第六章 平面向量及其应用（举一反三讲义·培优篇）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学平面向量及其应用单元复习讲义，通过十四大压轴题型系统构建知识体系，以题型归纳为框架梳理向量概念、运算、几何应用及正余弦定理等核心内容，用脉络图呈现重难点内在联系，突出知识递进关系。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，如向量共线定理应用、用向量解决夹角问题等题型，通过例题变式培养学生运算能力与推理意识，结合几何图形强化数学建模。基础题巩固知识，压轴题提升思维，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习突破难点。

第六章 平面向量及其应用全章十四大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 相等向量与共线（平行）向量 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【解答过程】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解答过程】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 3．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解题思路】根据向量相等的概念可得结果. 【解答过程】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 5．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【解答过程】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 题型2 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【解答过程】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 3．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线的向量表示即可求解. 【解答过程】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C. 4．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】12 【解题思路】先求，由A，B，D三点共线，利用共线向量定理得存在实数，使得，进而求解. 【解答过程】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和向量加法得到可解. 【解答过程】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解. 【解答过程】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【解题思路】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 题型4 向量共线、垂直的坐标表示 1．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知向量，，.若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示计算得解. 【解答过程】∵，，∴， 又，与平行， ∴，解得， 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积坐标运算； （2）根据共线向量的坐标公式计算. 【解答过程】（1）由题可知，， ， 解得 （2）由，得 ， ， . 5．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【解答过程】（1）由于，若，则满足，解得； （2）与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 题型5 向量坐标运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【解答过程】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B. 2．（24-25高一下·河北保定·月考）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【解答过程】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则， ，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C. 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【解题思路】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【解答过程】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型6 用向量解决夹角问题 1．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 2．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【解答过程】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， 故选：D． 4．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解答过程】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型7 用向量解决线段的长度问题 1．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答过程】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解答过程】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 5．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 题型8 向量与几何最值问题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【解答过程】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    2．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C. 4．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得； 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 ， 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 题型9 正、余弦定理判定三角形形状 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解题思路】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【解答过程】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得 ， 所以 ， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【解题思路】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【解答过程】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【解答过程】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 题型10 三角形面积的最值或范围问题 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】结合已知条件，分别在、中应用余弦定理，可得，整理可得.由于，解得.利用同角三角函数基本关系式可求.进而根据三角形的面积公式可得.最后利用二次函数的性质即可求解的面积的最大值. 【解答过程】在中，由余弦定理得： . 在中，由余弦定理得： . .即. ，则. ， . 则当时，取得最大值. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值． 【解答过程】 ，，即，， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知，， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为． 故选：D． 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【解答过程】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 【答案】 【解题思路】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【解答过程】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积 ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 题型11 证明三角形中的恒等式或不等式 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据，，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得. （2）根据（1），然后结合余弦定理证明即可； 【解答过程】（1）依题意，，所以，即， 由正弦定理可知，，即， 从而， A为三角形内角，故. （2）由（1）可知，，由余弦定理可得：， 即， 则，又， 故， 从而. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）由余弦定理及三角形面积公式结合题意可得，据此可得答案； （2）由基本不等式，三角函数值域，利用作差法可完成证明； （3）由结合正弦定理和余弦定理可得，然后由（2）中结论可得答案. 【解答过程】（1）由， ，联立得， 则，因为，， 所以，即； （2） ， 当且仅当时等号成立； 因为，所以， 此时，当且仅当是等边三角形时等号成立， 则，即. （3）因为， 所以. 当且仅当是等边三角形时等号成立. 题型12 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可求得，再利用正弦定理把表示出的三角函数，由三角恒等变换，结合正弦函数性质可得取值范围． 【解答过程】因为 由正弦定理可得，即， 所以，因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 故选：A． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由余弦定理，二倍角的正余弦公式、正切公式，同角的三角函数关系得到，再由正弦定理边化角和辅助角公式得到，然后结合锐角三角函数的角度范围和三角函数的有界性求解. 【解答过程】 ，即， 又为锐角，. 所以，所以， 由正弦定理可得 ， 且 是锐角三角形，， 即， 又，所以 ， 即的周长的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【解答过程】（1）由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即； （2）由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为. 题型13 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解直角三角形结合等边三角形的性质计算即可； （2）利用正弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质计算即可. 【解答过程】（1）当为等边三角形时，因为，所以， 则在中，， 故，即； （2）设，则，． 在中，由正弦定理可得， 则， 则在中， ， 因为，所以， 所以当时上式取得最大值， 即AD的最大值为． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【解题思路】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 3．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【解答过程】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则 ． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． 4．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为； （2）． 【解题思路】（1）整理得 ，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【解答过程】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 5．（2025·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【解答过程】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 题型14 正、余弦定理的其他应用 1．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【解答过程】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】D 【解题思路】连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解. 【解答过程】如图，    延长与交于点 由，得 连接取的中点,连接, 则由三角形中位线定理知， , 在中，由余弦定理得 , 即 所以三个图形，，的面积之和为 故选：D 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 【答案】15 【解题思路】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间. 【解答过程】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时， 则，， ∴在中，已知,, ， 由余弦定理得， ，即， 由正弦定理得， 则， ， ∴为东西走向，， 在中，由正弦定理得， 则，且为锐角， ∴， 即，∴小时，即分钟. 故答案为：. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 【答案】(1) (2)小李的设计符合要求，理由见解析；总造价为（元） 【解题思路】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理面积公式得到选择建筑环境标志费用较低，再计算其建造费用即可. 【解答过程】（1）在中，由余弦定理，得． 在中，由余弦定理得． 由，得，所以， 解得，所以长度为． （2）小李的设计符合要求．理由如下： 因为，， 因为，所以，故选择建筑环境标志费用较低． 因为，所以是等边三角形，， 所以， 所以总造价为（元）． 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 【解题思路】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值； (2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解. 【解答过程】解：(1) ∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即, 当时，由三角形的面积公式得： ， ，则， ，当，即时取等号， ∴当时，取得最大值， 当时，郁金香种植面积最大； (2)由余弦定理得： ，， ， 令，∵，∴， ， ，即时，的最大值为6. 故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章十四大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 相等向量与共线（平行）向量 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 5．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 题型2 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 3．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 5．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 题型4 向量共线、垂直的坐标表示 1．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知向量，，.若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 5．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 题型5 向量坐标运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·月考）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 题型6 用向量解决夹角问题 1．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型7 用向量解决线段的长度问题 1．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 5．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 题型8 向量与几何最值问题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 4．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 题型9 正、余弦定理判定三角形形状 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 3．（24-25高一下·重庆江津·月考）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 . 5．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 题型10 三角形面积的最值或范围问题 1．（2025高三·全国·专题练习）在中，角所对的边分别是是的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海金山·月考）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 . 5．（24-25高一下·云南红河·期中）在锐角中，内角的对边分别为 且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 题型11 证明三角形中的恒等式或不等式 1．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 2．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）在中，角，，的对边为，，，已知，且. (1)若，求； (2)证明：. 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 4．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为S. (1)若，，求C； (2)求证：； (3)求的最小值. 题型12 求三角形中的边长或周长的最值或范围 1．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）在锐角三角形中，角的对边分别为的面积为，已知，且，则的周长的取值范围是 . 5．（24-25高一下·广东湛江·月考）记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． (1)求角A； (2)若，求三角形周长的取值范围． 题型13 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变． (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 2．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 3．（2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，． (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 4．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 5．（2025·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 题型14 正、余弦定理的其他应用 1．（24-25高三上·广东江门·月考）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 3．（24-25高一下·广东东莞·月考）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：） 4．（24-25高一下·四川成都·期中）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，． (1)求的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？ 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设． （1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大； （2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $