第六章 平面向量及其应用（举一反三讲义·基础篇）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学单元复习讲义以“平面向量及其应用”全章十四大基础题型为框架，系统梳理向量概念、线性运算、数量积、解三角形等核心内容，通过题型分类呈现知识脉络，突出平面向量与三角应用的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“基础题型+实际应用”的练习设计，如“向量在物理中的应用”中船航行问题，引导学生用数学眼光分析现实情境，培养数学思维与应用意识。题型涵盖选择、填空、解答，分层设置适合不同学生，教师可据此实施精准复习教学，助力学生夯实基础提升能力。

第六章 平面向量及其应用全章十四大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 平面向量的概念与表示  1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念即可判断. 【解答过程】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解题思路】由向量的概念逐个判断即可； 【解答过程】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 3．（24-25高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 【答案】B 【解题思路】根据向量的相关概念直接判断即可. 【解答过程】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确； 速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误； 零向量方向任意，D错误. 故选：B. 4．（23-24高一下·海南儋州·月考）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥ 【解题思路】根据向量的概念判断即可. 【解答过程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【解题思路】先画出以点A为顶点，北偏东45°的角，并取出相应的长度确定B点； 接下来再以点A为顶点画出北偏西30°的角，并取出相应的长度确定C点，再以点C为顶点正南方向，并取出相应的长度确定D点即可. 【解答过程】（1）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （2）根据的比例尺，即图上，作图如下，    （3）根据的比例尺，即图上，作图如下，    题型2 向量的几何表示与向量的模 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【解题思路】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【解答过程】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设非零向量，若，则的取值范围为（    ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 【答案】C 【解题思路】根据单位向量、向量加法等知识确定正确答案. 【解答过程】因为是三个单位向量， 因此，当三个向量同向时，取得最大值为； 当三个向量两两成角时，它们的和为，也即的最小值为， 所以的取值范围为. 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【解答过程】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 题型3 平面向量的线性运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【解答过程】依题意， . 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B. 4．（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于 . 【答案】 【解题思路】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简即可； （2）根据向量的线性运算化简即可； （3）根据向量的加法法则化简即可. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . 题型4 向量数量积的计算 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【解答过程】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的模的运算，向量的垂直算出和，再计算向量的夹角余弦值. 【解答过程】由，得——① 再由，得，即——② 联立①②解得，. 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【解题思路】先计算得到，然后计算即可. 【解答过程】由题可知：， . 故选：B. 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 【答案】 【解题思路】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【解答过程】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，. (1)若向量与的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求向量，的夹角. 【答案】(1)1 (2) (3) 【解题思路】（1）利用数量积的定义即可求解， （2）根据模长公式即可求解， （3）根据垂直关系以及夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）， （2）由可得，解得， 故， （3）由可得，故， 故， 由于，故. 题型5 平面向量基本定理及其应用 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解答过程】由图知， . 故选：D. 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 3．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则 ． 【答案】 【解题思路】连接CF，OB，由题意及图形几何性质可得，然后由平面向量基本定理可得答案. 【解答过程】连接CF，则O为线段CF的中点． 连接OB，易证四边形ABOF，ABCO均为平行四边形，则． 连接EM，则A，M，E三点共线，且， 所以 ． 由正六边形的性质可得， 则． 因为，结合平面向量基本定理，所以，则． 故答案为：. 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【解答过程】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 题型6 平面向量线性运算的坐标表示 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【解答过程】∵，， ∴. 故选：C. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【解答过程】因为，所以， 解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量的坐标运算建立方程，求解，进而得到即可. 【解答过程】因为， 所以， 因为，所以，， 解得，，则，故B正确. 故选：B. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】设向量，得到，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解. 【解答过程】设向量，因为，可得， 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【解答过程】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 题型7 平面向量数量积的坐标表示 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解答过程】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式 求解即可. 【解答过程】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以 . 故选：C. 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【解题思路】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【解答过程】，， 则. 故选：B. 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且两向量不共线求解即可. 【解答过程】因为，， 所以，， 又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线， 所以且，解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 题型8 向量在物理中的应用 1．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先计算，再利用公式计算即可. 【解答过程】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 【答案】C 【解题思路】借助功的定义计算即可得. 【解答过程】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为. 故选：C. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【解题思路】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【解答过程】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 题型9 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）在中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【解题思路】利用余弦定理计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·广西百色·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（    ） A． B．13 C． D．37 【答案】A 【解题思路】直接根据余弦定理即可得结果. 【解答过程】由余弦定理可得，则， 故选：A. 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由条件可得，，由大边对大角可得，结合余弦定理求，再求可得结论. 【解答过程】因为， 所以，，， 所以，因为大边对大角，所以， 由余弦定理可得， 又， 所以，所以中最大角为， 故选：B. 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则 . 【答案】 【解题思路】根据余弦定理求解. 【解答过程】因为 ， 所以. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 【答案】(1) (2)2 【解题思路】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【解答过程】（1）在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 题型10 正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解题思路】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【解答过程】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【解答过程】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 3．（24-25高一下·北京平谷·期末）在中，角所对的边分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理计算求解即可. 【解答过程】因为，所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【答案】 【解题思路】由正弦定理即可求解. 【解答过程】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理边角转化得出，结合角的范围计算求值； （2）根据正弦定理边角转化再应用余弦定理计算求出边长即可. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得， 又因为在中，所以， 所以， 所以； （2）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以. 题型11 正弦定理求外接圆半径 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理即可得解. 【解答过程】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 2．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用正弦定理求出外接圆直径. 【解答过程】设外接圆的半径为，则， 即外接圆的直径为． 故选：B． 3．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可. 【解答过程】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】 【解题思路】不妨令的三边、、，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理计算可得. 【解答过程】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【解答过程】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 题型12 正弦定理判定三角形解的个数 1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据有两解，列不等式求解可得结果. 【解答过程】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【解答过程】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【解答过程】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 5．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【解题思路】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【解答过程】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴ ， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 题型13 三角形面积公式的应用 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【解答过程】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【解答过程】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，所以， 又 ， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 . 【答案】12 【解题思路】作出几何图形，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解. 【解答过程】连接，延长至，使得，连接， 由分别是边的中点，得， 则四边形为平行四边形，， 在中，，则， 所以的面积. 故答案为：12. 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和条件求出，再由三角形内角的范围确定角； （2）根据余弦定理列方程，求得，再由三角形面积公式计算即得. 【解答过程】（1）因为，由余弦定理得， 因，则得． （2）因，由余弦定理， 可得：，即， 解得或（舍）， 所以． 题型14 距离、高度、角度测量问题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解题思路】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【解答过程】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【解答过程】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 【答案】 【解题思路】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【解答过程】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴ m. 故答案为：. 5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）首先根据正弦定理求出，再根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】（1）在中，. 由正弦定理得， ， （2）. 在中，由正弦定理得 ， ， 在中，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用全章十四大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 平面向量的概念与表示  1．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 3．（24-25高一下·黑龙江绥化·月考）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的 4．（23-24高一下·海南儋州·月考）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 5．（24-25高一·全国·随堂练习）画图表示小船的下列位移（用的比例尺）： (1)由A地向东北方向航行15km到达B地； (2)由A地向北偏西30°方向航行20km到达C地； (3)由C地向正南方向航行20km到达D地． 题型2 向量的几何表示与向量的模 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ） A． B． C． D．与不能比较大小 2．（24-25高一下·全国·课后作业）设非零向量，若，则的取值范围为（    ） A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 题型3 平面向量的线性运算 1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海普陀·月考）已知向量、，则等于 . 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 题型4 向量数量积的计算 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知向量，的夹角为，则（    ） A．4 B．2 C． D．3 4．（24-25高一下·吉林松原·期末）如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是 . 5．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，. (1)若向量与的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求向量，的夹角. 题型5 平面向量基本定理及其应用 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中G，H，J，K，L，M分别是AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，O是正六边形ABCDEF的中心．若，则 ． 5．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 题型6 平面向量线性运算的坐标表示 1．（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ． 5．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 题型7 平面向量数量积的坐标表示 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 4．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 5．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 题型8 向量在物理中的应用 1．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·期中）冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为（ ） A． B． C．17 D．10 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 4．（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 5．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 题型9 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）在中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（24-25高一下·广西百色·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，则（    ） A． B．13 C． D．37 3．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则中最大角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则 . 5．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）如图，在中，，. (1)若，求； (2)若，且，求AB. 题型10 正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 3．（24-25高一下·北京平谷·期末）在中，角所对的边分别为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 5．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 题型11 正弦定理求外接圆半径 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·河南商丘·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的直径为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 题型12 正弦定理判定三角形解的个数 1．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 题型13 三角形面积公式的应用 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）在中，分别是边的中点，已知，，则的面积为 . 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的面积． 题型14 距离、高度、角度测量问题 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m． 5．（24-25高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.    (1)求B与D两点间的距离； (2)求塔高. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $