专题15成都2026年中考题型专项复习- 二次函数其他存在性问题B25

二次函数其他存在性问题 目录 典例详解 2 类型一、二次函数中的定点问题 2 类型二、二次函数中的定值问题 13 类型三、二次函数中的旋转问题 25 类型四、二次函数中的平移问题 40 题型专练 54 典例详解 类型一、二次函数中的定点问题 例1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴负半轴交于点，点坐标，过点作直线轴于点． (1)求的值； (2)直线交抛物线于点，点位于直线上方的抛物线上，求面积的最大值； (3)如图2，过点的直线与抛物线交于点，（点在点左边），点为直线上一点，直线交抛物线于点，若点为线段的中点，试问直线是否过定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式1-1】已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【变式1-2】如图1，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴第三象限上一点，将沿翻折，若点A恰好落在对称轴上点处，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移8个单位长度得直线，点为直线上一点，射线，（均与轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为，．判断直线是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 类型二、二次函数中的定值问题 例2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接，能否为直角三角形，请简要说明； (3)如图2，经过定点作直线与抛物线交于M，N两点，试探究是否为定值？若为定值请求出定值，若不为定值，请说明理由． 【变式2-1】如图1， 二次函数与x轴交于点A，B（点A 在点 B的左侧），与y轴交于点 C，点D 坐标为，过点D的直线与抛物线交于点 E，F，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为 (1)求证： (2)求m的值． (3)如图2，过点A 的直线交y轴于点 P，过点 E作， 连接FO交AP于点 H，此时，求是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【变式2-2】已知抛物线 的图象经过两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点 P 作轴于点 M，若满足（a为常数）的点有且只有三个，求的值； (3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线与y轴交于点 C，连接． ①如图①，若，求点 P 的坐标；②如图②，直线与抛物线交于点 D，连接．请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 类型三、二次函数中的旋转问题 例3．．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，与抛物线交于点A、点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)动点P在直线上方的抛物线上，设点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，当时，求t值； (3)点Q是坐标平面内一点，将绕点Q沿顺时针方向旋转后，得到，点A、O、B的对应点分别是点，若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标． 【变式3-1】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数中的平移问题 例4．如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 【变式4-1】已知抛物线． (1)如图1，将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，的对称轴为直线l，与x轴交于A、B两点，若，求此时的解析式； (2)在（1）的条件下，点C在对称轴l右侧的抛物线上，点D在对称轴l上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点C的坐标； (3)如图2所示，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移m个单位得到抛物线，Q为y轴负半轴一点，经过点Q的直线交于E、F两点，经过点Q的直线交于G、H两点，且，满足：，M、N分别为、的中点，直线交y轴于点P，求证：为定值． 【变式4-2】如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使得成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，与轴交于，两点（在左边)，如图2，为抛物线上一动点（在左边）直线，分别与直线：交于，D两点，于，于，求的值． 题型专练 1. 如图，抛物线与轴交于点与轴交于点，且过点．点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点在直线下方时，求面积的最大值； (3)如图2，当点在轴右侧时，直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的坐标． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接． (1)如图1，求的值及直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 4. 如图，已知抛物线 的对称轴为直线，且抛物线与x轴交于点A 和点 ，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标． (2)直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴的平行线交于点 N，过点 M 作的垂线，垂足为 H． ①当点M运动到抛物线的顶点时，求的周长； ②求的周长的最大值． (3)将抛物线向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到一个新的抛物线．在y轴上是否存在一点F，使得当经过点 F 的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 为定值？若存在，求出点 F 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 5. 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，． (1)求该拋物线解析式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，交于D，点E为直线上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)如图2，将拋物线绕点旋转得到新拋物线，M为新抛物线对称轴上一点，将沿射线方向平移，在平移过程中，若存在平移后的三角形恰有两个顶点同时落在新拋物线上，直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M坐标的其中一种情况的过程． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数其他存在性问题 目录 典例详解.… 类型一、二次函数中的定点问题 2 类型二、二次函数中的定值问题 13 类型三、二次函数中的旋转问题 25 类型四、二次函数中的平移问题 .o.a.............0.......0.o........0........ 40 月题型专练… 54 典例详解 类型一、二次函数中的定点问题 图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=一X+x+c经过点A,,与 2 交于点B,点B坐标O, 过点A作直线I⊥x轴于点C. 3 图1 图2 (1)求b,c的值； (2)直线BC交抛物线于点D,点P位于直线BD上方的抛物线上，求△PBD面积的最大值： 3)如图2，过点C的直线与抛物线交于点E,F(E点在F点左边)，点G为直线1上一点， 直线EG交抛物线于点H,若点G为线段EH的中点，试问直线FH是否过定点？若过定点， 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由， 7 【答案】(1)b= 2 3c=- 3 2,2s '96 3)经过定点1,2)；见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积问题、一次函数和二次函数的 综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键 (1)利用待定系数法求出答案即可； 2):直线BC的解析式为)=号x 子x名，由(1)得到抛物线为y= 2 3- 3 ,联立求 出D 过点P作阳:轴交D于点，设P-号子-引测-号引得 到PH=- 骨，别aP90面积-m-- 96 ,根据二次函数的性 质即可求出答案； 3 设EF的解析式为y=k(x-1),得 到2x+3k-7x+2-3=0,则m+n=7-3张m 22一23可工自的角晖厅人幻 .2( 5 m+n-2) 42 3 - (后m号+小x-+2,当=1时)=2，年可求出容案 【详解】(1)解：：抛物线y=-2x+hx+c经过点4，，与y轴负半轴交于点B,点B坐 3 标引 2 C=- 3 。。 2 1= +b+c 3 2 C=- 解得 3 7 7 2 即b=3c= 3 (2):点A1,1),过点A作直线11x轴于点C. .C1,0), 设直线BC的解新武为三mr+N,把点B坐标0，子 C(1,0)代入得到 m+n=0 2, n=- 3 m= 解得 3 2 n=- 3 :直线BC的解析式为y=专一了， 22 由(1)得到抛物线为子+x- 3 22 y=。x- 33 联立得到 2 ,72 y=- x2+2x- 3 33 3 x=0 5 网-号 X=3 则小 过点P作PH⊥x轴交BD于点H, 设P+好引则引 PH=-2+, 3 3 t 12 96 -<0, 6 抛物线开口向下， :当1=时，△PBD面积取得最大值为 6 (3)经过定点1,2)，理由如下： +引F号+到 :点G为线段EH的中点， H2-m,2-m+号2-则-) 设EF的解析式为y=k(x-1),则 y=k(x-1) 则2x2+3k-7)x++2-3k=0, 2,mn=2-3k m+n=7-3k 2 设FH的解析式为y=kx+b,,则 2 72 n2+n- =k n+b 3 3 3 2-加号2-网-号2-6 7 4 k=- 2-m+m+ 解得 3 2 b=- 4.2 3-5 :.直线FH的解析式为y= 72 42 3 3n-3 mn=m+n J 2 「2 2 .y= m 当x=1时，y=2, 直线FH过定点(1,2 【变式1-1】已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），对称轴 为直线x=-1,抛物线的顶点为D,与y轴的交点为C,点D、C都在直线y=-x+3上， P为抛物线上第二象限内一动点且不与点D重合， D D B A B o 图1 备用图 (1)求该抛物线的关系式： (2)如图1，直线OP与AC相交于点F,若以A、O、F为顶点的三角形与△ABC相似，请 求出点P的横坐标； (3)过点P的直线PQ与抛物线交于点Q,若DP⊥DQ,直线PQ是否过一定点？若过定点， 请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由 【答案】(1)y=-x2-2x+3; 2点P的横坐标为-正或-5： 2 3)直线PQ过定点-1,3). 【分析】(1)先求出点C坐标(0,3)，再求出点D坐标(-1,4)，设抛物线解析式为顶点式 y=a(x+1)2+4,再代入点C(0,3),解得a=-1,从而可得抛物线解析式： (2)先求出抛物线与x轴交点A-3,0),B1,0),直线BC的解析式为y=-3x+3,直线 AC的解析式为y=x+3,接下来分两种情况讨论以A、O、F为顶点的三角形与ABC相 似，即①△AF0∽△ABC和②AAOF△ABC,再分别求解即可： (3)由D(-1,4),可设直线DP解析式为y=k(x+I)+4=kx+k+4,直线D2解析式为 y=m(x+1)+4=x+m+4,令直线DP与抛物线联立可得x2+2+kx+k+1=0,由根与 系数的关系可得xD+xp=-2-k,即xp=-1-k,从而可得P(-1-k,-k2+4;同理可得 Q-1-m,-m2+4),根据待定系数法可得直线PQ的表达式，再构造一线三垂直模型，如图 3所示，则DM=k,PM=k2,DN=-m,NQ=m2,易证△MDADNO,由相似三角形 性质推得km=-1,把km=-1代入y=(k+m)x+3+km+k+m+1中，即 y=(k+m)x+3+k+m=(k+m)(x+1)+3,故直线PQ过定点(-1,3. 【详解】(1)解：：抛物线的顶点为D,与y轴的交点为C,点D、C都在直线y=-x+3上， 当x=0,则y=3,C(0,3), x=-1,则y=-（-1+3=4,.D(-1,4), 设抛物线解析式为顶点式y=a(x+1)2+4, 代入点C(0,3,可得3=a+4, 解得a=-1, 故该抛物线的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3; （2)解：令y=-x2-2x+3=0, 可解得x=-3或1， 即A-3,0),B1,0), 由待定系数法可得直线BC的解析式为y=-3x+3,直线AC的解析式为y=x+3, :∠FA0=∠CAB, ：可能存在两种情况： 6 ①△AFO∽△ABC, AF AO ”ABAC AB=4,A0=0C=3,AC=402+0C2=32, 432,a40C是等腰直角三角形， AF 3 可得AF=2√2，∠CA0=45°， 作FG⊥x轴于点G,如图2所示， 5FG=4G=25-2,进而可得F-1,2, √2 B o 图1 图2 则直线0F的解析式为y=-2x, 联立y=-2x与y=-x2-2x+3,整理得x2=3, 解得x=±3， 又，P为抛物线上第二象限内点， xp=-5; ②aA0F△ABC, 此时OF I BC, 则直线0F的解析式为y=-3x, 联立y=-3x和y=-x2-2x+3,整理得x2-x-3=0, 解得x=1±3 (正值舍去)， 2 则，=1-因 2 综上，点P的横坐标为-E或5 2 (3)解：直线PQ过定点(-1,3)，理由如下： :D-1,4,设直线DP解析式为y=k(x+1+4=kx+k+4, 直线D2解析式为y=m(x+1+4=x+m+4, 7 令直线DP与抛物线联立可得x2+(2+k)x+k+1=0, 由根与系数的关系可得xD+xp=-2-k,即xp=-2-k-(-1)=-1-k, 从而可得P-1-k,-k2+4), 令直线DQ与抛物线联立，同理可得xo+xg=-2-m,即xg=-1-m, 从而可得2-1-m,-m2+4, 根据待定系数法可得直线PQ的表达式为 y=[-(-2-k-m)-2]x+3+(-k-1(-m-1=(k+m)x+3+km+k+m+1, 过点D作MNx轴，PM⊥MN于M,ON⊥MN于N, 如图3所示， 图3 则DM=-1-(-1-k)=k,PM=4-（-k2+4)=k2, DN=-1-m-（-1=-m,NQ=-4--m2+4=m2, :∠M=∠N=∠PDQ=90°， ∴∠MDP+∠NDQ=90°， ∠MDP+∠MPD=90°， ∴.∠NDQ=∠MPD, .△PMD∽△DNQ, DNNO,即冬= PM MD 却m=m 整理可得km=-1, 把km=-1代入y=(k+m)x+3+k+k+m+1中， 即y=(k+m)x+3+k+m=k+m)(x+1+3, 令x+1=0,即x=-1,此时y=3, 故直线PQ过定点(-1,3). 【点晴】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点 问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、 解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题. 【变式1-2】如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(1,0)两点，与y轴交于点C, 其对称轴为直线x=-2, 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点K是抛物线对称轴第三象限上一点，将△BAK沿BK翻折，若点A恰好落在对称轴上 点A处，求点K的坐标； 3)如图2，将直线AC向下平移8个单位长度得直线1，点P为直线1上一点，射线PE,PF (均与y轴不平行)与抛物线都只有唯一交点，分别为M,N.判断直线MN是否经过某 个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由 【答案】(1)y=x2+4x-5; (2)K-2,-5): - 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、勾股定理、二次函数 与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键， (1)直接运用待定系数法求解即可； 9 (2)先求得A-5,0),如图：设直线x=-2与x轴交于点D,则D(-2,0).则4B=6, AD=BD=3,由翻折可得：A'B=AB=6;由勾股定理可得A'D=3√5；设K(-2,k),则 KD=k.AK=3V3+k,然后再运用勾股定理求解即可： (3)先求得C(0,-),再求得直线AC的解析式为：y=-x-5、向下平移8个单位得直线 1:y=-x-13,进而得到直线1：y=-x-13;设Mm,m2+4m-5,Nn,n2+4n-5,直线 MN的解析式为：y=kx+b.联立可得x2+(4-k)x-b-5=0;由根与系数的关系可得 m+n=k1-4,mn=-b-5.设直线PE的解析式为：y=kx+b2.把Mm,m2+4m-5)代 入可得y=k,x-m)+m2+4m-5;联立： y=k2(x-m+m2+4m-5 y=x2+4x-5 易得 x2+(4-k2)x-m2-4m+km=0,再根据根的判别式可得；进而得到y=(2m+4)x-m2-5; x=专-4 同理可得直线PF的解析式为：y=(2n+4)x-n2-5;联立可得 2 ,即 y=2k-b-18 P,2站-4-1：代入直线y=-13可得4= 4；进而得到 2 y=kx+ ,4一(：+引-7，最后很据二次前数的性质求解即可。 k-14_ 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于B(1,0)点，对称轴为直线x=-2 1+b+c=0 b=4 由题意可得 b ,解得： -2 (c=-5' 2 抛物线的解析式为：y=x2+4x-5. (2)解：：点A与点B(1,0)关于直线x=-2对称， A-5,0). 如图：设直线x=-2与x轴交于点D,则D(-2,0).则AB=6,AD=BD=3, 10