专题01 平行四边形的性质与判定（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一 利用平行四边形的性质求解（常考点） 1 题型二 利用平行四边形的性质证明（重难点） 2 题型三 平行四边形性质的其他应用（难点） 3 题型四 证明四边形是平行四边形（重点） 5 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 6 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 8 题型七 利用平行四边形性质和判定证明（难点） 9 题型八 平行四边形性质和判定的应用（难点） 10 B 综合攻坚・能力跃升 12 题型一 利用平行四边形的性质求解（常考点） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，且，，求的周长． 3．如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 题型二 利用平行四边形的性质证明（重难点） 4．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为． (1)用含的代数式分别表示：______，______； (2)当为何值时，四边形为平行四边形？ (3)当为何值时，点在的平分线上？ (4)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？ 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 题型三 平行四边形性质的其他应用（难点） 7．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 8．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 9．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 题型四 证明四边形是平行四边形（重点） 10．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·吉林·期末）在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究题：如图1，已知，利用尺规作图法在图2中画出． 她的作法如下：①作的平分线； ②以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点N，作射线； ③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接； 故四边形为所求． 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形是平行四边形，如果不正确请说明理由． 12．（24-25八年级下·浙江台州·月考）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 13．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 14．如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 15．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 17．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 18．（24-25八年级下·浙江温州·期中）尺规作图问题： 如图1，已知，用尺规作图方法作以线段，为邻边的平行四边形．如图2，是已完成的部分作图痕迹，小瑞和小安在此基础上各自完成作图． 小瑞：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则四边形为平行四边形． 小安：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则四边形为平行四边形． (1)我认为 （填“小瑞”或“小安”）的作法更准确，他判定四边形为平行四边形的依据是 ． (2)如图3，点为B上一点，请只用无刻度直尺在上作出点，使得直线平分的面积． 题型七 利用平行四边形性质和判定证明（难点） 19．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 20．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有 ． 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图1，用硬纸板剪一个平行四边形，对角线，相交于点，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细直木条可以绕点O转动，拨动细直木条，可随意停留在任意位置． (1)细直木条把平行四边形分成了两部分，在拨动细直木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答：________（选填“是”或“否”）． (2)如图2，细直木条与的边，相交于点E，F． ①请判断与是否始终相等，并说明理由． ②连接，．以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？ 题型八 平行四边形性质和判定的应用（难点） 22．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 23．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点，，均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中，画出一个，使顶点在格点上； (2)在图2中，画出一条线段，使，且点在格点上． 24．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点． （1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则的面积为 ． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 6．如图，，对角线、交于点，于交于，若的周长为8，则的周长为 ． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 8．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，E为边上一点，且， (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 10．将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，请直接写出图中所有与平行四边形面积相等的三角形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平行四边形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一 利用平行四边形的性质求解（常考点） 1 题型二 利用平行四边形的性质证明（重难点） 3 题型三 平行四边形性质的其他应用（难点） 8 题型四 证明四边形是平行四边形（重点） 12 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 14 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 17 题型七 利用平行四边形性质和判定证明（难点） 21 题型八 平行四边形性质和判定的应用（难点） 26 B 综合攻坚・能力跃升 30 题型一 利用平行四边形的性质求解（常考点） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【完整解答】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，平行四边形的对角线，相交于点O，且，，求的周长． 【答案】20 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质进行转化计算． 利用平行四边形对边相等和对角线互相平分的性质，先求出，再计算的周长． 【完整解答】∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵， ∴． ∴的周长为． 3．如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意可得对角线，且与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出边的高即可． 【完整解答】解：如图，连接， 由题意得：， ∴垂直平分， 则对角线，且与平行四边形的边上的高相等． ∵平行四边形的面积为120，， ∴图1中，图2中， ， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 题型二 利用平行四边形的性质证明（重难点） 4．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为． (1)用含的代数式分别表示：______，______； (2)当为何值时，四边形为平行四边形？ (3)当为何值时，点在的平分线上？ (4)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的？ 【答案】(1)，； (2)当时，四边形为平行四边形； (3)当时，点在的平分线上； (4)当时，四边形的面积是四边形的面积的． 【思路引导】本题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边、角之间的关系． 根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：；根据点在边上由点向点运动，速度为每秒，可得：； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得：，解方程求出； 连接，根据角平分线的性质和平行四边形的性质，可得：，所以可得：，解方程即可求出； 根据平行四边形的面积公式和梯形的面积公式可得：，解方程即可求出 【完整解答】（1）解：点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， ， ； 点在边上由点向点运动，速度为每秒， ， 故答案为：，； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形； （3）解：如下图所示，连接， 在平行四边形中，，， ，，， ， 点在的平分线上， ， ， ， ， 解得：， 当时，点在的平分线上； （4）解：设平行四边形的边上的高为， 四边形的面积是四边形的面积的， ， 解得： 当时，四边形的面积是四边形的面积的 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，平分，交于点，且，连接，延长与交于点，连接、．下列结论中：①；②是等边三角形；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及角平分线的定义可得，进而可得，然后结合已知条件可得，于是可判断②；根据等边三角形的性质可得，然后根据即可证明，从而可判断①；由与等底（）等高（与间的距离相等）可得，进而可判断④；若=，则根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，但题中未限定这一条件，从而可判断③不一定正确；于是可得答案． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故②正确； ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵与等底（）等高（与间的距离相等）， ∴，故④正确． ∵ ∴ 若，则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 但题中未限定这一条件， ∴③不一定正确； 故选：B． 【考点再现】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 6．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，的对角线，交于点，过点作直线，分别交，于点，，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质，证明，即可得出结论． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 题型三 平行四边形性质的其他应用（难点） 7．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平行四边形中，，，动点P沿边以每秒0.5个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为秒． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当平分时，求t的值． (3)如图，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值． 【答案】(1) (2)6 (3)或8或 【思路引导】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得，可求解； （3）利用平行四边形的性质，分类讨论可求解． 【完整解答】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可得： 当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时四边形是中心对称图形， ∵， ∴， 当点Q没有到达点B时， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， 当点Q到达点C后，返回时， ∴， 当点Q第二次到达点B后， 综上所述：t的值为或8或 8．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【思路引导】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【完整解答】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 9．探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F． (1)求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等． (2)直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由． (3)应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论； （3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等． 【完整解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 同理可证：， ， ， 四边形与四边形的周长相等． （2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下： 四边形是平行四边形， ， 在和中，， ， ， 由（1）已证：，， ，， ， 四边形与四边形的周长相等， 即直线将的面积分成二等份． （3）解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示： 【考点再现】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 题型四 证明四边形是平行四边形（重点） 10．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点、分别在边和上，且． (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识点，能根据性质证出是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据证出； （2）首先根据平行四边形的性质得出，，然后结合得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， 又∵， 四边形是平行四边形． 11．（24-25八年级下·吉林·期末）在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究题：如图1，已知，利用尺规作图法在图2中画出． 她的作法如下：①作的平分线； ②以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点N，作射线； ③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接； 故四边形为所求． 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形是平行四边形，如果不正确请说明理由． 【答案】她的作图方法正确，证明见解析 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，理解作图过程，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键．方法正确，证明，即可． 【完整解答】答：她的作图方法正确， 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 12．（24-25八年级下·浙江台州·月考）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【思路引导】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②； （2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断； 选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断． 【完整解答】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确． 故答案为：正确；正确． （2）解：选择①： 由作图知，， ∴四边形为平行四边形． 故小吴的作法正确； 选择②： 由作图知，，垂直平分， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故小李的作法正确． 题型五 全等三角形拼平行四边形问题 13．如图，在的方格子中，的三个顶点都在格点上， （1）在图1中画出线段，使，其中是格点， （2）在图2中画出平行四边形，其中是格点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【思路引导】（1）过点C作，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形. 【完整解答】（1）解：如图， 线段就是所求作的图形． （2）解：如图， 就是所求作的图形 【考点再现】本题考查作图-应用与设计，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 14．如图所示，的顶点在的网格中的格点上． (1)画出绕点A逆时针旋转得到的； (2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【思路引导】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可； （2）如图有三种情况，构造平行四边形即可. 【完整解答】解：（1）如图即为所求 （2）如图，D、D’、D’’均为所求. 【考点再现】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图形的定义是解题的关键. 15．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的图形．要求如下： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】（1）图1、过平行四边形的一个顶点作高，沿这条高裁剪，即可拼成一个矩形； （2）图2、沿短对角线裁剪，将两个三角形的长边重合，即可得到正方形； （3）图3、过一个顶点和长边的中点剪开，将得到的三角形旋转180度即可得到一个角为135度的三角形． 【完整解答】解：如图所示： 【考点再现】本题一方面考查了学生的动手操作能力，另一方面考查了学生的空间想象能力，重视知识的发生过程，让学生体验学习的过程． 题型六 利用平行四边形的判定与性质求解（重点） 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，、、分别是边、、上的动点，满足，且．点与点关于对称，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)连接，，当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． （1）根据，结合已知可以得出，从而证明， （2），由点E、G关于对称，可得，则，由，证明，再由，可得，进而结论得证； （3）由点G是点E关于的对称点可得，，同理（1），四边形是平行四边形，则，证明是等边三角形，则，由，可得，则，，由此得出结论． 【完整解答】（1）证明：∵等边， ∴， 又∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵点E、G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下； 如图2，作点E关于的对称点G，连接，， ∴，， 同理（1），四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 17．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是的边上的点，是的中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分面积的性质的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，可证，得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，中线平分面积的计算即可求解． 【完整解答】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∴， ∵点是中点， ∴，且， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴点是中点， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：18 ． 18．（24-25八年级下·浙江温州·期中）尺规作图问题： 如图1，已知，用尺规作图方法作以线段，为邻边的平行四边形．如图2，是已完成的部分作图痕迹，小瑞和小安在此基础上各自完成作图． 小瑞：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则四边形为平行四边形． 小安：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则四边形为平行四边形． (1)我认为 （填“小瑞”或“小安”）的作法更准确，他判定四边形为平行四边形的依据是 ． (2)如图3，点为B上一点，请只用无刻度直尺在上作出点，使得直线平分的面积． 【答案】(1)小安；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)见解析 【思路引导】本题考查作一个角等于已知角、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合平行四边形的判定可得答案． （2）结合平行四边形的性质，连接，相交于点，作直线交于点，则点即为所求． 【完整解答】（1）解：由题意得，小瑞作法得到的是一组对边平行，另一组对边相等，得到的不一定是平行四边形，而小安的作法更准确，他判定四边形为平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：小安；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）如图3，连接，相交于点，作直线交于点， 则点即为所求． 题型七 利用平行四边形性质和判定证明（难点） 19．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据题意得出，再由平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合等腰梯形的判定证明即可． 【完整解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，，， ， 在和中， ， ； （2）为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 又， ，， 四边形是等腰梯形． 20．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有 ． 【答案】①②④ 【思路引导】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【完整解答】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 21．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图1，用硬纸板剪一个平行四边形，对角线，相交于点，用大头针在点O处将一根平放在平行四边形上的细直木条固定，并使细直木条可以绕点O转动，拨动细直木条，可随意停留在任意位置． (1)细直木条把平行四边形分成了两部分，在拨动细直木条的过程中，两部分的面积是否始终相等？答：________（选填“是”或“否”）． (2)如图2，细直木条与的边，相交于点E，F． ①请判断与是否始终相等，并说明理由． ②连接，．以A，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】(1)是 (2)①相等，理由见解析②是平行四边形，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）设细木条与交于点，与交于点，证，同理，则四边形的面积四边形的面积，即可得出结论； （2）①证，即可得出； ②由平行四边形的性质得，由①可得：，即可得出结论． 【完整解答】（1）解：两部分的面积相等，理由如下： 设细木条与交于点，与交于点，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，的面积的面积的面积的面积， 在和中， ， ∴， 同理：， ∴的面积的面积+的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积四边形的面积， ∴在拨动细木条的过程中，两部分的面积是始终相等， 故答案为：是； （2）解：①与始终相等，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由①可得：， ∴四边形是平行四边形． 题型八 平行四边形性质和判定的应用（难点） 22．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【思路引导】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【完整解答】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 23．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，点，，均在格点上，按下列要求画图． (1)在图1中，画出一个，使顶点在格点上； (2)在图2中，画出一条线段，使，且点在格点上． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【思路引导】（1）作线段AD∥BC，且AD=BC，即可得到， （2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC． 【完整解答】（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，线段BE即为所求． 【考点再现】本题主要考查了作图以及平行四边形的判定，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． 24．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点． （1）探究与的数量关系，并证明； （2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠DAE+∠CAE=90°，理由见解析；（2）AF=EF+CE，理由见解析． 【思路引导】（1）设∠CAE=，先证∠EAB=∠EBA=45°，再证∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，最后由∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE得出结论； （2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，先证△CEA≌△GEB，再证四边形ABGD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质解答即可． 【完整解答】解：（1）∠DAE+∠CAE=90°， 理由：设∠CAE=， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∵CD∥AB， ∴∠DCA=∠CAB=45°+， ∵AC=AD， ∴∠DCA=∠ADC=45°+， ∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2， ∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°； （2）AF=EF+CE， 理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG， ∵CD∥AB， ∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°， ∴CE=EG，AE=BE， 又∵∠CEA=∠GEB=90°， ∴△CEA≌△GEB， ∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE， ∴∠CAE=∠GBE， ∵∠GEB=90°， ∴∠AGB+∠GBE=90°， ∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°， ∴∠DAE=∠AGB， ∴AD∥BG， ∵DG∥AB， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴AF=GF， ∵GF=EF+GE=EF+CE， ∴AF=EF+CE． 【考点再现】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与平行线的性质，掌握平行四边形邻角互补、对边平行，及平行线的内错角相等是解题的关键． 先利用平行四边形邻角互补的性质求出的度数，再通过角平分线得到的度数，最后结合平行四边形对边平行的性质，利用内错角相等求出． 【完整解答】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【完整解答】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【完整解答】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则的面积为 ． 【答案】20 【思路引导】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键． 连接，过C作交的延长线于点M，可证四边形是平行四边形，由边上的高和边上的高相同知，所以，设的边上的高为h，则，又，即可求得的面积． 【完整解答】解：如图，连接，过C作交的延长线于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由边上的高和边上的高相同知， ， ∴， 设的边上的高为h，则， 又∵， ∴ ∴ 的面积为． 故答案为： 5．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，梯形中，，，平分，，，则 ，梯形的周长为 ． 【答案】 90 15 【思路引导】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形中所对直角边与斜边的关系等知识，根据题意得出的长是解决问题的关键．根据，以及得出，从而得出，进而得出，，即可得出答案． 【完整解答】解：平分， ， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴， 过点C作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴， 梯形的周长为：． 故答案为：90；． 6．如图，，对角线、交于点，于交于，若的周长为8，则的周长为 ． 【答案】16 【思路引导】本题考查了平行四边形性质，垂直平分线性质和判定，根据平行四边形性质，得到，，结合垂直平分线性质和判定，推出，结合的周长为8，进而即可求出的周长． 【完整解答】解： 中，对角线、交于点， ，， ， ， 的周长为8， ， 的周长为； 故答案为：． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，在中，E为边上一点，且， (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边平行且相等的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）先证明，然后利用可进行全等的证明； （2）证明为等边三角形，可得，求出的度数，即可得的度数． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【完整解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 10．将平行四边形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，请直接写出图中所有与平行四边形面积相等的三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，和 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中线与面积，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，则可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中线与面积关系可得，则可得，由此即可得． 【完整解答】（1）证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即图中所有与平行四边形面积相等的三角形有，，和． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $