15.3.1.2等腰三角形（2）教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学上册

课时名称 《15.3.1等腰三角形（2）》 学科 数学 课时 第7课时 使用年级 八年级上册 班额 50 课程类型 新授课 设计者 教学内容分析 本节课是在学生学习了等腰三角形性质的基础上，进一步探究其判定方法，形成 “性质 - 判定” 的完整知识体系。等腰三角形的判定定理 “等角对等边” 是证明线段相等的重要依据，与性质定理 “等边对等角” 构成互逆关系，体现了数学知识的逻辑性和严密性。同时，本节课涉及的尺规作图是几何操作技能的重要组成部分，为后续学习复杂图形的作图奠定基础，在初中几何体系中具有承上启下的作用。 本节课主要内容包括等腰三角形的判定定理（等角对等边）的探究与证明、性质与判定的区别与联系、判定定理的应用以及尺规作图（已知底边和底边上的高作等腰三角形）。通过 “提出问题 - 动手操作 - 猜想验证 - 定理应用” 的流程，引导学生从直观感知到理性证明，培养几何推理能力。 教学过程中渗透逆向思维（从性质到判定的逆向探究）、转化思想（将角相等问题转化为线段相等问题）以及分类讨论思想（辅助线添加的多种可能性分析）。通过对比性质与判定的逻辑关系，强化学生对互逆命题的理解，培养严谨的思维习惯。 学情分析 知识基础：学生已掌握等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和全等三角形的判定方法，具备一定的几何证明能力。但对性质与判定的逻辑关系理解不深，容易混淆 “等边对等角” 与 “等角对等边” 的条件和结论，在复杂图形中难以准确识别适用场景。​ 认知能力：八年级学生已具备初步的抽象思维能力，但逆向思维和逻辑推理能力仍需加强。在判定定理的证明中，对辅助线添加的合理性分析（如为何中线不能证明全等）存在困难，对 “SSA” 不成立的原理理解不透彻。​ 学习特点：学生对动手操作和探究活动兴趣较高，但在几何证明的规范性和严谨性上存在不足。部分学生在小组合作中缺乏主动思考，依赖他人结论，需要教师引导其独立完成推理过程。 课时目标 1.掌握等腰三角形的判定定理 “等角对等边”，能运用定理证明线段相等。​理解等腰三角形性质与判定的区别与联系，能综合运用解决几何问题。​ 2.通过动手操作、猜想验证、合作探究等过程，培养逆向思维和逻辑推理能力。 ​3.学会用尺规作图法已知底边和底边上的高作等腰三角形，。 4.通过解决问题，建构知识体系，发展表达、归纳能力。 评价设计 1.能根据三角形全等，证明出线段线段相等，从而得到等腰三角形的判断定理。（对应目标1） 2.能让学生动手操作、猜想验证、合作探究、引导学生用不同的解题思路进行证明，逻辑推理能力得到提升。（对应目标2） 3.通过实际操作进行尺规作图，理解作图原理与判定定理的联系，强化几何直观。（对应目标3） 4. 在习题共巩固、总结归纳中，形成知识化的结构体系。（对应目标4） 学与教活动设计 教师活动 学生活动 环节一： 情境导入，提出问题 教师活动1 情景：某地质专家为估测一条河流的宽度，在河岸选择一点B，在正南方A点插小旗，沿南偏东60°方向走到C点，测得∠ACB=30°，于是BC的长度就是河宽。 问题1：为什么知道了BC的长度就知道了河的宽度？这里蕴含了什么数学道理？ 学生活动1 学生根据情景，观察图片，独立思考并发表自己的猜测。 活动意图说明：通过实际情境激发学生好奇心和求知欲，自然引出探究课题，初步感知等腰三角形判定定理的实际应用价值 环节二：温故知新，提出猜想 教师活动2 1.引导学生回顾等腰三角形的性质定理 （等边对等角）， 2.问题2:反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？ 学生活动2 回顾性质定理，思考其逆命题，并猜想“等角可能对等边”。 活动意图说明：从逆命题的角度提出猜想，明确本节课的研究方向，建立新旧知识之间的联系，渗透逆向思维。 环节三：操作验证，推理证明 教师活动3 1．动手验证：引导学生画一个有两个角相等的三角形（如∠B=∠C），度量边AB和AC的长度，发现二者关系。 2.推理证明：引导学生将猜想转化为数学命题，写出已知、求证，并思考证明思路。 已知：如图，在△ABC中，∠B = ∠C。 求证：AB = AC。 3. 问题3：如何证明两条线段相等？（常用方法是构造全等三角形） 追问1：如何添加辅助线构造全等三角形？追问2：回忆我们证明性质定理时是怎么做的？（可作顶角平分线或底边上的高） 4.板书证明：师生共同完成一种证明方法的板书（以作顶角平分线AD为例，利用AAS证明△ABD≌△ACD，从而得出AB=AC）。 学生活动3 1. 学生独立操作，动手画图、测量，直观感知“等角对等边”，发现AB=AC。 2.学生独立思考，找到做题思路。 3.小组合作，参与分析证明思路，尝试书写证明过程，并与同伴交流。 活动意图说明：通过操作感知和逻辑推理相结合的方式，让学生经历定理的发现和证明过程，深刻理解定理的内涵，培养其严谨的推理能力和符号表达能力。 环节四：定理辨析，深化理解 教师活动4 1． 明晰定理： 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 强调其几何语言表述： 在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴AB=AC。 2.问题4：等腰三角形性质与判定的区别与联系？ 引导学生与性质定理“等边对等角”进行对比，通过表格或对话明确其题设和结论的互逆关系及应用场景的区别。 学生活动4 1.学生先独立思考，然后小组合作交流，小组代表发言。 2.理解记忆定理内容及几何语言，辨析性质与判定的区别与联系。 活动意图说明：通过辨析比较，帮助学生厘清两个定理的关系，避免后续应用时发生混淆，强化对定理本身的理解。 环节五：应用新知，巩固提升 教师活动5 问题5;求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知；AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC。 求证：AB=AC 引导学生分析题意，将文字语言转化为图形和符号语言，强调证明两角相等进而利用判定定理的思路。 学生活动5 独立分析例题，写出证明过程，小组交流解题思路，学生代表板演过程。 活动意图说明： 通过典型例题和分层练习，促进学生理解并掌握判定定理的应用，学会在复杂图形中识别条件，并体会转化思想（将证明边相等转化为证明角相等）和模型思想的应用。 环节六：尺规作图 教师活动6 规作图：作一个等腰三角形 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形. 思考：为什么这样作出的三角形是等腰三角形？ 学生活动6 跟随教师步骤作图，完成后小组内检查图形是否符合要求，分析 “为什么这样作出的三角形是等腰三角形”。 活动意图说明： 通过实操培养几何作图技能，理解作图原理与判定定理的联系，强化几何直观。 环节七：课堂小结，反思升华 教师活动7 请带着下列问题回顾本节课所学内容： 1.本节课你学到了什么知识？ 2.我们是如何发现并证明这些知识的的？3.这其中体现了哪些数学思想方法？” 教师引导学生从知识、方法、思想层面总结收获。 学生活动7 学生回顾总结，小组内表达交流，小组代表总结发言，其他小组互相补充完善 活动意图说明： 通过结构化梳理，帮助学生构建知识体系，明确重难点，培养总结反思能力。 板书设计 作业与拓展学习设计 1、 基础知识 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　　) A. 40° B. 36° C. 30° D. 25° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 二、拓展提升 如图，点E在∆ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF,BD=CE.求证：∆ABC是等腰三角形。 三、实践探究 探究 “等角对等边” 在平面镶嵌中的应用，设计由等腰三角形组成的图案。​ 相关资源推荐 教材配套资源：人教版初中数学八年级上册教材、教师教学用书、同步练习册等。​ 在线学习平台：学科网、、国家中小学智慧教育平台等，提供相关的课程视频及学习资料。 教学反思与改进 备注 学科网（北京）股份有限公司 $