专题03 平行四边形的解题模型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题03 平行四边形的解题模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 中点四边形 1 题型二 十字架模型 6 题型三 梯子模型 12 题型四 对角互补模型 15 题型五 与正方形有关的三垂线 24 题型六 正方形与45°角的基本图 30 B 综合攻坚・能力跃升 38 题型一 中点四边形 1．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【思路引导】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【完整解答】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【考点再现】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、矩形与菱形的判定、正方形的性质等知识，熟练掌握三角形的中位线定理和特殊四边形的判定与性质是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形为平行四边形，由此即可判断选项C错误；根据菱形与矩形的判定即可得选项A和B错误；根据正方形的性质可得，则可得，，由此即可判断选项D正确． 【完整解答】解：∵点分别是的中点， ∴， 同理可得：，，， ∴， ∴四边形为平行四边形，无法得出与互相平分，则选项C错误； 若，则， ∴四边形为菱形，则选项A错误； 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形，则选项B错误； 若四边形是正方形，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即若四边形是正方形，则与互相垂直且相等，选项D正确； 故选：D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，，从而可得，再证出四边形为平行四边形，然后根据矩形的判定即可得． 【完整解答】解：由题意得：点分别是的中点， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则需要， 又∵，， ∴要使，则需要， 故选：D． 4．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【思路引导】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【完整解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 题型二 十字架模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【完整解答】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 6．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【完整解答】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【考点再现】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 7．如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 【答案】13 【思路引导】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE． 【完整解答】过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 又∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∵AD∥BC， ∴∠APQ=∠PQM， 则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD ∴△PQM≌△ADE ∴PQ=AE= 故答案是：13. 【考点再现】本题主要考查正方形中的折叠问题, 正方形的性质.解决本题的关键是能利用折叠得出PQ⊥AE从而推理出∠AED=∠APQ=∠PQM，为证明三角形全等提供了关键的条件. 8．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ． 【答案】16. 【思路引导】解过点A作AM⊥GH于M，由正方形纸片折叠的性质得出∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG，则EG⊥GH，∠EAG=∠EGA，由垂直于同一条直线的两直线平行得出AM∥EG，得出∠EGA=∠GAM，则∠EAG=∠GAM，得出AG平分∠DAM，则DG=GM，由AAS证得△ADG≌△AMG得出AD=AM=AB，由HL证得Rt△ABP≌Rt△AMP得出BP=MP，则△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=16． 【完整解答】解：过点A作AM⊥GH于M，如图所示： ∵将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处， ∴∠EGH=∠EAB=∠ADC=90°，AE=EG， ∴EG⊥GH，∠EAG=∠EGA， ∴AM∥EG， ∴∠EGA=∠GAM， ∴∠EAG=∠GAM， ∴AG平分∠DAM， ∴DG=GM， 在△ADG和△AMG中， ∴△ADG≌△AMG（AAS）， ∴AD=AM=AB， 在Rt△ABP和Rt△AMP中， ∴Rt△ABP≌Rt△AMP（HL）， ∴BP=MP， ∴△PGC的周长=CG+PG+PC=CG+MG+PM+PC=CG+DG+BP+PC=CD+CB=8+8=16， 故答案为16． 【考点再现】本题考查了折叠的性质、正方形的性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型三 梯子模型 9．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 【答案】(1) (2)梯子的底端B在水平方向滑动了 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴此时梯子的顶端A距地面的高度为． （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了． 10．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【完整解答】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 11．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，测得，梯子的底端保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作，测得，求、之间的距离． 【答案】a＋b 【思路引导】证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，即可求出AB＝PA＋PB＝a＋b． 【完整解答】解：∵∠MPN＝90°， ∴∠APM＋∠BPN＝90°， ∵∠APM＋∠AMP＝90°， ∴∠AMP＝∠BPN． 在△AMP与△BPN中， ， ∴△AMP≌△BPN（AAS）， ∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b， ∴AB＝PA＋PB＝a＋b． 【考点再现】此题考查了全等三角形的应用，证明△AMP≌△BPN是解题的关键． 12一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【思路引导】（1）应用勾股定理求出的高度； （2）利用勾股定理求出的距离即可解答． 【完整解答】解：（1）由题意，得， 所以：（米)． （2）由，得 （米)． （米)． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【考点再现】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 题型四 对角互补模型 13．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 14．（21-22九年级上·湖北武汉·月考）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【思路引导】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证； （2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【完整解答】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°， ∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中， ， ∴△MND≌△QND（SAS）， ∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN， ∴BM+AN=MN； （2）：. 理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP， 则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°， ∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中， ， ∴△MND≌△MPD（SAS）， ∴MN=MP， ∵BM=MP+BP， ∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴△BMG是等边三角形， ∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND， 根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN， ∴MN=MH， ∴GH=MH-MG=MN-BM=AN， 即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中， ， ∴△ANE≌△GHE（AAS）， ∴AE=EG=2.1， ∵AC=7， ∴AB=AC=7， ∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8， ∴BM=BG=2.8． 故答案为：2.8 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 15．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 【答案】（1）115°；（2）S四边形ABCD=18；（3）对角线BD的长度为米． 【思路引导】（1）利用外角的性质可求解； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积； （2）将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解． 【完整解答】解：（1）如图1，延长BC交AD于E， ∵∠BCD=∠BED+∠D，∠BED=∠A+∠ABC， ∴∠BCD=∠A+∠ABC +∠D =45°+30°+40°=115°， 故答案为：115°； （2）延长DC，使得CE=AD，连接BE， 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴BE=BD，∠ABD=∠CBE，S△ABD=S△CBE， ∵∠ABC=90°，即∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠CBE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，   ∵BD=BE=6，∠DBE=90°， ∴S△BDE=×BE×BD=18， ∴S△BDE=S△CBE+S△DBC=S△ABD+S△DBC=S四边形ABCD=18； （4）如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD， ∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60°， ∴BF=BD，AF=CD=40，∠BDC=∠BFA， ∴△BFD是等边三角形， ∴BF=BD=DF， ∵∠ADC=30°， ∴∠ADB+∠BDC=30°， ∴∠BFA+∠ADB=30°， ∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180°， ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180°， ∴∠AFD+∠ADF=90°， ∴∠FAD=90°， ∴DF=， ∴BD=(米)． 答：对角线BD的长度为米． 【考点再现】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 16．（2021八年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线； ②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA； ③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC． ④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA． 【完整解答】解：如图， ①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度， ∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度， ∴D、A、E三点共线；故①正确； ②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠BDC=∠E=60°， ∴∠CDA=120°-60°=60°， ∴DC平分∠BDA；故②正确； ③∵∠BAC=60°， ∠E=60°， ∴∠E=∠BAC．故③正确； ④由旋转可知AE=BD， 又∵∠DAE=180°， ∴DE=AE+AD． ∵△CDE为等边三角形， ∴DC=DB+DA．故④正确； 故选：D． 【考点再现】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的不变量． 题型五 与正方形有关的三垂线 17．（20-21九年级上·四川·月考）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【完整解答】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 18．（21-22八年级下·四川德阳·月考）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3) 【思路引导】（1）在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形，再利用证明≌，得； （2）连接，根据，得，则四边形的面积为正方形的面积； （3）作于，由，可得，再利用证明≌，得，可知，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点的坐标，从而解决问题． 【完整解答】（1）证明：在上取点，使，连接， 则， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌， ； （2）解：四边形的面积不变，为， 连接， ， ∴， ， 四边形的面积为正方形的面积， 四边形的面积为； （3）解：作于， ， ， ， 由得，， ，， ≌， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 同理得，直线的解析式为， 当时， ， ， ， ． 【考点再现】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式等知识，求出点的坐标是解决问题（3）的关键． 19．（20-21八年级上·四川达州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 ． 【答案】17 【思路引导】利用正方形的性质得∠BAE＝90°，AE＝AB，利用同角的余角相等得∠AEF＝∠BAC，再∠F＝∠ACB=90°，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，得FA+AC=FC=15，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长． 【完整解答】解： ∵四边形ABDE为正方形， ∴∠BAE＝90°，AE＝AB， ∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°， ∴∠AEF＝∠BAC， 在△AEF和△BAC中， ， ∴△AEF≌△BAC（AAS）， ∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7， 在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15， 根据勾股定理得：CE＝＝17． 故答案为：17． 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理求边长以及余角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键. 20．（20-21八年级上·云南红河·月考）（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；    （2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图． 【答案】（1）AE=AF，理由见解析；（2）CE=MF，理由见解析；（3）如图所示，见解析． 【思路引导】（1）根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性质即可解答； （2）根据△ABF≌△ADE及三角形外角的性质可求出∠AFM=∠AEC，根据两角互余的关系∠MAF=∠EAC，再由ASA定理求出△AMF≌△ACE，可得CE=MF； （3）画出示意图，只要求出C、D、F共线，即可求出四边形AECF是正方形； 【完整解答】（1）AE=AF． 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF=∠ADE=90°，AB=AD． ∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠BAF=∠DAE． 在△ABF和△ADE中 ， ∴△ABF≌△ADE（ASA） ∴AE=AF； （2）CE=MF． 理由：∵△ABF≌△ADE， ∴∠BAF=∠DAE， ∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE， 即∠AFM=∠AEC． ∵∠MAF+∠FAC=90°，∠EAC+∠FAC=90°， ∴∠MAF=∠EAC， 在△AMF和△ACE中 ， ∴△AMF≌△ACE（ASA）， ∴CE=MF． (3)如图所示． 过A作AE⊥BC交BC于E，由于AB=AD，所以可以把△ABE切下，拼到△ADF的位置， ∵∠C=∠BAD=90°， ∴∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADF+∠ADC=180°， ∴C、D、F共线， ∵AE=AF，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是正方形．    【考点再现】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质、多边形的内角和等知识．解题的关键是利用全等三角形进行割补． 题型六 正方形与45°角的基本图 21．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【思路引导】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 【完整解答】解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 22．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【完整解答】（1）∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3）由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【考点再现】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 23．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④ 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，由DE=2，得出GE=GF+EF=5，AF=AB=6，计算出S△AGE=15；根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，即可得出∠GAE. 【完整解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC=6，∠B=∠D=90°， ∵CD=3DE， ∴DE=2， ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°， ∴AF=AB， ∵在Rt△ABG和Rt△AFG中 ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴①正确； ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG=FG，∠AGB=∠AGF． 设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2． ∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2， ∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3． ∴BG=GF=CG=3． ∴②正确； ∵BG=GF=CG=3，CD=3DE ，AB=AD=DC=6，DE=EF=2， ∴GE=GF+EF=5，AF=AB=6， ∴S△AGE=， ∴③错误； ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴△DAE≌△FAE． ∴∠DAE=∠FAE． ∵△ABG≌△AFG， ∴∠BAG=∠FAG． ∵∠BAD=90°， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°． ∴④正确． 故选D． 【考点再现】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键． 24．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： ①如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． ②如图3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程） 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①10；②15 【思路引导】（1）因为ABCD为正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因为DF=BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE=CF； （2）因为∠BCD=90°，∠GCE=45°，则有∠BCE+∠GCD=45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，则△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立； （3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长；②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积． 【完整解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°， ∴∠CDF=∠B=90°． 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（SAS）． ∴CE=CF． （2）解：GE=BE+GD成立．理由如下： ∵∠BCD=90°，∠GCE=45°， ∴∠BCE+∠GCD=45°． ∵△BCE≌△DCF（已证）， ∴∠BCE=∠DCF． ∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°． ∴∠ECG=∠FCG=45°． 在△ECG和△FCG中， ， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=FG． ∵FG=GD+DF， ∴GE=BE+GD． （3）①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G， 由（2）和题设知：DE=DG+BE， 设DG=x，则AD=12-x，DE=x+4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得： AD2+AE2=DE2 ∴（12-4）2+（12-x）2=（x+4）2 解得x=6． ∴DE=6+4=10； ②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合， 可得∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠GAC， ∴∠EAG=∠E=∠G=90°， AE=AG=AD， BD=EB=2， DC=CG=3， ∴四边形AEFG为正方形， 设正方形的边长为x， 可得BF=x-2，CF=x-3， 在Rt△BCF中， 根据勾股定理得： BF2+CF2=BC2， 即（x-2）2+（x-3）2=（2+3）2， 解得：x=6或x=-1（舍去）， ∴AD=6， 则S△ABC=BC•AD=15． 【考点再现】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 1．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE；②；③的周长是一个定值；④连结FC，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路引导】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定，再由，从而判断①，由对折可得： 由，可得：从而可判断②， 设 则利用三角形的周长公式可判断③，如图，连接 证明是直角三角形，从而可判断④，从而可得本题的结论． 【完整解答】解：由正方形与折叠可知， DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，   ∴∠DFG=∠A=90°， ∴， 故①正确； 由对折可得： ， 故②正确； 设 则 所以：的周长是一个定值， 故③正确， 如图，连接 由对折可得： 故④正确． 综上：①②③④都正确． 故选 【考点再现】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴的正半轴上，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】过点P作，，证明，再根据面积计算即可； 【完整解答】如图所示，过点P作，， ∵点的坐标为， ∴PM=PN， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案选B． 【考点再现】本题主要考查了四边形与坐标系结合，全等三角形的应用，准确判断计算是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键． 本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可． 【完整解答】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上． 由旋转的性质，得，，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴在中，，即． 解得． 故选： C． 4．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 【答案】 【思路引导】取的中点，连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，解得，在中，由勾股定理解得BM的值，再由三角形三边关系解得，据此解题． 【完整解答】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【考点再现】本题考查直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．如图，四边形中，．则 ． 【答案】45° 【思路引导】作AE⊥BC于E，AF⊥CD延长线于点F，易证四边形AECF为矩形，可得∠FAE＝90°，再根据∠DAB＝90°，可得∠DAF＝∠BAE，即可证明△BAE≌△DAF，可得AE＝AF，即可判定矩形AECF为正方形，即可解题． 【完整解答】解：作AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于点F， ∵∠AEC＝∠AFC＝∠BCD＝90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠FAE＝90°，即∠DAF＋∠DAE＝90°， ∵∠DAE＋∠BAE＝90°， ∴∠DAF＝∠BAE， 在△BAE和△DAF中， ∠AEB＝∠F，∠BAE＝∠DAF，AB＝AD， ∴△BAE≌△DAF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴矩形AECF为正方形， ∴∠ACB＝45°； 故答案为：45°． 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为 ． 【答案】2 【思路引导】根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案． 【完整解答】解：∵将△绕点顺时针旋转得到△， ∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF， ∵，∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°， ∴∠GAE=∠FAE， 又AE=AE， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴GE=EF， 设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x， ∵DF=3，∴CF=3， 在Rt△CEF中，由勾股定理，得：， 解得：x=2，即BE=2． 故答案为：2． 【考点再现】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键． 7．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】连结，由对称的性质可知，进而可证，即可得，由∠AON=90°，可得． 【完整解答】证明：连结， 、关于对称， ∴垂直平分， ， ∴， ∴，， 在Rt和Rt中 ， ∴，又， ∴， ∴． 【考点再现】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线是解题的关键．有关45°角的问题，往往利用全等，构造等腰直角三角形，使问题迅速获解． 8．如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5 【思路引导】（1）由正方形得，，由得：，得； （2）根据得：，那么可得，则可证，所以，根据勾股定理即可求得EM的长度． 【完整解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴（SAS）， ∴． （2）解：由，得 ∴， 在与中， , ∴（SAS）， ∴， 在中，， ∴． 【考点再现】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 9．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【思路引导】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【完整解答】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【考点再现】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 10．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【完整解答】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行四边形的解题模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 中点四边形 1 题型二 十字架模型 6 题型三 梯子模型 12 题型四 对角互补模型 15 题型五 与正方形有关的三垂线 24 题型六 正方形与45°角的基本图 30 B 综合攻坚・能力跃升 38 题型一 中点四边形 1．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点分别是四边形边的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若四边形是平行四边形，则与互相平分 D．若四边形是正方形，则与互相垂直且相等 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，则对角线，应满足（   ） A． B．平分 C．平分 D． 4．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 题型二 十字架模型 5．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 6．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 7．如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm． 8．如图，现有一张边长为的正方形纸片，点为正方形边上的一点（不与点，点重合）将正方形纸片折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于，折痕为，连接，.则的周长是 ． 题型三 梯子模型 9．如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度； (2)如果梯子的顶端A下滑了，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？ 10．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 11．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，测得，梯子的底端保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作，测得，求、之间的距离． 12一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 题型四 对角互补模型 13．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 14．（21-22九年级上·湖北武汉·月考）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点． （1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 15．（21-22八年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，则∠BCD的大小为___________； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线BD=6．求四边形ABCD的面积；小明这样来计算．延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明△ABD≌△CBE，从而可以计算四边形ABCD的面积．请你将小明的方法完善．并计算四边形ABCD的面积； 问题解决 （3）如图③，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．请计算出对角线BD的长度． 16．（2021八年级·全国·专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 与正方形有关的三垂线 17．（20-21九年级上·四川·月考）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则 ． 18．（21-22八年级下·四川德阳·月考）如图，点是正方形的边上的任意一点（不与、重合），与正方形的外角的角平分线交于点． (1)求证：． (2)将图放在平面直角坐标系中，如图，连、，与交于点，若正方形的边长为，则四边形的面积是否随点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形的面积． (3)在的（2）条件下，若，求四边形的面积． 19．（20-21八年级上·四川达州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 ． 20．（20-21八年级上·云南红河·月考）（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；    （2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图． 题型六 正方形与45°角的基本图 21．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 22．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O．    (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 23．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③S△AGE=18；④∠GAE=45°，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④ 24．如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且． （1）求证：； （2）在图1中，若G在上，且，则成立吗？为什么？ （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： ①如图2，在直角梯形中，，，，E是上一点，且，，求的长． ②如图3，在中，，，，，则的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程） 1．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①AG+EC=GE；②；③的周长是一个定值；④连结FC，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点分别在轴的正半轴上，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 4．如图，在中，，，，点在轴上，点在轴上，则点在移动过程中，的最大值是 ． 5．如图，四边形中，．则 ． 6．如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到，若，则的长为 ． 7．如图所示，正方形中，点E，F分别为BC，CD上一点，点M为EF上一点，D，M关于直线AF对称．连结DM并延长交AE的延长线于N，求证：． 8．如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 9．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 10．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $