表达式求出最小值. 【详解】对于选项A：抛物线的焦点，设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程组，可得， 由韦达定理可知，，故A正确； 对于选项B：由，根据韦达定理， 则，所以线段的中点的坐标为， 对求导得，则在点处的切线方程为， 即；在点处的切线方程为， 联立两切线方程组 解得，，所以， 设，因为，，三点共线，且，， 所以直线的斜率不存在，点横坐标也为， 又因为在抛物线上，所以， 则，，所以，故B正确； 对于选项C：设，，因为， 则，即，， 又因为，，结合， 可得，， 直线的斜率，故C错误； 对于选项D：由上述分析可知， 点到直线的距离， 则， 所以当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若椭圆的离心率为，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】由椭圆离心率公式计算即可. 【详解】因为，所以，， 所以，解得. 故答案为：2. 13. 函数的单调减区间是_____. 【答案】 【解析】 分析】求导，解不等式即可. 【详解】， 解得， 故的单调减区间是. 故答案为： 14. 数学家在求二元二次方程的正整数解时，先找到初始解，其中是所有解的最小值. 因为 ，所以； 又因为 ，所以；重复上述过程，可得 这就找完了二元二次方程的正整数解. 那么，对双曲线在第一象限内的全部整点，则的面积为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】结合题目所给的循环构造的方法得，用向量面积公式表示出面积，再换元，化简即可求解. 【详解】由题意得方程的初始解为， 则根据循环构造原理得， 从而， 记，则，设，的夹角为， 则的面积 ， 令，， 则 . 故答案为：1. 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列 与等比数列 满足: . （1）求数列 与 的通项公式； （2）记集合 ，求集合 中的元素个数. 【答案】（1）数列 的通项公式为，数列 的通项公式为. （2）11 【解析】 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出； （2）求集合 中的元素个数就是求满足且的取值个数，通过变形得到，然后赋值计算即可. 【小问1详解】 设等差数列 的公差为，已知，，即，解得， ， 设等比数列 的公比为，已知，，即，解得， ， 因此，数列 的通项公式为，数列 的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知数列 的通项公式为，则，集合， 由（1）可知数列 的通项公式为，集合， 令，则， ，， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，（舍去）， 故满足条件的有个，即集合 中的元素个数为. 16. 如图，在四棱锥 中，底面是矩形，底面 ， 且 ，是的中点，平面与线段交于点 . （1）求证: ； （2）若 ，求直线 与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定与性质定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由题意求出线段的长度，确定相关点坐标，求解平面的法向量，利用空间角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在矩形中，，又平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，又因为是的中点，所以是的中点， 因为平面，平面,所以,.又因为，， 所以，所以.又在矩形中， 所以两两垂直.如图以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，设平面的一个法向量为则，即，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 记 是数列 的前 项和， ，且数列 是等差数列. （1）求 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列 是等差数列先求出，再利用的关系即可求出. （2）先求出，再利用错位相减即可求出数列 的前 项和 . 【小问1详解】 ，，，又，则， 又数列 是等差数列，设其公差为，则， 由等差数列的通项公式可得，即， 当时，， 当时，，上式也成立， 故 的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知， 的通项公式为，， ， 即 ①， 该式两边同乘得， ②， ①②得 ， ， ， . 18. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，. （1）求证:是定值； （2）求证:过点作抛物线的切线为； （3）取，分别过作抛物线的切线交于点，求证: . 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，与抛物线方程联立，根据韦达定理可证； （2）求出的导函数，即可得出切线斜率，再根据点斜式求方程； （3）先求出过点的抛物线的切线方程，再设，根据同构思想得出是方程的两根，再结合（1）可得，化简，根据等比数列的求和公式得出，再结合数列的增减性可证. 【小问1详解】 抛物线的焦点， 由题意可知，直线的斜率不为，故设， 联立，得， 则， 故是定值，定值为. 【小问2详解】 由题意可知，点在函数的图象上， 因为，所以在点处的切线斜率为， 故过点作抛物线的切线为，即； 【小问3详解】 由题意可知，点在函数的图象上， 因为，所以在点处的切线斜率为， 故过点作抛物线的切线为，即， 设，则， 故是关于的方程的两根，则，得， 则，即， 因为，所以， 则， 则 ， 因为，且数列是递增数列，所以， 则，命题得证. 19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和， 右焦点坐标为为坐标原点. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点作的平行线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作、的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点. 证明： ①共线； ②为定值，. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程； （2）①设斜率为3，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论； ②设坐标为，直线方程为，结合①中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设斜率为3，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，则，解得， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程，解得， 即，，又， 则， ， 所以，即都直线上，所以共线； ②为定值，定值为，理由如下： 由①得，设坐标为，则直线方程为， 即①中，则，， 而， ， 所以，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $