专题10一次函数寒假预习讲义（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题10一次函数寒假预习讲义（1） 1.分清变量与常量，吃透函数、一次函数（含正比例函数）核心知识点； 2.会判断函数类型、求简单一次函数解析式，筑牢基础； 3.掌握一次函数解实际问题的方法，轻松应对行程、计费等基础题型； 4.提前攻克重难点，寒假预习不盲目，开学跟上更轻松。 预习必备 知识点梳理 1.一次函数的概念 2.实际问题与一次函数 3.高频易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.正比例函数的概念与判定 2.一次函数的识别与判定 3.由一次函数的定义求参数 4.求一次函数自变量或函数值 5.列一次函数解析式并求值 6.一次函数的分配方案应用 7.一次函数的最大利润应用 8.一次函数的梯度计价应用 9.一次函数的其他实际应用 10.一次函数与几何综合应用 11.一次函数的行程问题应用 强化巩固 (10题) 【知识点01.一次函数的概念】 1.变量与常量： 在变化过程中，数值不变的量为常量，数值发生变化的量为变量；一个变化过程中有两个变量 x、y，若 x 每取一个值，y 有唯一值与之对应，称 y 是 x 的函数，x 为自变量。 2.正比例函数定义： 形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫正比例函数，k为比例系数；自变量 x 的次数为 1，且不含常数项。 3.一次函数定义： 形如y=kx+b（k、b是常数，k0）的函数，叫一次函数；自变量 x 的取值范围为全体实数，函数值 y 随 x 的取值唯一确定。 4.三者关系：正比例函数是特殊的一次函数（当一次函数中b=0时，即为正比例函数），一次函数包含正比例函数。 5.判断方法： ①整理后解析式为y=kx+b形式； ②k0； ③x 的次数为1 次；满足以上三点为一次函数，额外满足b=0为正比例函数。 【知识点02.实际问题与一次函数】 1.解题核心思路：建模型→列解析式→解问题； 先从实际问题中找出两个变量，确定自变量与函数，再根据数量关系列出一次函数解析式，最后结合题意求解。 2.列解析式步骤： ①审：找出实际问题中的常量、变量，明确数量关系； ②设：设自变量为 x，函数为 y，标注单位； ③列：根据等量关系写出y=kx+b形式的解析式； ④定：结合实际意义，确定自变量 x 的取值范围（不再是全体实数，如人数、长度为非负数）。 3.一次函数的实际应用类型 1. 梯度计价问题（水费 / 电费 / 话费 / 出租车费 / 快递费） 核心逻辑：分区间列关系式，临界值单独判定 起步价 / 基础费用段：总价 = 基础费（起步价）（自变量≤临界值） 超额计费段：总价 = 基础费 + 超额部分单价 × 超额数量（自变量 > 临界值）通用公式：y=​ （a= 临界值，b= 基础费，k= 超额单价，x= 计费量，y= 总价） 2. 方案选择问题（购票 / 租车 / 购物 / 加工 / 运输） 核心逻辑：分别列各方案的一次函数解析式，再比较 通用公式：总价y = 固定成本b + 单位变动成本k × 数量x 无固定成本方案：总价y = 单价k × 数量x 关键：不同方案仅k、b取值不同，统一设自变量为决策量（数量 / 人数） 3. 销售利润问题 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润核心公式：总利润y = 单件利润 × 销售数量x - 固定成本（若有） 变形：总利润y = (售价 - 进价)×x；总销售额 = 售价 × 销售数量 促销类：总利润 = (折后售价 - 进价)× 销售数量 - 促销成本 4. 行程问题 相遇问题：总路程 = 甲行驶路程 + 乙行驶路程 = 甲速度 × 时间 + 乙速度 × 时间 追及问题：路程差 = 快者行驶路程 - 慢者行驶路程 = (快速度 - 慢速度)× 追及时间 单程 / 往返问题：总路程 = 速度 × 时间；往返总路程 = 2× 单程路程 顺水 / 逆水行船：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度水速 通用公式：路程y = 速度k × 时间x（速度不变时，y是x的正比例函数） 5. 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作问题：总工作量 = 甲工作量 + 乙工作量 = 甲效率 × 时间 + 乙效率 × 时间 剩余工作量：剩余工作量y = 总工作量 - 工作效率k × 工作时间x 通用公式：完成工作量y = 工作效率k × 工作时间x（效率不变时）（注：常将总工作量设为 “1”，效率为） 6. 配套 / 分配问题 核心逻辑：配套比例为固定值，根据比例列等量关系 例如：1 个 A 配 2 个 B，则 A 的数量 × 2 = B 的数量 分配问题：总量 = 各部分分配量之和，如物资总量 = 甲分配量 + 乙分配量 通用：设其中一个量为x，根据比例用x表示另一个量，再结合总量列解析式 7. 计费 / 缴费类（无梯度） 总价y = 单价k × 数量x（正比例函数，无固定费） 总价y = 月租费 / 固定费b + 单价k × 用量x（一次函数，含固定费） 通用等量关系（所有类型通用） 一次函数基本模型：y=kx+b k：单位变化量（单价 / 效率 / 速度等，固定不变） b：初始值 / 固定成本（基础费 / 起步价 / 剩余量 / 总工作量等，b=0时为正比例函数） x：自变量（数量 / 时间 / 用量 / 人数等，需结合实际定取值范围） y：函数值（总价 / 路程 / 工作量 / 总利润等，随x变化） 【知识点03.高频易错点总结】 · 判函数漏查k0，或未整理解析式 · 混淆概念，认为一次函数都是正比例函数 · 实际应用默认x取全体实数，忽略实际取值范围 · 梯度计价漏分区间、临界值算错，直接代入计算 · 列关系混淆自变量 / 函数，总利润漏乘销量等 · 计算结果不检验，保留负数 / 小数等不合理答案 . 【题型1.正比例函数的概念与判定】 【典例】下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 【跟踪专练2】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【题型2.一次函数的识别与判定】 【典例】若是一次函数，则m的值是 ． 【跟踪专练1】有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型3,由一次函数的定义求参数】 【典例】函数是关于的一次函数，则 ． 【跟踪专练1】已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】若是关于的正比例函数，则的值是 ． 【题型4.求一次函数自变量或函数值】 【典例】当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练1】已知一次函数，则当时，y的值是 ． 【跟踪专练2】已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.列一次函数解析式并求值】 【典例】某种型号汽车的油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶的路程为，行驶过程中油箱内剩余的油量为y（L），则y与x之间的函数关系式是 ． 【跟踪专练1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ． 【题型6.一次函数的分配方案应用】 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【跟踪专练1】A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 【跟踪专练2】蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【题型7.一次函数的最大利润应用】 【典例】“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【跟踪专练2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型8.一次函数的梯度计价应用】 【典例】某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【跟踪专练1】小陆同学和家人一同从家出发观看跳水比赛，由于距离较远，决定打车前往．已知出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于），超过每增加（不足按计算）加收元，则出租车费（单位：元）与行程（单位：，且为整数）之间的关系式为 ． 【跟踪专练2】某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【题型9.一次函数的其他实际应用】 【典例】购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 26．【跟踪专练1】某商店某年6月初销售纯净水的数量如下表所示．观察此表，利用所学的函数知识预测该年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶． 日期 1 2 3 4 数量/瓶 120 125 130 135 【跟踪专练2】某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量y（L）与时间x（）之间的关系如图所示． (1)该机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L； (2)求该机器工作时y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值． 【题型10.一次函数与几何综合应用】 【典例】已知和两点，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．6或 C．3 D．3或 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ． 【跟踪专练2】如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 【题型11.一次函数的行程问题应用】 【典例】甲、乙两人同时从地出发，以各自的速度匀速骑车到地，甲先到地后原地休息．甲、乙两人的距离与乙骑车的时间之间的函数关系图象如图，则甲的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 【跟踪专练2】某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校．下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题： (1)小楠停车进早餐店是在什么时间？此时离家有多远？ (2)小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？ (3)小楠从家到学校的平均速度是多少？ 1．某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明购买一种笔记本付款金额（元）与购买量（本）之间的函数图像由线段和射线组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（    ） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 3．如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 4．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 5．已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中，分别表示甲、乙离开地的路程（单位：）与乙离开地的时间（单位：）的函数关系，则乙出发 被甲追上． 6．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 解答题 7．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 8．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 9．甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示与x间的函数关系． (1)甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元； (2)当时，求与x的函数表达式； (3)游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 10．建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一次函数寒假预习讲义（1） 1.分清变量与常量，吃透函数、一次函数（含正比例函数）核心知识点； 2.会判断函数类型、求简单一次函数解析式，筑牢基础； 3.掌握一次函数解实际问题的方法，轻松应对行程、计费等基础题型； 4.提前攻克重难点，寒假预习不盲目，开学跟上更轻松。 预习必备 知识点梳理 1.一次函数的概念 2.实际问题与一次函数 3.高频易错点总结 常考题型 精讲精炼 1.正比例函数的概念与判定 2.一次函数的识别与判定 3.由一次函数的定义求参数 4.求一次函数自变量或函数值 5.列一次函数解析式并求值 6.一次函数的分配方案应用 7.一次函数的最大利润应用 8.一次函数的梯度计价应用 9.一次函数的其他实际应用 10.一次函数与几何综合应用 11.一次函数的行程问题应用 强化巩固 (10题) 【知识点01.一次函数的概念】 1.变量与常量： 在变化过程中，数值不变的量为常量，数值发生变化的量为变量；一个变化过程中有两个变量 x、y，若 x 每取一个值，y 有唯一值与之对应，称 y 是 x 的函数，x 为自变量。 2.正比例函数定义： 形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫正比例函数，k为比例系数；自变量 x 的次数为 1，且不含常数项。 3.一次函数定义： 形如y=kx+b（k、b是常数，k0）的函数，叫一次函数；自变量 x 的取值范围为全体实数，函数值 y 随 x 的取值唯一确定。 4.三者关系：正比例函数是特殊的一次函数（当一次函数中b=0时，即为正比例函数），一次函数包含正比例函数。 5.判断方法： ①整理后解析式为y=kx+b形式； ②k0； ③x 的次数为1 次；满足以上三点为一次函数，额外满足b=0为正比例函数。 【知识点02.实际问题与一次函数】 1.解题核心思路：建模型→列解析式→解问题； 先从实际问题中找出两个变量，确定自变量与函数，再根据数量关系列出一次函数解析式，最后结合题意求解。 2.列解析式步骤： ①审：找出实际问题中的常量、变量，明确数量关系； ②设：设自变量为 x，函数为 y，标注单位； ③列：根据等量关系写出y=kx+b形式的解析式； ④定：结合实际意义，确定自变量 x 的取值范围（不再是全体实数，如人数、长度为非负数）。 3.一次函数的实际应用类型 1. 梯度计价问题（水费 / 电费 / 话费 / 出租车费 / 快递费） 核心逻辑：分区间列关系式，临界值单独判定 起步价 / 基础费用段：总价 = 基础费（起步价）（自变量≤临界值） 超额计费段：总价 = 基础费 + 超额部分单价 × 超额数量（自变量 > 临界值）通用公式：y=​ （a= 临界值，b= 基础费，k= 超额单价，x= 计费量，y= 总价） 2. 方案选择问题（购票 / 租车 / 购物 / 加工 / 运输） 核心逻辑：分别列各方案的一次函数解析式，再比较 通用公式：总价y = 固定成本b + 单位变动成本k × 数量x 无固定成本方案：总价y = 单价k × 数量x 关键：不同方案仅k、b取值不同，统一设自变量为决策量（数量 / 人数） 3. 销售利润问题 单件利润 = 售价 - 进价（成本） 总利润核心公式：总利润y = 单件利润 × 销售数量x - 固定成本（若有） 变形：总利润y = (售价 - 进价)×x；总销售额 = 售价 × 销售数量 促销类：总利润 = (折后售价 - 进价)× 销售数量 - 促销成本 4. 行程问题 相遇问题：总路程 = 甲行驶路程 + 乙行驶路程 = 甲速度 × 时间 + 乙速度 × 时间 追及问题：路程差 = 快者行驶路程 - 慢者行驶路程 = (快速度 - 慢速度)× 追及时间 单程 / 往返问题：总路程 = 速度 × 时间；往返总路程 = 2× 单程路程 顺水 / 逆水行船：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度水速 通用公式：路程y = 速度k × 时间x（速度不变时，y是x的正比例函数） 5. 工程问题 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作问题：总工作量 = 甲工作量 + 乙工作量 = 甲效率 × 时间 + 乙效率 × 时间 剩余工作量：剩余工作量y = 总工作量 - 工作效率k × 工作时间x 通用公式：完成工作量y = 工作效率k × 工作时间x（效率不变时）（注：常将总工作量设为 “1”，效率为） 6. 配套 / 分配问题 核心逻辑：配套比例为固定值，根据比例列等量关系 例如：1 个 A 配 2 个 B，则 A 的数量 × 2 = B 的数量 分配问题：总量 = 各部分分配量之和，如物资总量 = 甲分配量 + 乙分配量 通用：设其中一个量为x，根据比例用x表示另一个量，再结合总量列解析式 7. 计费 / 缴费类（无梯度） 总价y = 单价k × 数量x（正比例函数，无固定费） 总价y = 月租费 / 固定费b + 单价k × 用量x（一次函数，含固定费） 通用等量关系（所有类型通用） 一次函数基本模型：y=kx+b k：单位变化量（单价 / 效率 / 速度等，固定不变） b：初始值 / 固定成本（基础费 / 起步价 / 剩余量 / 总工作量等，b=0时为正比例函数） x：自变量（数量 / 时间 / 用量 / 人数等，需结合实际定取值范围） y：函数值（总价 / 路程 / 工作量 / 总利润等，随x变化） 【知识点03.高频易错点总结】 · 判函数漏查k0，或未整理解析式 · 混淆概念，认为一次函数都是正比例函数 · 实际应用默认x取全体实数，忽略实际取值范围 · 梯度计价漏分区间、临界值算错，直接代入计算 · 列关系混淆自变量 / 函数，总利润漏乘销量等 · 计算结果不检验，保留负数 / 小数等不合理答案 . 【题型1.正比例函数的概念与判定】 【典例】下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数， 根据正比例函数的定义判定即可． 【详解】解：∵正比例函数需满足， 选项A：，不满足定义，不符合题意； 选项B：，满足定义，符合题意； 选项C：，不满足定义，不符合题意； 选项D：，不满足定义，不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】新定义：为一次函数（，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”为的一次函数是正比例函数，则点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了一次函数的定义，判断点所在的象限．根据新定义，关联数对应一次函数的系数，正比例函数要求常数项为零，从而求出m的值，再代入点的坐标进行判断该点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵“关联数”为的一次函数是正比例函数， ∴是正比例函数， ∴， 解得， ∴ 则点坐标为， ∴点在第二象限． 故答案为：二 【跟踪专练2】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型2.一次函数的识别与判定】 【典例】若是一次函数，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】根据一次函数的定义得出且，再求出m即可． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出且是解此题的关键． 【跟踪专练1】有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足（k为非零常数）的形式是解题的关键． 正比例函数的形式为（k为常数且），根据此定义判断每个函数即可． 【详解】解：∵正比例函数需满足， ①，符合形式，； ②，不是一次函数，不符合； ③，符合形式，； ④，有常数项，不符合； ⑤，的次数为，不符合； ⑥，有常数项，不符合； ∴正比例函数有①和③，有个． 故选：B． 【跟踪专练2】下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据一次函数的定义即可即可． 【解答】解：A、此函数是一次函数，故此选项符合题意； B、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意； C、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意； D、是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【题型3,由一次函数的定义求参数】 【典例】函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义得出，求解可得答案． 【详解】解：由函数是关于x的一次函数， 得：， 解得： 故答案为：2． 【跟踪专练1】已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 【跟踪专练2】若是关于的正比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足常数项为且比例系数不为是解题的关键． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），即常数项为零且比例系数非零． 【详解】解：∵ 是正比例函数，所以常数项 且比例系数 由 得 ， ∴或 ∵，即 ， ∴． 故答案为：． 【题型4.求一次函数自变量或函数值】 【典例】当时，函数的值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，正确掌握求解方法是解题的关键． 把代入解析式进行计算即可得． 【详解】解：将代入得，． 故选：D． 【跟踪专练1】已知一次函数，则当时，y的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查求函数值，将自变量的值代入求出答案即可． 【详解】解：将代入， 得， 故答案为1． 【跟踪专练2】已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【详解】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 【题型5.列一次函数解析式并求值】 【典例】某种型号汽车的油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶的路程为，行驶过程中油箱内剩余的油量为y（L），则y与x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】由余油量等于总油量减去消耗的油量列函数关系式即可． 【详解】解：由题意可知：，即， ∴y与x之间的函数表达式：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，掌握“余油量等于总油量减去消耗的油量”是解本题的关键． 【跟踪专练1】汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可． 【详解】解：∵汽车行驶的路程为：， ∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：， ∵， ∴自变量t的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系． 【跟踪专练2】点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上，则代数式12a－3b＋1的值等于 ． 【答案】-8 【分析】把坐标代入解析式，整体变形代入求解即可． 【详解】∵点P(a，b)在函数y＝4x＋3的图象上， ∴b=4a+3， ∴3b=12a+9， ∴12a-3b=-9， ∴12a－3b＋1=1-9=-8, 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了一次函数图像与点的关系，熟练运用点的坐标满足函数的解析式转化条件求解是解题的关键． 【题型6.一次函数的分配方案应用】 【典例】已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 【跟踪专练1】A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式． 【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机 W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）] ＝140x+12540， 故答案为：W＝140x+12540． 【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式． 【跟踪专练2】蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A为600元，B为1000元． (2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元． 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为． 解得 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元． 由题意，得， 其中，解得， 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴ 解得， 综上，的取值范围是且为整数． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低， 总费用为（元）． ∴， 故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 【题型7.一次函数的最大利润应用】 【典例】“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 【跟踪专练1】某公司生产一种营养品，每日购进所需食材500千克，制成A，B两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如下表： 规格 每包食材含量 每包售价 A包装 1千克 45元 B包装 0.25千克 12元 已知生产的营养品当日全部售出．若A包装的数量不少于B包装的数量，则A为 包时，每日所获总售价最大，最大总售价为 元． 【答案】 400 22800 【分析】设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元，根据题意列出y与x的关系和W与x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设A包装的数量为x包，B包装数量为y包，总售价为W元， 根据题意，得：， ∴y=-4x+2000， 由x≥-4x+2000得：x≥400， ∴W=45x+12y=45x+12（-4x+2000）=-3x+24000， ∵-3＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=400时，W最大，最大为-3×400+24000=22800（元）， 故答案为：400，22800． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解答的关键是根据题意，正确列出一次函数关系式，会利用一次函数性质解决问题． 【跟踪专练2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元 (2)购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元． 根据题意得：         解得． 答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元； （2）解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元． 则该公司购进辆型汽车，根据题意得： ，即， ， 随的增大而减小， 又均为正整数， 的最小值为2， 此时（辆）． 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 【题型8.一次函数的梯度计价应用】 【典例】某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 【跟踪专练1】小陆同学和家人一同从家出发观看跳水比赛，由于距离较远，决定打车前往．已知出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于），超过每增加（不足按计算）加收元，则出租车费（单位：元）与行程（单位：，且为整数）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，当行程小于或等于时，费用为元，超过部分的费用为元，把两部分费用加起来就是出租车的费用，从而可得与的关系式． 【详解】解：当行程小于或等于时，费用为元，超过部分的费用为元， 出租车费与行程之间的关系式为：， 整理得：． 故答案为： ． 【跟踪专练2】某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【答案】(1) (2)1350元． (3)该单位组织了60人去该风景区游览． 【分析】（1）当人数时，门票费用由人基础费用和超出人的额外费用两部分组成，将两部分相加并整理成函数表达式． （2）已知人数，直接代入（1）中得到的函数表达式计算费用． （3）先判断费用元对应的人数是否超过人，再代入函数表达式解方程求人数． 【详解】（1）解：． （2）解：将代入，得． 故购买门票的费用为元． （3）解：由题意知，该单位组织去该风景区游览的人数超过． 将代入，得， 解得． 故该单位组织了人去该风景区游览． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握分段收费问题需先判断区间，再代入对应表达式计算是解题的关键． 【题型9.一次函数的其他实际应用】 【典例】购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 26．【跟踪专练1】某商店某年6月初销售纯净水的数量如下表所示．观察此表，利用所学的函数知识预测该年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶． 日期 1 2 3 4 数量/瓶 120 125 130 135 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握通过观察数据规律确定函数模型，并用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 观察数据，销售数量随日期均匀增加，符合一次函数模型，设，利用待定系数法求解． 【详解】解：设销售数量与日期的函数关系为，选取点和， 代入得方程组： 解得 ∴， 检验：当时，；当，，表中数据均符合上述一次函数解析式， 当时，， 故预测月日销售数量约为瓶． 故答案为：． 【跟踪专练2】某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量y（L）与时间x（）之间的关系如图所示． (1)该机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L； (2)求该机器工作时y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值． 【答案】(1)3； (2) (3)5或40 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、分段函数的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是从图象中获取有效信息，区分加油阶段与工作阶段的不同变化规律，并结合一次函数表达式进行计算， （1） 加油阶段：用总加油量除以加油时间得每分钟加油量；工作阶段：用总耗油量除以工作时间得每分钟耗油量； （2） 工作阶段为一次函数，利用图象上两点坐标，用待定系数法求函数表达式，并确定自变量的取值范围； （3） 油箱容积的一半为，需分加油阶段和工作阶段分别列方程求解的值． 【详解】（1）解：每分钟加油量， 工作时间， 总耗油量， 每分钟耗油量， 故答案为：；； （2）解：设机器工作时y关于的函数表达式为， 将点、代入，得， ，解得. ， 自变量的取值范围为； （3）解：油箱容积为，其一半为， ① 加油阶段（）：，令，解得， ② 工作阶段（）：，令，解得， 综上，的值为或40． 【题型10.一次函数与几何综合应用】 【典例】已知和两点，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B．6或 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，一次函数与几何图形的综合，理解坐标轴上的点，几何图形面积的计算是关键． 根据点坐标得到对应线段的长，结合几何图形面积的计算即可求解． 【详解】解：已知和两点， ∴， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的相关知识，具体包括：一次函数上点的坐标特征，垂直于坐标轴的两点距离计算．求解出点M与点N的坐标是解决本题的关键． 首先根据点在直线上，点N在直线上且轴，用含m的式子表示出M、N两点的坐标，然后根据，求解m的取值范围． 【详解】解：因为点M是直线上的动点，且点M的横坐标为m， 将代入，可得， 所以点M的坐标为． 因为轴，且点N在直线上， 所以点N的横坐标也为m， 将代入，可得， 所以点N的坐标为． 因为，，两点横坐标相同， 所以． 当时，解得， 即点M的横坐标位于与2中间时，， 故m的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线：交轴于点，与轴交于点，直线经过点，交轴于点，直线交直线于点． (1)求出直线的函数解析式； (2)若直线上的点满足的面积是面积的一半，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出一次函数的解析式是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）根据的面积是面积的一半，列出方程求出点的纵坐标，进而求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，当时，， ∴或． 【题型11.一次函数的行程问题应用】 【典例】甲、乙两人同时从地出发，以各自的速度匀速骑车到地，甲先到地后原地休息．甲、乙两人的距离与乙骑车的时间之间的函数关系图象如图，则甲的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过函数图象获取甲、乙两人骑行过程中的信息，利用路程、速度和时间的关系来求解甲的平均速度．解题关键在于准确理解函数图象中横、纵坐标的含义，从中提取出甲、乙两人的运动时间、路程等关键信息，再灵活运用路程、速度、时间的公式进行计算． 【详解】解：从图象可知，在时，甲、乙两人的距离达到最大值，这表明此时甲到达地，而乙还在途中， ∴是甲从地到地所用的时间． 在到这个时间段，甲在地休息，乙继续骑行，的时间乙骑行了． ∴乙的速度乙． ∵乙从地到地共用了， ∴、两地的距离． 甲从地到地用了，根据速度公式，甲的平均速度甲． 故选：D 【跟踪专练1】两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图，表示两人离地的距离与时间的关系，请结合图像解答下列问题： 表示乙离地的距离与时间关系的图像是 填“”或“； 甲的速度是 ，乙的速度是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像，从函数图像中找到正确的信息是解题的关键． 根据图像可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是，由图像可得，甲走需要2小时，乙走需要3小时，即可解答． 【详解】解：由图像，可得表示乙离地的距离与时间关系的图象是； （），（）， ∴甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：；30；20． 【跟踪专练2】某天7时，小楠从家骑自行车上学，途中到一家早餐店吃早餐花了一段时间，然后继续骑行，按时到达学校．下图反映了他骑车的整个过程，结合图象，回答下列问题： (1)小楠停车进早餐店是在什么时间？此时离家有多远？ (2)小楠吃早餐花了多长时间？吃完早餐后又花了多长时间到达学校？ (3)小楠从家到学校的平均速度是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察路程时间图像，找到距离不再变化的起始点，通过横坐标确定时间，纵坐标确定离家距离； （2）吃早餐的时间对应图像中距离不变的水平线段时长；吃完早餐后到学校的时间为后续倾斜线段的时间差； （3）平均速度=总路程÷总时间，总路程取终点纵坐标，总时间取起点到终点的横坐标差． 【详解】（1）解：从横坐标看出，小楠停车进早餐店的时间是； 从纵坐标看出，此时离家． （2）解：从横坐标看出，小楠吃早餐花了； 小楠吃完早餐后又花了到达学校． （3）解：从纵坐标看出，小楠家离学校； 从横坐标看出，他在路上共花了． 故他从家到学校的平均速度是． 【点睛】本题考查了路程时间函数图像的实际应用，掌握图像中水平线段代表静止，倾斜线段代表运动，平均速度由总路程与总时间的比值确定是解题的关键． 1．某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 2．如图，小明购买一种笔记本付款金额（元）与购买量（本）之间的函数图像由线段和射线组成．则一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省（    ） A．2元 B．4元 C．6元 D．8元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．根据待定系数法求出当时对应的函数关系式，当时，求出对应的值；求出当时，每本笔记本的价格，从而求出分8次购买每次购买1本的付款金额，进而求出一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省多少钱即可． 【详解】解：当时，设对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 当时，设对应的函数关系式为， 当时，， 一次购买8本笔记本付款金额为36元， 当时，每本笔记本的价格为（元）， （元）， 分8次购买每次购买1本付款金额为40元， （元）， 一次购买8本笔记本比分8次购买每次购买1本节省4元． 故选：B． 3．如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质（对角线互相平分）与一次函数的待定系数法，解题关键是先确定对角线交点坐标，再代入直线方程求解参数． 先确定矩形对角线交点的坐标，再将其代入直线方程求解的值． 【详解】解：，， 点的坐标为，点的坐标为，则线段的中点坐标为． 直线经过矩形对角线的交点，即经过线段的中点， 把代入，得，解得． 故答案为：D． 4．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 5．已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中，分别表示甲、乙离开地的路程（单位：）与乙离开地的时间（单位：）的函数关系，则乙出发 被甲追上． 【答案】1.8 【分析】先分别求出甲、乙对应的路程与时间的函数关系式，再联立方程求解相遇（甲追上乙）的时间． 【详解】解：由题意和图可知， 乙的速度为，∴乙的路程函数为． 甲在时出发，设甲的函数为， 代入点和， ， 解得：． ∴甲的路程函数为， 当甲追上乙时，，即：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（追及问题），解题关键是根据图像求出甲、乙的路程函数关系式，再联立方程求解追及时间． 6．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为 ； （2）当安排 名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 解答题 7．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？ (2)若函数是一次函数，则为何值时，的值为3？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． （1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）解：由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数； （2）解：由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 8．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 9．甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，“春节期间”，两家采摘园将推出优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为（元），在乙园所需总费用为（元），、与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示与x间的函数关系． (1)甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元； (2)当时，求与x的函数表达式； (3)游客在“春节期间”采摘多少千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 【答案】(1)60，30 (2) (3)采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 【分析】本题考查一次函数的应用、求一次函数解析式、一次函数的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据函数图象和图象中的数据即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图象可得，再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：（元/千克）． 故答案为：60，30． （2）解：当时，设与x的函数表达式是， ，得， 所以，当时，与x的函数表达式是； （3）解：由题意可得，， 当时，令，得； 当时，令，得． 答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同． 10．建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 (1)如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线的表达式； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【分析】（1）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； （3）解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $