专题09函数寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题09函数寒假预习讲义 · 懂概念：明白什么是函数，能判断两个变量是否构成函数关系。 · 会表示：掌握用表格、解析式、图象三种方式表示函数，并能相互转化。 · 能计算：会求自变量取值范围，能代入解析式求函数值或自变量的值。 · 会画图：能用描点法画出简单函数的图象，并能从图象中读取信息。 · 会应用：能分析简单的动点问题，结合生活实例理解函数的意义。 预习必备 知识点梳理 1.变量与常量 2.变量间的三种表示方法 3.函数的定义与解析式 4.自变量的取值范围 5.函数的表示 常考题型 精讲精炼 1.用表格表示变量关系 2.用关系式表示变量关系 3.用图象表示变量关系 4.函数的基本概念 5.函数解析式的表示 6.自变量取值范围的确定 7.自变量与函数值的求解 8.函数图象的识别 9.描点法绘制函数图象 10.从函数图象中获取信息 11.动点问题的函数图象分析 12.函数的三种表示方法 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.变量与常量】 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 举例：在路程公式 s=vt 中，若速度 v 固定，s 和 t 是变量，v 是常量。 【知识点02.变量间的三种表示方法】 1.表格法 优点：直观呈现变量的对应数值，便于直接查找。 缺点：不能完整反映变量间的全部规律。 2.关系式法 优点：精确表达变量间的数量关系，便于计算。 缺点：不够直观，需要计算才能得到对应值。 3.图象法 优点：形象展示变量的变化趋势，便于观察增减性。 缺点：读取数值不够精确。 【知识点03.函数的定义与函数解析式】 1.函数的定义 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 是自变量。 判断依据： (1)存在两个变量。 (2)自变量 x 每取一个值，函数 y 有且只有一个值与之对应。 2.函数解析式 定义：用数学式子表示函数关系的等式，也称函数关系式。 列解析式的步骤： (1)确定问题中的自变量与函数。 (2)分析两者的数量关系，列出等式。 (3)整理成 y=f(x) 的形式。 【知识点04.自变量的取值范围】 自变量的取值范围 整式型：自变量取全体实数 分式型：自变量取值保证分母≠0 根式型：自变量取值保证被开方数≥0 实际问题型：自变量取值符合实际意义 函数值与自变量求值 求函数值：已知自变量的值，代入解析式直接计算对应y值 求自变量的值：已知函数值，代入解析式解方程求对应x值 【知识点05.函数的表示】 一、函数图象的定义 在平面直角坐标系中，以函数的自变量 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点的集合，就是这个函数的图象。 二、用描点法画函数图象 1.列表：选取有代表性的自变量值，计算对应的函数值，制成表格。 2.描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 3.连线：用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来。 三、从函数图象中获取信息 1.点的意义：图象上的每个点 (x,y) 都满足函数解析式。 2.增减性：从左到右，图象上升则函数值随自变量增大而增大；图象下降则函数值随自变量增大而减小。 3.特殊点：找到图象的最高点、最低点、与坐标轴的交点等，获取关键数值。 四、动点问题的函数图象 1.分析运动过程：明确动点的起点、终点、速度变化、运动方向。 2.分段建立函数关系：根据不同阶段的运动状态，写出对应的函数解析式。 3.判断图象特征：根据解析式的类型（一次函数、分段函数等），判断图象的形状、斜率、转折点。 五、函数的三种表示方法对比 表示方法 优点 缺点 表格法 对应关系清晰，查找方便 只能列出部分值，无法反映全部规律 解析式法 精确表示关系，便于计算和推导 不够直观，抽象性较强 图象法 直观展示变化趋势，便于观察 数值不够精确，难以进行复杂计算 【题型1.用表格表示变量关系】 【典例】水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【答案】C 【分析】本题主要考查了变量，常量， 根据半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变，即可得出答案． 【详解】解：随着半径R变化，周长C也随之变化，而2，不变， 所以R,C是变量，2，是常量． 故选：C． 【跟踪专练1】王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是 ． 【答案】350 【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：350． 【跟踪专练2】小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 【题型2.用关系式表示变量关系】 【典例】已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，总费用由成人票费用和学生票费用组成，成人票费用为元，学生票费用为20元，因此与的函数关系式为． 本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系是解决本题的关键． 【详解】解：依题意，成人游客名，每张成人票50元，故成人票费用为元； 学生游客1名，每张学生票20元，故学生票费用为20元． 总费用为成人票费用与学生票费用之和，因此． 故答案为：． 【跟踪专练1】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的概念掌握，常量是固定不变的量，变量是变化的量是解题的关键． 速度不变即为常量，路程和时间会相互变化，故为变量. 【详解】解：∵速度保持不变， ∴是常量， ∵，且v为常量， ∴随的变化而变化，或随的变化而变化， ∴和都是变量． 故选：B． 【跟踪专练2】等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，列函数关系式，解一元一次不等式组，根据等腰三角形的定义和三角形周长计算公式可得对应的关系式，根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边列出不等式求出x的范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【题型3.用图象表示变量关系】 【典例】某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 【跟踪专练1】下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是 （填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 【跟踪专练2】如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要了用图象表示变量之间的关系，根据趋势图中的直线，即可得出预测结果． 【详解】解：根据小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，预测6月份小树的高度约为左右， 只有比较符合， 故选：C 【题型4.函数的基本概念】 【典例】半圆的面积公式中，常量是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了常量的定义，常量是在事物的变化中保持不变的量，据此可得答案． 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； D、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：D． 【跟踪专练2】若点在直线上，又在双曲线上，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查点与函数的关系和整体代入思想的应用，根据题意得到对应的方程组，将所求代数式和方程组变形采取整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵点在直线上，又在双曲线上， ∴， 则， 那么，， 故答案为：15． 【题型5.函数解析式的表示】 【典例】晨光文具店的“中华”牌2B铅笔的单价为2元/支，设小聪在该文具店购买“中华”牌2B铅笔数量为x支（小聪最多买支），需支付的钱数为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B．（x为不大于的自然数） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数解析式，由单价和数量即可确定函数关系式，注意自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵铅笔的单价为2元/支， ∴购买支需支付元； ∵小聪最多买支, ∴x为不大于的自然数; 故选：B 【跟踪专练1】已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【答案】 200 【分析】本题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，难点是根据题意得到相应的数量的代数式． 根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式． 【详解】解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，， 解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元． 故答案为：；200 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式． 根据矩形周长公式写出y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵三边总长恰好为， 设边的长为，边的长为， ． 故答案为：B． 【题型6.自变量取值范围的确定】 【典例】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 【跟踪专练2】函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的定义域、二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以函数的定义域是， 故答案为：． 【题型7.自变量与函数值的求解】 【典例】“我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒”出自宋代诗人苏轼的《水调歌头》，“高处不胜寒”的原因是大气的主要热源是在地球表面，距离地面越远，气温就越低，气温随着高度的增加而降低．在这一变化过程中，自变量是（   ） A．高度 B．气温 C．地球 D．地面 【答案】A 【分析】本题考查了自变量，题干描述气温随高度的增加而降低，高度是主动变化的量，因此自变量是高度． 【详解】∵气温随高度的变化而变化， ∴高度是自变量， 故选：A． 【跟踪专练1】同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【答案】77 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入计算即可． 【详解】解：当时，， 即它的华氏度数是． 故答案为：77 【跟踪专练2】已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系．由当时，函数值为，可得到，再代入当时的函数值中，即可求解． 【详解】解：函数，当时，函数值为， ， 整理可得：， 当时，， ，为整数， 一定为奇数， 函数值不可能是， 故选：B． 【题型8.函数图形的识别】 【典例】如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【答案】（1） 【分析】本题考查了函数的概念，根据“在某个变化过程中，如果两个变量和之间存在这样的关系，即对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就称是的函数，称为自变量”即可求解． 【详解】解：根据函数的定义，自变量任意取一个值，函数都有唯一值对应， ∴是的函数的是（1）， 故答案为：（1） ． 【跟踪专练1】下列各图表示的不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念．由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象不表示是的函数，其他三个选项均表示是的函数． 故选：B． 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 【题型9.描点法绘制函数图象】 【典例】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．因此只要把四个点的坐标逐一代入 中，若该点的坐标使得函数左右两边的值相等，则该点必在函数图象上． 【详解】当x=-1时，，显然y既为-2也不为4，所以点(-1,-2)和点（-1,4）都不在函数的图象上； 当x=1时，，所以点(1,2)在的图象上，而点(1,4) 不在函数的图象上； 故选：C 【点睛】本题考查的是会判断点在函数图象上，这是形的方面；从数的方面来看，即验证点的坐标满足函数的解析式，体现了数形结合的思想． 【跟踪专练1】描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【答案】 列表 描点 连线 【解析】略 【跟踪专练2】函数的图象上的点一定在第（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由二次根式和分式有意义的条件，得到，然后判断得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则 ∵，解得：， ∴，， ∴， ∴点一定在第二象限； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 【题型10.从函数图象中获取信息】 【典例】如图，是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，日最低营业额是在4月 日，达到 万元；（2）这个月中最高营业额是在4月 日，达到   万元；（3）这个月从 日到 日营业额情况较好，呈逐步上升趋势． 【答案】 9 2 21 6 9 21 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象解答即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：（1）由图象可得：在这个月中，日最低营业额是在4月9日，达到2万元； 故答案为：9，2； （2）由图象可得：这个月中最高营业额是在4月21日，达到6万元； 故答案为：21，6； （3）由图象可得：这个月从9日到21日营业额情况较好，呈逐步上升趋势； 故答案为：9，21． 【跟踪专练1】园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，解题的关键是读懂图象信息． 根据休息后小时的绿化面积平方米，即可判断． 【详解】解：根据图象可知，休息后园林队工作的时间为，绿化的面积为， 则休息后园林队每小时绿化的面积为． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知两地相距4千米，上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为 ． 【答案】9点40分 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从图象获取信息， 先根据图象求出甲的速度，再求出两人走了2千米时相遇时的时间，然后求出乙的速度，进而求出乙走完全程需要时间，则此题可解． 【详解】解：根据图象可知甲60分走了全程4千米， 所以甲的速度是4千米时． 由图象可知两人走了2千米时相遇， 则甲此时用了0.5小时，则乙用了， 所以乙的速度为（千米时）， 所以乙走完全程需要时间为（分）， 此时加上乙先前迟出发的20分， 所以现在的时间为9点40分． 故答案为：9点40分． 【题型11.动点问题的函数图象分析】 【典例】某选手在2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松比赛中匀速跑步，能反映他跑步的路程s（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，根据题意可得随着时间的增加，路程也增加，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵该选手是匀速跑步， ∴随着时间的增加，路程也增加， ∴四个选项中有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，速度为，图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的性质、动点问题的函数图象问题，弄清不同时间段，图象和图形的对应关系是解答的关键． 根据点的运动可得出，的长，由勾股定理求出的长，再根据面积公式可得出的值． 【详解】解：由点的运动可知，，， 在中，由勾股定理可知，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 【题型12.函数的三种表示方法】 【典例】在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是 ． 【答案】 【分析】根据表格数据可直接得出答案． 【详解】解：由表格可知，当所挂物体的质量为，即不挂物体时， 弹簧的长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了函数的表示方法—列表法，学会从表格数据中观察出函数的关系是解决本题的关键． 【跟踪专练1】已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 【跟踪专练2】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 【答案】840 【分析】观察表格数据可得y=20x，可得施工8天后y的值，进而求出未铺设的管道长度． 【详解】解：观察表格数据可知： y＝20x， 当x＝8时，y＝160， 所以未铺设的管道长度为：1000﹣160＝840（米）． 故答案为：840. 【点睛】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是根据表格数据表示函数． 1．2024年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米1.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米1.8元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)求出每户每月用水量超过10立方米时应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的关系式． 【答案】(1)用水8立方米时应交水费：9.6元；用水14立方米时应交水费：19.2元 (2) 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，列函数关系式，熟练掌握收费规则，是解题的关键： （1）根据收费规则，列出算式进行计算即可； （2）根据收费规则，列出关系式即可． 【详解】（1）解：用水8立方米时应交水费：（元） 用水14立方米时应交水费：（元） （2）由题意： 整理，得：． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 【答案】(1)（） (2)升 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 3．写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． (1)《赣州晚报》每份元，购买《赣州晚报》所需钱数元与购买的份数份之间的关系式； (2)用总长为80m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积与一边长之间的关系式． 【答案】(1)y与x之间的关系式为，其中是常数，y，x是变量 (2)S与x之间的关系式：，其中40，是常数，S，x是变量 【分析】本题主要考查了函数关系式．熟练掌握总价、单价和数量的关系，长方形面积公式，常量，变量的定义是解决问题的关键． （1）根据：所需钱数每份钱数购买的份数x，列出函数解析式，再指出关系式中的变量与常量； （2）根据长方形的面积公式，求出，再指出关系式中的变量与常量． 【详解】（1）解：单价元的报纸，购买x份， 总金额， 与x之间的关系式为，其中是常数，y，x是变量； （2）解：总长为的篱笆围成长方形场地，一边长， 另一边长为：， 长方形的面积：， 与x之间的关系式：，其中40，是常数，S，x是变量． 4．下图表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．根据图象回答下列问题： (1)汽车从出发到最后停止共经过了________min，它的最高速度是________km/h． (2)汽车在哪段时间里保持匀速行驶？速度是多少？ (3)汽车在哪段时间里停止行驶？可能发生了什么情况？ (4)请大致描述这辆汽车的行驶情况． 【答案】(1)， (2)，，速度分别是和． (3)停止行驶，可能遇到了红灯（可能发生的情况言之有理即可）． (4)见解析 【分析】本题考查函数图形，解题的关键是根据函数图象获取信息． （1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象，速度不变即平行轴的线段部分，即可求解； （3）根据函数图象，汽车停止行驶即速度为，可能发生的情况言之有理即可； （4）结合函数图象，对汽车所做的运动进行说明即可． 【详解】（1）解：，． 由图象可知，汽车从出发到最后停止共经过了，它的最高速度是． （2）解：由图象可知，汽车在，，保持匀速行驶，速度分别是和． （3）解：汽车在停止行驶，可能遇到了红灯（可能发生的情况言之有理即可）． （4）解：汽车开始加速行驶，在里以的速度匀速行驶，在里减速行驶，在里停止行驶，在里又加速行驶，在里以的速度匀速行驶，在里减速行驶至停止． 5．如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】(1)x，y (2)16 (3)的长为8，梯形的面积为26 (4)3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09函数寒假预习讲义 · 懂概念：明白什么是函数，能判断两个变量是否构成函数关系。 · 会表示：掌握用表格、解析式、图象三种方式表示函数，并能相互转化。 · 能计算：会求自变量取值范围，能代入解析式求函数值或自变量的值。 · 会画图：能用描点法画出简单函数的图象，并能从图象中读取信息。 · 会应用：能分析简单的动点问题，结合生活实例理解函数的意义。 预习必备 知识点梳理 1.变量与常量 2.变量间的三种表示方法 3.函数的定义与解析式 4.自变量的取值范围 5.函数的表示 常考题型 精讲精炼 1.用表格表示变量关系 2.用关系式表示变量关系 3.用图象表示变量关系 4.函数的基本概念 5.函数解析式的表示 6.自变量取值范围的确定 7.自变量与函数值的求解 8.函数图象的识别 9.描点法绘制函数图象 10.从函数图象中获取信息 11.动点问题的函数图象分析 12.函数的三种表示方法 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.变量与常量】 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。 举例：在路程公式 s=vt 中，若速度 v 固定，s 和 t 是变量，v 是常量。 【知识点02.变量间的三种表示方法】 1.表格法 优点：直观呈现变量的对应数值，便于直接查找。 缺点：不能完整反映变量间的全部规律。 2.关系式法 优点：精确表达变量间的数量关系，便于计算。 缺点：不够直观，需要计算才能得到对应值。 3.图象法 优点：形象展示变量的变化趋势，便于观察增减性。 缺点：读取数值不够精确。 【知识点03.函数的定义与函数解析式】 1.函数的定义 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 y 是 x 的函数，x 是自变量。 判断依据： (1)存在两个变量。 (2)自变量 x 每取一个值，函数 y 有且只有一个值与之对应。 2.函数解析式 定义：用数学式子表示函数关系的等式，也称函数关系式。 列解析式的步骤： (1)确定问题中的自变量与函数。 (2)分析两者的数量关系，列出等式。 (3)整理成 y=f(x) 的形式。 【知识点04.自变量的取值范围】 自变量的取值范围 整式型：自变量取全体实数 分式型：自变量取值保证分母≠0 根式型：自变量取值保证被开方数≥0 实际问题型：自变量取值符合实际意义 函数值与自变量求值 求函数值：已知自变量的值，代入解析式直接计算对应y值 求自变量的值：已知函数值，代入解析式解方程求对应x值 【知识点05.函数的表示】 一、函数图象的定义 在平面直角坐标系中，以函数的自变量 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点的集合，就是这个函数的图象。 二、用描点法画函数图象 1.列表：选取有代表性的自变量值，计算对应的函数值，制成表格。 2.描点：根据表格中的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。 3.连线：用平滑的曲线（或直线）将描出的点依次连接起来。 三、从函数图象中获取信息 1.点的意义：图象上的每个点 (x,y) 都满足函数解析式。 2.增减性：从左到右，图象上升则函数值随自变量增大而增大；图象下降则函数值随自变量增大而减小。 3.特殊点：找到图象的最高点、最低点、与坐标轴的交点等，获取关键数值。 四、动点问题的函数图象 1.分析运动过程：明确动点的起点、终点、速度变化、运动方向。 2.分段建立函数关系：根据不同阶段的运动状态，写出对应的函数解析式。 3.判断图象特征：根据解析式的类型（一次函数、分段函数等），判断图象的形状、斜率、转折点。 五、函数的三种表示方法对比 表示方法 优点 缺点 表格法 对应关系清晰，查找方便 只能列出部分值，无法反映全部规律 解析式法 精确表示关系，便于计算和推导 不够直观，抽象性较强 图象法 直观展示变化趋势，便于观察 数值不够精确，难以进行复杂计算 【题型1.用表格表示变量关系】 【典例】水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为，圆周长为，下列关于等式的说法正确的是（   ） A．，，是变量，2是常量 B．是变量，2，，是常量 C．，是变量，2，是常量 D．是变量，，是常量 【跟踪专练1】王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是 ． 【跟踪专练2】小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【题型2.用关系式表示变量关系】 【典例】已知某植物园的收费标准为成人票每张50元，学生票每张20元．设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人游客x名，学生游客1名，则y与x之间的函数关系式为 ． 【跟踪专练1】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的速度不变，则下列说法正确的是（   ） A．速度v是变量 B．速度v是常量，路程s和时间t都是变量 C．时间t，速度v是变量 D．速度v、时间t、路程s都是常量 【跟踪专练2】等腰三角形的周长为，它的腰长为 与底长的函数关系式是 ，自变量的取值范围 ． 【题型3.用图象表示变量关系】 【典例】某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是 （填写序号）． 【跟踪专练2】如图表示小明栽种的小树高度与月份之间关系的趋势图，请你根据趋势图预测6月份小树的高度为（   ） A． B． C． D． 【题型4.函数的基本概念】 【典例】半圆的面积公式中，常量是 ． 【跟踪专练1】下列图像中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点在直线上，又在双曲线上，则 ． 【题型5.函数解析式的表示】 【典例】晨光文具店的“中华”牌2B铅笔的单价为2元/支，设小聪在该文具店购买“中华”牌2B铅笔数量为x支（小聪最多买支），需支付的钱数为y元，则y与x之间的函数关系式为（   ） A． B．（x为不大于的自然数） C． D． 【跟踪专练1】已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为 ；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为 元． 【跟踪专练2】如图，一个长方形菜园，其中一边为足够长的墙，另外三边用一根长的篱笆围成（接口处忽略不计）．设边的长为，边的长为，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型6.自变量取值范围的确定】 【典例】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【跟踪专练1】已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【跟踪专练2】函数的定义域是 ． 【题型7.自变量与函数值的求解】 【典例】“我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒”出自宋代诗人苏轼的《水调歌头》，“高处不胜寒”的原因是大气的主要热源是在地球表面，距离地面越远，气温就越低，气温随着高度的增加而降低．在这一变化过程中，自变量是（   ） A．高度 B．气温 C．地球 D．地面 【跟踪专练1】同一温度的华氏度数与摄氏度数之间的函数关系是．如果某一温度的摄氏度数是，那么它的华氏度数是 ． 【跟踪专练2】已知函数．当时，函数值为，并且，为整数，则当时，函数值不可能为（　　） A． B． C． D． 【题型8.函数图形的识别】 【典例】如图，下列各曲线中表示是的函数的有 （填序号）． 【跟踪专练1】下列各图表示的不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【题型9.描点法绘制函数图象】 【典例】下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】描点法画函数图象的一般步骤： 第一步： ．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格． 第二步： ．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点． 第三步： ．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来． 【跟踪专练2】函数的图象上的点一定在第（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型10.从函数图象中获取信息】 【典例】如图，是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，日最低营业额是在4月 日，达到 万元；（2）这个月中最高营业额是在4月 日，达到   万元；（3）这个月从 日到 日营业额情况较好，呈逐步上升趋势． 【跟踪专练1】园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：）与工作时间t（单位：h）的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知两地相距4千米，上午，甲从地出发步行到地，乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分）之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为 ． 【题型11.动点问题的函数图象分析】 【典例】某选手在2025重庆沙坪坝全球校友半程马拉松比赛中匀速跑步，能反映他跑步的路程s（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，点从点出发，沿的方向匀速运动到点，速度为，图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为 ． 【跟踪专练2】如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【题型12.函数的三种表示方法】 【典例】在弹簧限度内，弹簧挂上物体后弹筑的长度与所挂物体的质量之间的关系如表： 所挂物体的质量 … 弹簧的长度 … 则不挂物体时，弹簧的长度是 ． 【跟踪专练1】已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的重要组成部分，我县某村要铺设一条全长为1000米的“雨污分流”管道，现在工程队铺设管道施工x天与铺设管道y米之间的关系用表格表示如下，则施工8天后，未铺设的管道长度为 米． 时间（x天） 1 2 3 4 5 … 管道长度（y米） 20 40 60 80 100 … 1．2024年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米1.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米1.8元收费． (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？ (2)求出每户每月用水量超过10立方米时应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的关系式． 2．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 3．写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是常量，哪些是变量． (1)《赣州晚报》每份元，购买《赣州晚报》所需钱数元与购买的份数份之间的关系式； (2)用总长为80m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积与一边长之间的关系式． 4．下图表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．根据图象回答下列问题： (1)汽车从出发到最后停止共经过了________min，它的最高速度是________km/h． (2)汽车在哪段时间里保持匀速行驶？速度是多少？ (3)汽车在哪段时间里停止行驶？可能发生了什么情况？ (4)请大致描述这辆汽车的行驶情况． 5．如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $