专题14成都2026年中考题型专项复习-二次函数角度存在性问题B25

二次函数角度存在性问题 目录 典例详解 2 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 2 类型二、等角存在性问题 11 类型三、二倍角存在性问题 22 类型四、角度和差存在性问题 37 题型专练 55 典例详解 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 例1如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值； (3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】已知抛物线与x轴相交于点），与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使？若存在，直接写出Q点坐标． 【变式1-2】如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当线段长度最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、等角存在性问题 例2如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求拋物线的函数表达式： (2)如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式2-1】如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求点的坐标； (3)如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【变式2-2】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线AC上方抛物线上一动点， ①当点P的坐标为时，求四边形APCO的面积； ②求点P到直线AC距离的最大值； (3)点Q是抛物线上任意一点，当时，求点Q的坐标． 类型三、二倍角存在性问题 例3如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，在直线上方的抛物线上有一动点，过点作轴于，交直线于点，过点作于点． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)设为，为，当时，求点的坐标； (4)在（3）的条件下，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 类型四、角度和差存在性问题 例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点E是直线上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交与x轴分别为点F与点G，点P，Q为抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点E的坐标及周长的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移2个单位，向上平移3个单位得到，点H为点E的对应点，点M为上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线上方抛物线上运动，过点作轴，交直线于点，过点作交轴于点．点、是直线上的两动点，点在点的左侧，，连接、．当的值最大时，求此时的最小值． (3)在（2）中取最大值的条件下，连接．将原抛物线沿射线方平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧），在新抛物线上存在点，使得．请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【变式4-2】如图1，抛物线与坐标轴分别交于三点，其中点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，点是轴上一动点，当四边形的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）条件下，将抛物线沿轴翻折得到，则点的对应点为，并将沿射线方向平移个单位长度得到，记在抛物线上的对应点为，过作轴于点是直线上一点，连接，则是否存在点使得；若存在，请直接写出点的坐标． 题型专练 1. 已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，直接写出点坐标． 2. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值． (3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标． 3. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值和点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得，请直接写出所有点的坐标． 5. 如图所示，已知抛物线与轴相交于点和，与轴相交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若是线段上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结．在轴上是否存在一点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，连接，过点作的平行线交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线下方抛物线上一点，于点，过点作轴的平行线交于点，交直线于点．求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过的中点，点为平移后的抛物线上一点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 8. 如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求的值． (2)若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数角度存在性问题 目录 典例详解.2 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题.2 类型二、等角存在性问题…11 类型三、二倍角存在性问题 22 类型四、角度和差存在性问题 37 题型专练 55 典例详解 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 例1如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6), 并与y轴交于点B(0,3),点A是对称轴与x轴的交点. B A 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP,AP,求△ABP的面积 的最大值； (3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D,求出D点的坐标；并 探究：在y轴上是否存在点Q,使∠CQD=60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说 明理由。 【答案】(1)y=-，x2+2x+3 2)Sr的最大值为8别 (3)存在，Q点坐标为(0,3V3)或(0，-35) 【分析】1)由题意可设抛物线解折式为y=a:-3+6,将80)代入可得a=青则可 求解析式： 3 连接P0,设Pm,,2+2n+3),分别求出S,po),So三-n2士 9 所以Sam=S.ap+S.oe-S4o=-)r 9+81， 。n2+2n=1（n-☒ 2 2 2 8 当m-号。Sm们龄大植为： (3)设D点的坐标为化，-+21+3)，过D作对称轴的垂线，垂足为G,则 3 DG=1-3cG=6-(+2+)-a+3,在C0中，cG=50G,所以 5-引--21+3，求出D0+35,-),所以4G=3.GD=35,连接4D,在 RtAADG中，AD=AC=6,∠CAD=120°，在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为 Q点，此时，∠C0D=)∠CAD=60°，设Q0,m,40为圆A的半径， 2 AQ2=0A2+Q02=9+m2=36,求出m=3√5或m=-3V5,即可求Q. 【详解】(1)抛物线顶点坐标为C(3,6), :.可设抛物线解析式为y=a(x-3)2+6, 将80,3)代入可得a=亏” 1 y=写+2x+3: (2)连接P0, B 图① 由题意，BO=3,AO=3, 1 设P(n,-n2+2n+3), 3 S.ABP=S.B0p+S.40P-S.40 3 S.aPo=2, S.m=-n+3n+ 1 9 9 S. 91 9+81, 8 .当n= 时，5m的做大值为是 3)存在，设D点的坐标为G,+21+3 过D作对称轴的垂线，垂足为G, B G 图② 则0G=1-3CG=6-(+2+) 2-2t+3, 3 :∠ACD=30°， :.2DG=DC, 在Rt△CGD中，CG=V3DG, 50-3)=-21+3 t=3+35或1=3（舍） D3+3V3,-3), ∴AG=3,GD=3V5, 连接AD,在Rt&ADG中， AD=AG2+GD2=6, .AD=AC=6,∠CAD=120°， 在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点， 此时，∠CQD=∠CAD=60°， 设Q(0,m),AQ为圆A的半径， AQ2=0A2+Q02=9+m2, :.A02=AC2, .9+m2=36, .m=3√5或m=-3√5， 综上所述：Q点坐标为(0,3√5)或(0，-35)， 【点晴】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角 形和圆的知识综合解题是关键. 【变式1-1】已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于点A(-1,0),B(-4,0)),与y轴相交于点 C 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： 1,点P是抛物线的对称轴1上的一个动点，当PAC的周长最小时，求S B购图2，取线段0C的中点D,在拖物线上是否存在点Q,使am∠QD8-)？若有在，直 接写出Q点坐标. 【答案】(1)y=-x2-5x-4 D 【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可： (2)根据△PAC的周长等于PA+PC+AC,以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时， △PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A,B关于对称轴对称，则： PA+PC=PB+PC≥BC,得到当P,B,C三点共线时，PA+PC=BC,进而求出P点坐标，即 可得解； (3》求出D点坐标为0,2进面得到an∠0BD=得到∠ODB=∠0BD,分点0在D点上 方和下方，两种情况进行讨论求解即可 【详解】(1)：抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于点A(-1,0),B(-4,0), a-b-4=0 16a-4b-4=0’ a=-1 解得： b=-5” .抛物线解析式为y=-x5x-4; (2)在y=-xC5x-4,当x=0时，y=4, .C(0,4), :抛物线解析式为y=-x2-5x-4, “抛物线的对称轴为直线=-)， :△PAC的周长等于PA+PC+AC,AC为定长， .当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小， A,B关于对称轴对称， BA=PB, :PA+PC=PB+PC BC, :当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交 点， 设直线BC的解析式为：y=mx+n, -4m+n=0 n=-4’ 6 m=-1 解得： n=-4’ 直线BC的解析式为y=-x-4, 当x=-时，y=-x-4=-4=-3 2 2 引 5.oc=2x1x4=2, S0c=5159 28 S.PAC 4 (3)当0点在D点下方时： 过点D作DQ川OB,交抛物线于点Q,则∠QDB=∠OBD,此时Q点纵坐标为-2， B O2 D 设Q点横坐标为t, 则：-12-51-4=-2，解得：1=5±17 -5+17 g,-2或0 ②当点Q在D点上方时：设DQ与x轴交于点E, B 六DE=BE, D 设E(p,0), 7 DE2=0E2+0D2=p2+4,BE2=(-4-p)2, ∴p2+4=(-4-p)2, 解得：p=2 3 同理可得DE的解析式为y=-?r-2, 3t2 联立 y=- y=x2-5x+4 x=- 2 解得： x=-3 或 3 y=2 ys 10 9 综上： -5+7 ,-2或g 或(-32或0-9 210 2 【点晴】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类 讨论的思想进行求解，是解题的关键本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题， 【变式1-2】如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A1,0),B(-3,0 两点，交y轴于点C(0,3,点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC 于点F,交抛物线于点E. B M OA 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)当线段EF长度最大时，求M点的坐标； (3)如图2，是否存在点E,使得tan∠FCE=3,若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明 理由 【答案】(1)y=-x2-2x+3: M点坐标为0小： B存在，点E的坐标为24) 315Y 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形三边关系，锐角三 角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度， (1)用待定系数法可得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； (2)求出直线BC的解析式为y=x+3,设M(m,0),则E(m,-m2-2m+3,F(m,m+3), 具中-33m≤0，可得EPm十+}，根据二次函数性质即可求解 (3)过E作EH⊥BC于H,设E(x,-x2-2x+3,则F(x,x+3),其中-3≤x≤0，求出 EF=-x2-2x+3-(x+3=-x2-3x,CF=-√2x,可证明△EFH是等腰直角三角形，故 EH=FH=-22_32x,CH=CF-FH=5x+5x,由an∠FCE=3,列式计算可 2 2 2 得答案。 【详解】(1)解：把A1,0),B(-3,0),C(0,3代入y=ax2+br+c得： a+b+c=0 9a-3b+c=0, c=3 a=-1 解得b=-2 c=3 :抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)解：由B(-3,0),C(0,3)可得直线BC的解析式为y=x+3, 设M(m,0),则E(m,-m2-2m+3,F(m,m+3),其中-3≤m≤0， :EF=-m2-2m+3-(m+3) 9 32, m+ 2 +4 -1<0, .当m=- 取最大位？。 当线段EF长度最大时，M点的坐标为-)0 (3)解：存在点E,使得tan∠FCE=3,理由如下： 过E作EH⊥BC于H,如图： B M 设E(x,-x2-2x+3,则F(x,x+3,其中-3≤x≤0， EF=-x2-2x+3-(x+3=-x2-3x, C(0,3, ·CF=Vx2+(x+3-3)2=-√2x, B(-3,0),C(0,3, .0B=0C, .∠0BC=∠0CB=45°， ”EM⊥AB, .∠BFM=45°=∠EFH, :EH⊥BC, ,△EFH是等腰直角三角形， EH=FH-E==3x-2x23 -x, √2√2 2 2 10