专题03 三角形重难点模型- 2026年《中考几何压轴・满分突破集训》（全国通用）

专题03 三角形重难点模型汇编 模型一：8字"模型 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 模型二：燕尾”模型 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 模型三:“风筝”模型 【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P 模型四:“角平分线”模型 【条件】已知OC是∠AOB的平分线 【结论】∠AOC=∠BOC 模型五:双角平分线”模型 1、双内角平分线 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 2、 双外角平分线 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 3、内外角平分线 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线. 【结论】∠A=2∠P. 模型六：三角形折叠模型 已知 图示 结论（性质） 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时 ∠2=2∠C 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2） 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1） 模型七:“高+角平分线”模型 【条件】∠ABC中，AH是高、AD 是∠BAC的角平分线。 【结论】∠HAD=(∠B-∠C)(共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半) 模型八:“中线”模型 【条件】·AD是AABC的BC上的中线 【结论】BD=CD=, 模型九:“中位线”模型 【条件】D,E分别是AB，AC的中点 【结论】 【题型1 有关 8字"模型的有关计算】 【典例1】如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【变式1】如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，平分，，则 ；若，则的长为 ． 【题型2 燕尾”模型的有关计算】 【典例2】模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【变式1】如图， 度． 【变式2】如图，若，则 ． 【变式3】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【题型3 “风筝”模型的有关计算】 【典例3】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【变式1】如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【变式2】在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【题型4 “角平分线”模型的有关计算】 【典例4】如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ； ； A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（   ） A．12 B．10 C．6 D．5 【题型5 双内角平分线的有关计算】 【典例5】已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 【变式1】如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6 双外角平分线的有关计算】 【典例6】如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【变式1】如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 【变式2】如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：； (2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (3)连接，若，是线段上的动点，求的最小值． 【题型7 内外角平分线的有关计算】 【典例7】如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 【题型8 三角形折叠模型的有关计算】 【典例8】实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【变式1】如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【变式3】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【题型9 “高+角平分线”模型的有关计算】 【典例9】如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【变式1】在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【变式2】如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，的周长是21，求的长． 【变式3】如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【题型10 “中位线”模型的有关计算】 【典例10】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【变式1】如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【变式2】如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【题型11 “中线”模型的有关计算】 【典例11】如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为 .    【变式1】如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（  ） A．1 B． C． D． 【变式3】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 2．如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 3．如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 4．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在五边形中，，分别平分，，则的度数是 ． 6．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 7．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 8．如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高． (1)求证：AD垂直平分EF； (2)若，，求的面积． 【能力提升】 1．如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2.如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    3．【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形重难点模型汇编 模型一：8字"模型 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 模型二：燕尾”模型 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 模型三:“风筝”模型 【结论】∠PBD+∠PCE=∠A+∠P 模型四:“角平分线”模型 【条件】已知OC是∠AOB的平分线 【结论】∠AOC=∠BOC 模型五:双角平分线”模型 1、双内角平分线 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线. 2、 双外角平分线 【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线. 【结论】∠P=90°-∠A. 3、内外角平分线 【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线. 【结论】∠A=2∠P. 模型六：三角形折叠模型 已知 图示 结论（性质） 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时 ∠2=2∠C 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2） 将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1） 模型七:“高+角平分线”模型 【条件】∠ABC中，AH是高、AD 是∠BAC的角平分线。 【结论】∠HAD=(∠B-∠C)(共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半) 模型八:“中线”模型 【条件】·AD是AABC的BC上的中线 【结论】BD=CD=, 模型九:“中位线”模型 【条件】D,E分别是AB，AC的中点 【结论】 【题型1 有关 8字"模型的有关计算】 【典例1】如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 【变式1】如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，平分，，则 ；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，延长构造全等三角形是解题的关键． 由和的角的关系可得；延长交于点，由证得，求出，再由证得，得到，从而求出的长． 【详解】解： ，即 ，平分 如图所示，延长交于点 在和中， （） 平分 在和中， （） 故答案为：， 【题型2 燕尾”模型的有关计算】 【典例2】模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得 ，代入计算即可； ③利用 计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④ ， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 【变式1】如图， 度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 【变式3】如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 【题型3 “风筝”模型的有关计算】 【典例3】三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 【变式1】如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 【变式2】在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 【题型4 “角平分线”模型的有关计算】 【典例4】如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，由作图可知为的角平分线，即得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，即可得，进而即可求解，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，在中，，按如下作图： （1）以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N； （2）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； （3）作射线交于点D． 根据以上作图，判断下列结论正确的有（   ） ； ； A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①利用等边对等角以及三角形内角和定理进行求解即可； ②利用角平分线的定义得出相等的角，然后利用等角对等边即可求解； ③证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故①正确； 由题意得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，等角对等边，三角形内角和定理，角平分线的作法和定义，相似三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 【变式2】如图，在中，过点D作于点E，作的平分线交于F，且，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】先由平行四边形的性质以及垂直的定义得出，构造辅助线延长至点G，使，连接，由“”证明，利用全等三角形的性质以及角平分线的性质进行倒角得到，即，由勾股定理得到的长，即的长，最后由线段之间和差关系得到长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，． ， ． ． 延长至点G，使，连接． ，， ． ． 平分， ． 设． 则，． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理．掌握这些判定与性质进行角与边的推导代换是解题的关键． 【变式3】如图，在平行四边形中，，以点为圆心画弧，交于点，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接，若，且，则的面积是（   ） A．12 B．10 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质，角平分线的定义等腰三角形的判定，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关整数点是解题的关键． 由平行四边形的性质和作图过程、等腰三角形的判定推出，根据勾股定理得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ，，， ， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型5 双内角平分线的有关计算】 【典例5】已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．根据三角形内角和得求出，，，，问题得解． 【详解】解： ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：；． 【变式1】如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 【变式2】如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，解题的关键是找出规律： 先根据内角和定理求出，根据角平分线即可得到半角和，再结合内角和定理即可求出中间角的关系，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∵与的角平分线交于， ∴， 同理可得， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型6 双外角平分线的有关计算】 【典例6】如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 【变式1】如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的定义以及性质，由角平分线的定义可得出，，由三角形内角和定理和三角形外角的定义可得出，进而可得出． 【详解】解：∵、是的外角角平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：． 【变式2】如图，，点、分别是射线、射线上的动点，连接，的角平分线与的角平分线交于点． (1)当时，求证：； (2)在点、运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变，请说明理由； (3)连接，若，是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)见详解 (2)的大小不变， (3)的最小值为2． 【分析】（1）如图1，先证是等边三角形，再证，即可证得结论； （2）如图2，的大小不变，．只需求出的大小即可得结论； （3）如图3，过点作于，于，于，先证平分，当时，有最小值，据此计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图1， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，的大小不变，．理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点作于，于，于， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴，即的最小值为2． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，直角三角形的性质等知识，综合运用上述知识，利用垂线段最短解决最值问题是解本题的关键． 【题型7 内外角平分线的有关计算】 【典例7】如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、图形类规律探索，总结归纳出的度数规律是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，进一步得出，即可求出． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当时， 故答案为：． 【题型8 三角形折叠模型的有关计算】 【典例8】实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解． （3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D恰好在上， ∴C，D，N三点在一条直线上， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 故答案为：． （2）连接，如下图所示： 由折叠可知，， ， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）． 证明：连接，如下图所示： 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式2】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【详解】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 【变式3】如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【题型9 “高+角平分线”模型的有关计算】 【典例9】如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，根据是边上的高， 得出，然后在中，利用直角三角形的两锐角互余求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，进而根据外角的性质求出． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， 是边上的高， ， ， ， 即的度数为； （2）解：是的角平分线， ， ，， ， ， 即的度数为． 【变式1】在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】的度数为；的度数为 【分析】本题考查了角平分线的定义，高线的定义，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的性质求得，，进而根据高线的定义以及三角形内角和定理求得，根据，即可求得，根据即可求得． 【详解】解： ，， ， 、是的角平分线，， ，， ， 是高线， ， ， ． 【变式2】如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，，的周长是21，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质． （1）由直角三角形的性质求出，由角平分线的定义得到，由三角形的外角性质得到； （2）由周长求出的长，再根据中线的性质可得答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， 是的角平分线， ， ； （2），的周长是21， ， 是的中线， ． 【变式3】如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【题型10 “中位线”模型的有关计算】 【典例10】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 【变式1】如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线 ，设交于点Q，交于点P，结合三角形中位线证出四边形是平行四边形，再结合，证出结果即可． 【详解】解：设交于点Q，交于点P， ∵分别是的中点，     ∴，且，且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：A． 【变式2】如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， 故选：． 【题型11 “中线”模型的有关计算】 【典例11】如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为 .    【答案】7 【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解． 【详解】如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC. △A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2， S△C1AA1=2. S△A1B1C1= S△A1BB1+ S△C1CB1+ S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7. 【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键． 【变式1】如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质得出，然后根据反比例函数的几何意义得解． 【详解】解：∵点C是OB的中点，的面积为2， ∴, ∵轴于点， ∴, ∴, ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数的几何意义是解本题的关键． 【变式2】如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 【变式3】如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，中，，的两条角平分线交于点，的度数是（） A． B． C．° D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵在中，°，且， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选A． 2．如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 3．如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 4．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解． 【详解】解：∵∠A＝55°， ∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°， ∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， ∵∠1＝95°， ∴∠2＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 5．如图，在五边形中，，分别平分，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【分析】根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵五边形的内角和等于，， ∴， ∵的平分线在五边形内相交于点O， ∴， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式、角平分线的定义等知识点，熟记公式以及整体思想的运用是解答本题的关键． 6．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 8．如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高． (1)求证：AD垂直平分EF； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易证得： ，则可得 ，由等腰三角形三线合一即可证得． （2）由角平分线上的点到角两边距离相等，可得和的高相等，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高， ， 在和中， ， ， ， ∵AD是的角平分线， ， 即AD垂直平分EF； （2）∵AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质，等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，割补法求面积，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 【能力提升】 1．如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 2.如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 3．【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． 4．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $