第十五章 一元一次不等式（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

第十五章 一元一次不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．已知a＞b，下列不等式中正确的是（  ） A．a+3＜b+3 B． C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＜b﹣1 2．“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A． B． C． D． 3．不等式组的正整数解的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法正确的是（） A．是不等式的解 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是1 D．不等式的解集没有负数 5．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（    ） A．   B．   C．   D．   6．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．当x 时，式子的值是非正数． 8．若整数a满足，则a的值为 ． 9．若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ． 10．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 11．现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为 12．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 13．当a 时，不等式的解集是x＞2. 14．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 15．2024年春晚，扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义，若，则的取值范围为 ． 16．高斯函数，也称为取整函数，即示不超过的最大整数．例如：；．则下列论：①，②，③若，则的取值范围是，④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 17．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将180 的水装进一个容量为300的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积所在的范围是 ．           18．在庆祝建党100周年之际，学校计划组织“学党史知党恩跟党走知识竞赛要求八年级同学全部参加已知此次知识竞赛共设20道题，每道题答对得10分，总分不低于100分才能得奖．小颖要想在此次竞赛中获奖，至少要答对_______道题？ 三、解答题（本大题共8小题，19-24每题6分，第25-26每题8分，共52分） 19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 20．解不等式组在数轴上表示解集，并写出最大整数解． 21．若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 22．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 23．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 24．小刚家装修，准备安装照明灯．他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当．假定电价为0.45元／度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)＝功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用＝电费＋灯的售价]． (1)分别求出y1，y2与照明时间x之间的函数表达式； (2)你认为选择哪种照明灯合算？ (3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？ 25．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0 ，则＞ 0；若a＜ 0，b＜0，则＞0； （2）若a＞0，b＜0 ，则＜ 0；若a＜0，b＞0 ，则＜0． 反之：①若＞0 ，则或； ②若＜0 ，则 　 　或　 　． 根据上述规律，求不等式的解集． 26．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 一元一次不等式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．已知a＞b，下列不等式中正确的是（  ） A．a+3＜b+3 B． C．﹣a＞﹣b D．a﹣1＜b﹣1 【答案】B 【分析】根据不等式的3个基本性质进行判断即可． 【详解】解：A. 依据不等式的性质1可知a+3>b+3，故A错误； B. 依据不等式的性质2可知，故B正确； C. 依据不等式的性质3可知−a<−b，故C错误； D. 依据不等式的性质1可知a−1>b−1，故D错误． 故选B． 2．“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．首先表示的．为，再表示与5的相反数的和为，最后表示是非负数可得答案． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 3．不等式组的正整数解的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是正整数解得出x的可能取值． 解答：解：由①得x≤4； 由②得-3x＜-3，即x＞1； 由以上可得1＜x≤4， ∴x的正整数解为2，3，4． 故选C． 4．下列说法正确的是（） A．是不等式的解 B．不等式的解集是 C．不等式的解集是1 D．不等式的解集没有负数 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集．根据解不等式，再进行判断可得答案． 【详解】解：A．的解集是，所以是不等式的解，故A正确； B．不等式的解集是，故B错误； C．不等式的解集是，故C错误； D．不等式的解集是，所以不等式的解集包含负数，故D错误； 故选：A． 5．将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据大于折线向右，小于折线向左，含等于号使用实心小圆点，不包含等于号使用空心小圆圈，从而可得答案． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示出来如下： ． 故选B 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，掌握表示方法是解本题的关键． 6．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．当x 时，式子的值是非正数． 【答案】 【详解】试题解析：根据题意得： 解得： 故答案为 8．若整数a满足，则a的值为 ． 【答案】22或23或24或25或26或27或28或29或30 【分析】本题考查了整数的定义，不等式，理解整数的定义是解题的关键． 根据整数的定义即可求解． 【详解】解：∵整数a满足， ∴或23或24或25或26或27或28或29或30， 故答案为：22或23或24或25或26或27或28或29或30． 9．若关于的不等式恰有3个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先求出，再根据已知不等式恰有3个正整数解，确定出的不等式组，求解即可． 【详解】解：， ， 关于的不等式恰有3个正整数解， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组，其过程需要熟练掌握解不等式的步骤． 10．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 11．现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可得． 【详解】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0， ﹣2x≥﹣4， 解得：x≤2． 故答案为：x≤2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式． 12．若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式，首先解这个关于的方程，求出方程的解，根据解是负数，可以得到一个关于的不等式，即可以求出的范围．根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：解关于的一元一次方程， 得：， ∵方程的解是负数， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 故答案为：． 13．当a 时，不等式的解集是x＞2. 【答案】=6 【详解】由不等式，去分母得去括号得： 移项得： 系数化为1得： ；又因为它的解集是x＞2.则 解得：a=6. 故答案：=6. 14．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到：“判断结果是否大于190”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 【答案】x＞64 【详解】解：第一次的结果为：3x−2，没有输出，则 3x−2>190， 解得：x>64， 故x的取值范围是x>64， 故答案为x>64. 15．2024年春晚，扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合，通过一定指令的操作，会得到一个数学规律．请依照下列定义，若，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解不等式，根据题干提供的信息，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．高斯函数，也称为取整函数，即示不超过的最大整数．例如：；．则下列论：①，②，③若，则的取值范围是，④当时，的值为0、1、2．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过x的最大整数．根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①．由题意可知，故①正确； ②．当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，，故②错误； ③．若，则要满足，且，解得，且，即，故③错误； ④．当时，， ∴或1，或1或2， 当时，或2；当时，或0； 所以的值为1、2，故④错误． 所以正确的结论是①． 故答案为：①． 17．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将180 的水装进一个容量为300的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积所在的范围是 ．           【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的应用，根据已知条件列出不等值，解不等式组的解集即可求得． 【详解】由题意可列出不等式组， 解得：． 故答案为：． 18．在庆祝建党100周年之际，学校计划组织“学党史知党恩跟党走知识竞赛要求八年级同学全部参加已知此次知识竞赛共设20道题，每道题答对得10分，总分不低于100分才能得奖．小颖要想在此次竞赛中获奖，至少要答对_______道题？ 【答案】10 【分析】设答对题的数量为x，得分为10x，根据题意列出一元一次不等式，即可解出． 【详解】设答对题的数量为x， 依据题意得：10x≥100， 解得：x≥10． 所以至少答对10道题目． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是关键． 三、解答题（本大题共8小题，19-24每题6分，第25-26每题8分，共52分） 19．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出对应的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 20．解不等式组在数轴上表示解集，并写出最大整数解． 【答案】不等式组的解集为，最大整数解是－8，数轴表示见解析 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得∶， 解不等式②得∶， ∴不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来，如下图： ∴最大整数解是-8． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 21．若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 【答案】三边的长分别为 【分析】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【详解】解：∵满足关系式， ∴， ∴． ∵不等式组的解集是， ∴最大整数解是5， ∴5． 故三边的长分别为． 22．嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． (1)他把“□”猜成3，请你解不等式组； (2)王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【详解】（1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 23．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ (2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人 (2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， (3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算 【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得， ， 解得： 所以（人） 答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人； （2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得 解得：， ∵为正整数，则， ∴共有种租车方案， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， （3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元， ∴种客车越少，费用越低， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， ∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 24．小刚家装修，准备安装照明灯．他和爸爸到市场进行调查，了解到某种优质品牌的一盏40瓦白炽灯的售价为1.5元，一盏8瓦节能灯的售价为22.38元，这两种功率的灯发光效果相当．假定电价为0.45元／度，设照明时间为x(小时)，使用一盏白炽灯和一盏节能灯的费用分别为y1(元)和y2(元)[耗电量(度)＝功率(千瓦)×用电时间(小时)，费用＝电费＋灯的售价]． (1)分别求出y1，y2与照明时间x之间的函数表达式； (2)你认为选择哪种照明灯合算？ (3)若一盏白炽灯的使用寿命为2000小时，一盏节能灯的使用寿命为6000小时，如果不考虑其他因素，以6000小时计算，使用哪种照明灯省钱？省多少钱？ 【答案】(1)y1＝0.018x＋1.5，y2＝0.0036x＋22.38 (2)当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算 (3)按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元 【分析】(1)根据照明灯的费用=电费+每盏灯的购买费用分别列出y1，y2与照明时间x之间的函数表达式即可； (2)根据题意分三种情况，分别得到关于x的不等式或方程，然后通过解方程或不等式，即可求解； (3)把x=2000代入到y1与照明时间x之间的函数表达式中，求出y1的值，把x=6000代入到y2与照明时间x之间的函数表达式中，求出y2的值，再将3盏白炽灯的费用减去1盏节能灯的费用，即可求解． 【详解】（1）解：(1)根据题意，得， 即y1＝0.018x＋1.5， ， 即y2＝0.0036x＋22.38． （2）由y1＝y2，得0.018x＋1.5＝0.0036x＋22.38， 解得x＝1450； 由y1＞y2，得0.018x＋1.5＞0.0036x＋22.38， 解得x＞1450； 由y1＜y2，得0.018x＋1.5＜0.0036x＋22.38， 解得x＜1450． ∴当照明时间为1450小时时，选择两种灯的费用相同；当照明时间超过1450小时时，选择节能灯合算；当照明时间少于1450小时时，选择白炽灯合算． （3）由(2)知，当x＞1450时，使用节能灯省钱． 当x＝2000时，y1＝0.018×2000＋1.5＝37.5(元)， 当x＝6000时，y2＝0.0036×6000＋22.38＝43.98(元)， 3×37.5－43.98＝68.52(元)． ∴按6000小时计算，使用节能灯省钱，省68.52元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法，函数值的求法，分类讨论的数学思想，解题的关键理解题意，根据变量之间的数量关系正确列出函数关系式，同时掌握不等式的解法和函数值的求法 25．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为： （1）若a＞0，b＞0 ，则＞ 0；若a＜ 0，b＜0，则＞0； （2）若a＞0，b＜0 ，则＜ 0；若a＜0，b＞0 ，则＜0． 反之：①若＞0 ，则或； ②若＜0 ，则 　 　或　 　． 根据上述规律，求不等式的解集． 【答案】，，或． 【分析】根据题意得或；根据（1）中的规律，不等式可以转化为或，进行计算即可得． 【详解】解：若， 则或， 故答案为：，， 根据上述规律，不等式可以转化为或， 解得，或， 即或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能够根据两数相除，同号得正，异号得负将不等式转化为不等式组． 26．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $