第8章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材青岛版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在等边三角形中，，于点，是的中点，连接，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 7．如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 10．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 12．的周长为，，对角线相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 13．如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为 ． 14．如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 15．如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 17．（本题8分）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 18．（本题8分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 19．（本题9分）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 20．（本题8分）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 21．（本题10分）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是线段，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为，求矩形的面积． 22．（本题12分）已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2) 如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 23．（本题12分）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B B B D A D 9 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.612.10 13.6 14.115.24 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB‖CD,AB=CD, ∴∠ABE=∠CDF; .AM CN, ∴∠AEB=∠NFE, 又，∠NFE=∠CFD, ∴∠AEB=∠CFD, ∴.△AEB≌△CFD(AAS), ..BE=DF. 17.(本题8分)(1)解：正方形ABCD如图所示： (2)解：四边形ABCD如图所示： 1/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (3)解：平行四边形ABCD如图所示： B 平行四边形ABCD的面积=3×4-号×1×3-号×1×3-奇×1×2-青×1×2=7. 18.(本题8分)(1)证明：连接FH, H D ,四边形ABCD是正方形， ∴.AD‖BC,∠A=∠C=90°. ,四边形EFGH是平行四边形， ∴.EHIFG,EH=FG, ∠EHF=∠GFH. .AD I BC, ∴.∠AHF=∠CFH. .∠AHF-∠EHF=∠CFH-∠GFH,即∠AHE=∠CFG, 在△AEH和△CGF中， '∠AHE=∠CFG,A=∠C,EH=FG, ∴.△AEH≌△CGF, ..AE=CG; 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，四边形ABCD是正方形， ∠B=∠C=90°. ,四边形EFGH是正方形， ∴.EF=FG,∠EFG=90° ,∠BFE+∠CFG=90°，∠CGF+∠CFG=90o, .∠BFE=∠CGF 在△BEF和△CFG中， :∠BFE=∠CGF,∠B=∠C,EF=FG, ∴.△BEF≌△CFG, .BE=CF. 又，AE+BE=AB, .'.AE+CF=AB. 19.(本题9分)证明：，△EFG为等边三角形， ..EG=FG :E,F分别是对角线AC,BD的中点，G为BC的中点， ∴.EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线， ..CD=2FG,AB=2EG, ∴CD=AB, ∴四边形ABCD是“等对边四边形” 20.(本题8分)(1)证明：：点E是AD的中点， ..AE=DE, 又AFIBD, ∴∠FAE=∠CDE, 又，∠FEA=∠CED, ∴.△AFE≌△DCE, ..AF=CD 又：AD是BC边上的中线， ∴.BD=CD, ..AF=BD (2)解：，AB=AC,BD=CD, 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD⊥BC, ∠ADB=90°， 由(1)得AF=BD, 又：AF|BD, ∴.四边形AFBD为平行四边形， ∠ADB=90°， ∴.四边形AFBD为矩形 21.（本题10分)(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC,∠A=∠D=90°， ,E是AD中点， ..AE=DE 在△ABE和△DCE中， (AB=DC ∠A=∠D AE-DE .△ABE≌△DCE(SAS), ∴.BE=CE, ·M,N分别是BE,CE的中点，F是BC中点， ∴ME=专BE,NE=CE,MF=CE,NF=BE, ∴ME=NF,MF=NE, ∴.四边形MENF是平行四边形， 又，BE=CE, ..ME=MF=NF=EN, .四边形MENF是菱形； (2)解：连接EF, D :四边形ABCD是矩形，E,F分别是AD,BC中点， 4/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.AD=BC,AD II BC,∠A=∠ABF=90°， ·E,F分别是AD,BC的中点， ∴AE=AD=BC=BF, ∴.四边形ABFE是平行四边形， .∠A=90°， .四边形ABFE是矩形， ·EF=AB,∠BFE=90°，即EF⊥BC, :菱形MENF的面积=×MN×EF=24, 又：M,N是BE,CE中点， ∴MN=BC, ∴吉×BC×AB=24,即×AB×BC=24, ∴.矩形ABCD的面积=AB×BC=96, 22.(本题12分)(1)①证明：连接MD, :M是线段AC的中点， ÷BM=专AC,DM=专AC, :BM=DM, :N是BD的中点， :MN⊥BD; ②解：由条件可知BM=AM=MC=DM, :∠BAC=45°，∠DAC=28°， :∠MBC=∠MCB=90°-45°=45°，∠MCD=∠CDM=90°-28=62°， ÷∠BMD=360°-45°×2-62°×2=146°， :BM=DM,MN⊥BD, :∠BMN=∠DMN=克∠BMD, 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷∠BMN=∠BMD=克×146°=73°. (2)解：如图，连接MD, 由条件可知AM=BM=MD, ÷∠MBA=∠BAC=X,∠MDA=∠DAC=B, ÷∠AMB=180°-2a,∠CMD=2B, :∠BMD=180°-∠AMB-∠CMD=2a-23, :BM=MD,N是BD的中点， :∠BMN=∠DMN=克∠BMD=i(2a-2B)=x-B. 23.(本题12分)(1)证明：，DE‖AC,DF‖AB, ∴.四边形AEDF是平行四边形， …AE=DF, .AB=AC, ∴.∠B=∠C .DE AC, ∴.∠EDB=∠C, ∴∠B=∠EDB, .BE=DE, .AB=AE+BE=DF+DE,HAB=AC. ..DE+DF=AC (2)解：当D在BC延长线上时：DE-DF=AC; 当D在BC反向延长线上时：DF-DE=AC. (3)解：情况1：D在BC上由(1)知DE+DF=AC, 代入AC=6,DE=4,得4+DF=6, 解得DF=2: 情况2：D在BC延长线上由(2)知DE-DF=AC, 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 代入得4-DF=6无解，舍去)； 情况3：D在BC反向延长线上由(2)知DF-DE=AC, 代入得DF-4=6, 解得：DF=10. 综上所述，DF的长为2或10， 7/7 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【完整解答】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 2．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质. 在中，的平分线交于点E，易证得是等腰三角形，继而求得答案． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 3．如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟记三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 先由三角形中位线的判定与性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后数形结合表示出即可得到答案． 【完整解答】解：在中，分别为边的中点，， ， 在中，，为边的中点，， ， ， 故选：B． 4．如图，在等边三角形中，，于点，是的中点，连接，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等边三角形的性质． 根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论． 【完整解答】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵，于点D， ∴， ∵点E为的中点， ∴. 故选：C． 5．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，，证明，得出，，根据三角形外角的性质得出． 【完整解答】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形中位线定理，等边对等角，平行线的性质，三角形内角和等知识，由点，分别是，的中点，根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得，由点，分别是，的中点，得，而，所以，则，于是得到问题的答案，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【完整解答】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质等知识，首先根据垂直平分线的性质可得，结合“的周长是8”可知，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【完整解答】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是8，即， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的周长． 故选：D． 8．如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质；根据折叠的性质将平行四边形的周长与的周长进行转化是解决问题的关键．根据折叠的性质可得、，从而的周长可转化为：的周长的周长，求出，再由的周长为，求出的长，即可求解． 【完整解答】解：由折叠的性质可得、， ∴的周长的周长的周长， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵的周长， 即， ∴． 故选：A． 9．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 【答案】D 【思路引导】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由题意可得，，求出，由正方形的性质可得，，从而可得，再分两种情况，分别利用全等三角形的判定与性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【完整解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得； 当，时， 在和中， ， ∴， ∴此时， 解得：， 综上所述，当与全等时，t的值为或； 故选：D． 10．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定，掌握从平行四边形到正方形的判定路径是解题的关键． 先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形；再根据正方形的判定判定即可． 【完整解答】解：∵分别是的中点，分别是的中点， ∴分别是，，，的中位线， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形． 当时，， ∴是菱形． 当时，，则， ∴菱形是正方形． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，由的周长为14，可求． 【完整解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长为， ， 故答案为：． 12．的周长为，，对角线相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 【答案】10 【思路引导】此题考查了平行四边形的性质和垂直平分线的性质等知识．根据平行四边形的性质得到O为的中点，再证明垂直平分，则，根据线段之间的关系即可求出答案． 【完整解答】解：∵的对角线相交于点O， ∴O为的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， 故答案为：10． 13．如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为 ． 【答案】6 【思路引导】该题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质和判定，取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形即可得出结论． 【完整解答】解：取的中点，连接，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 14．如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 【答案】 【思路引导】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【完整解答】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 15．如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键． 先证；再由平行四边形周长得；最后转化四边形的周长表达式，代入数值计算． 【完整解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴，， ∴． ∵的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【完整解答】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17．（本题8分）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路引导】本题考查了网格作图，运用网格求面积，正方形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征以及正方形的性质进行作图即可； （2）结合网格特征以及题干要求进行作图即可； （3）结合网格特征以及平行四边形的面积为7进行作图即可． 【完整解答】（1）解：正方形如图所示： （2）解：四边形如图所示： （3）解：平行四边形如图所示： 平行四边形的面积． 18．（本题8分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案； 对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案. 【完整解答】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 19．（本题9分）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【完整解答】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 20．（本题8分）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合点E是的中点，，得，，再结合对顶角相等，证明，则，又因为是边上的中线，故，即可作答； （2）因为，，得，由（1）得，又∵，得出四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形． 【完整解答】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 21．（本题10分）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是线段，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定及三角形中位线的性质是解题的关键． （1）先利用矩形性质及中点条件证明，得，再结合三角形中位线定理证四边形是平行四边形，进而证其为菱形； （2）利用菱形面积与三角形面积的关系，结合矩形边长与菱形边长的联系，计算矩形面积． 【完整解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，分别是，的中点，是中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接， ∵四边形是矩形，，分别是，中点， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，即， ∵菱形的面积， 又∵，是，中点， ∴， ∴，即， ∴矩形的面积． 22．（本题12分）已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 【答案】(1)①详见解析；② (2) 【思路引导】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可； ②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，即可得到答案． （2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，即可得到答案． 【完整解答】（1）①证明：连接， 是线段的中点， ，， ， 是的中点， ； ②解：由条件可知， ，， ，， ， ，， ， ． （2）解：如图，连接， 由条件可知， ，， ，， ， ，是的中点， ． 23．（本题12分）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【思路引导】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第八章 四边形·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在等边三角形中，，于点，是的中点，连接，则的长为（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，在正方形的边上有一点H，G和F分别是、延长线上的一点，满足，且，连接交于点E，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 7．如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，若的周长是8，则的周长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 8．如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在边长为的正方形中，E为边上一点，且，点F在边上以的速度由点B向点C运动；同时，点G在边上以的速度由点C向点D运动，它们运动的时间为t秒，连接，．当与全等时，t的值为（    ） A．1 B．2 C．2或3 D．1或2 10．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE．要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，的对角线，相交于点，且，若的周长为14，则的长为 ． 12．的周长为，，对角线相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 13．如图，在中，E是的中点，连接是的中点，连接与交于点G，若，则的值为 ． 14．如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为 ． 15．如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 17．（本题8分）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 18．（本题8分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 19．（本题9分）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 20．（本题8分）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． 21．（本题10分）如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是线段，的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的面积为，求矩形的面积． 22．（本题12分）已知线段，以为斜边作和，连接，、分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2) 如图2，和在线段的同侧，若，，则的度数为 （用含、的代数式表示） 23．（本题12分）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $