专题13成都2026年中考题型专项复习-二次函数四边形存在性问题B25

二次函数中四边形存在性问题 目录 典例详解 1 类型一、平行四边形存在性问题 1 类型二、菱形存在性问题 8 类型三、矩形存在性问题 16 类型四、正方形存在性问题 24 题型专练 39 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 例1抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用． （1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式； （2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积； （3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令,则， 令，则， 解得， ∴，，， 假设直线的表达式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 当斜边最大时，的面积最大， 假设，， 求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值， ， 是等腰直角三角形， ， ∴的面积为； （3）解：分两种情况讨论， ①当为平行四边形的边时，则有，且， 如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中，， ， ， 点到对称轴的距离为3， 又， 抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得：或， 当时，代入，得：， 当时，代入，， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， 如图，设的中点为， ，， ， 点在对称轴上， 点的横坐标为，设点的横坐标为， 根据中点公式得：， ，此时， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求一次函数的解析式、二次函数综合—线段周长问题、二次函数综合—特殊的四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式1-2】如图，抛物线（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点D的坐标； (3)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或 (3)面积的最大值为2，此时P点坐标为 【分析】（1）先根据，求出B点坐标，再根据A、B点坐标代入求解； （2）先求出点C的坐标，进而求出，求出直线的解析式，由平行四边形的性质可得，设点D的坐标为，则点P的坐标为，即可得到，即可求出答案； （3）过Q作轴于E，过C作轴于F，设，则，，求出，证明，，可求，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，， ∴， 将代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y＝kx+b1， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设点D的坐标为，则点P的坐标为， ∴， ∴， ∴或（舍去），解得：， ∴点D的坐标为或； （3）解：如图，过Q作轴于E，过C作轴于F，    设，则， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时有最大值2， ∴面积的最大值为2，此时P点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 类型二、菱形存在性问题 例2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或或或或 【分析】（1）根据直线与坐标轴的交点可得、，运用待定系数法即可求解二次函数解析式； （2）根据二次函数图象与轴的交点可求出，如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则，设点的横坐标为，则，根据相似三角形的判定和性质可得，，结合直线可用含的式子表示点，再根据，列式得，由此即可求解； （3）根据题意可得抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，可知，设，由两点之间距离公式可得，，，根据菱形的性质分类讨论：①当为菱形的边时， ；②当为菱形的边时，；③当为菱形的对角线时，；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、， ∵抛物线的图象经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，且， 解得， ∴， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点G，则， ∵点在直线上方抛物线上的动点，设点的横坐标为，则，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的横坐标为，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 解得，， 当时，；当时，， ∴，； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 在（2）的条件下，点位于对称轴左侧， ∴， ∵点是抛物线对称轴上一点， ∴设， ∵， ∴，，， ①当为菱形的边时， ，如图所示，即， ∴， ∴， ∴或； ②当为菱形的边时，，如图所示，即， ∴， ∴或， ∴或； ③当为菱形的对角线时，如图所示，，即， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，M的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，两点之间距离公式的运用，图形结合分析，分类讨论思想等知识是解题的关键． 【变式2-1】如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）将A代入即可求解； （2）根据解析式确定抛物线必过定点和，，分为①当时，②当时，两种情况分别画图求解即可； （3）求出直线的解析式，设P，Q，分为①，②，两种情况分别求解即可； 【详解】（1）解：将代入， 解得， ； （2）， 当或者时，， 无论a为何值，抛物线必过定点和， 点M和点C重合， ， ①当时，如图1，为等腰直角三角形， ， ②当时，如图2，为等腰直角三角形， ； 图1                                                  图2 （3）直线的解析式为，过点A，C， 求得直线的解析式为， 设P，Q， M，H1， ①如图3，， ， 解得， P1， 根据菱形性质，可以得出Q1， ②如图4，， ， 解得， P2， 根据菱形性质，可以得出Q2， 综上所述：点Q的坐标为或． 图3                                                        图4 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形的判定与性质等知识解题的关键是用含字母的代数式便是相关点的坐标和相关线段的长度及方程思想的应用． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧． (1)求的值及点，的坐标； (2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式； (3)当点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可求出，令，列方程即可求出点、坐标； （2）先求出四边形面积，根据，分两种情形：①当直线与边相交于点时，求出点坐标即可解决问题．②当直线与边相交于点时，同理可得点坐标，待定系数法求解析式即可求解； （3）设且过点的直线的解析式为，得到，利用方程组求出点坐标，求出直线解析式，再利用方程组求出点坐标，列出方程求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：把点代入， 得，解得， ∴， 当时，有， 解得，， ，； （2）解：抛物线的顶点为，则 如图，连接，，设直线与交于点，直线与交于点， ，，，， 直线将四边形分为面积比为的两部分时， 则， ， 、纵坐标为， 设直线的解析式为，直线的解析式为 ，，，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， ∴令，解得：，∴, 令，解得：，∴, 设直线的解析式为，直线的解析式为 ，， ∴， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为 （3）存在．理由如下： 如图，设、且过点的直线的解析式为， ， ， ． 由， ∴， ，， 点是线段的中点， 点， 假设存在这样的点，直线，设直线的解析式为， 由，解得：，， ， 当四边形是菱形时， ， ∵，，， ， 解得， ， ， ，， ∴直线的解析式为， ， 解得：，； ， ∵，，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 以为对角线的四边形为菱形时，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用参数解决问题，用方程的思想思考问题． 类型三、矩形存在性问题 例3抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点.    (1)求抛物线的表达式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标，此时四边形的最大面积是多少； (3)点E在直线上，点F在平面内，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点F的坐标. 【答案】(1) (2)；四边形的最大面积是 (3) 或 或 或 【分析】（1）抛物线经过点，，代入即可求出解析式； （2）由（1）知，令，可求出点， 连接， 设：，，当时，即时四边形的面积有最大值，同时可求出最大面积． （3）若以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，则为直角三角形，所以分三种情况讨论，当时，；当时，；当时，，分别根据式子即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：由（1）知，令，则， ∴，， ∴， 连接， 设：，   ∴， ， ， ， ， ， ∴当时，即时四边形的面积有最大值． （3）解：设，连接，   ∵，， ∴，，， 若以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，则为直角三角形，设, 当时，， ∴， ∴， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴， 当时，， ∴， ∴或， 此时与为对角线， ∴，解之得，则， ∴或， 综上所述：当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，点F的坐标为 或 或 或 ． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的最大、最小值的性质，四边形的性质，利用直角三角形的判定以及分类讨论思想是解此题的关键． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点． ①点F在抛物线的对称轴上，且EFx轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标； ②点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①（5，8）或；②（2，-1）． 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，由y=-x+3可以得到A、B的坐标，由抛物线经过A、B及抛物线对称轴为x=2可以得到关于a、b、c的方程组，解方程组得到a、b、c的值后可以得到答案； （2）①由题意可得三角形ABD是直角三角形，所以如果三角形DEF与△ABD相似，则有或 ，从而得到E点坐标； ②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形． 【详解】解：（1）在y=-x+3中令x=0得到y=3，令y=0得到x=3， ∴A、B坐标分别为（0，3）、（3，0）， 设抛物线的函数表达式为， 则由题意可得：， ∴， ∴所求抛物线的函数表达式为； （2）①如图，可设E点坐标为，所以F点坐标为 ，由（1）可得D坐标为（2，-1）， ∴， ∴ ∴△ABD为以AD为斜边的直角三角形，所以由题意可分两种情况： a、△DFE∽△ABD，则，即 ， 解之得x=5或x=2（不合题意，舍去）， ∴E点坐标为即（5，8）； b、△EFD∽△ABD，则，即 ， 解之得：或x=2（不合题意，舍去）， ∴E点坐标为即 ， 综上所述，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，则点E的坐标为（5，8）或； ②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即E点坐标为（2，-1）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【变式3-2】如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E． （1）求此拋物线的解析式． （2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值． （3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）存在，或或． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）可求出直线AB的解析式，进而求得E点的坐标，表示出DE，然后利用三角形面积公式可求得△ABD的面积； （3）当△ABM为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分三种情况分别讨论可求得N点坐标． 【详解】（1）∵抛物线过点和点， ∴， 解得， ∴此抛物线的解析式为． （2）∵， ∴顶点C的坐标为， ∵点D在抛物线上A，C两点之间，点D的横坐标为m， ∴， 由点和点得出直线AB的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当m的值为时，S有最大值． （3）∵以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形， 为直角三角形， ①当，则M在y轴上时，过点B作轴，轴，交于Q点，如图1， 由点和点可知，，， 则有∽， ∴，即，解得， ∵≌， ∴，， ∴， ②当，则M在x轴上时，作轴于H，轴于G，如图2， 由点和点可知，， 则有∽， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴G，H重合， ∴， ∴， ③当时，则M只能在y轴上，作轴于P，轴于Q，如图3， ∵， ∴， 而，， ∴， 在与中， ∴≌（） ∴，， ∵直线AB的解析式为， ∴直线AM的解析式为， ∴， ∴， ∴， 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、相似三角形的性质等．在（2）中求得E坐标是解题的关键，在（3）中确定出M点的坐标是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较基础，难度适中． 类型四、正方形存在性问题 例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式4-1】如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，此时面积的最大值为； (3)点Q的坐标、、、． 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于，则，设点的横坐标为，分别表示出和，然后用含的解析式表示出，求这个一元二次解析式的最值，即可求解； （3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵经过点，点 ∴，解得 ∴抛物线的函数解析式为：． （2）解：设直线BC的解析式为，将，点代入得其解析式得， 解得 ∴直线BC的解析式为． 作交于E，如图， 设点D的横坐标为t，则， ∴ 所以当时，的面积最大值．此时，面积的最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为， 若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且， 设点D的横坐标为n，则 ①如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N， 则，，， ∴， ∴， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，如图，此时由正方形性质可得： ，则或，则； 当时，则． ②如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N，同理可证，≌， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，同上； 当时，，则； 综上，点Q的坐标、、、． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定的与性质、矩形的性质、二次函数的图像和性质等知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 【变式4-2】如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 题型专练 1. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)13.5 (3)存在，，或 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）过点作轴分别交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （3）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1所示，过点作，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （3）存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2. 如图，直线分别交轴于点，经过点的抛物线与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线的对称轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，有最大值为，点坐标为 (3) 【分析】（1）求出点，用待定系数法把点分别代入中，可得抛物线得函数关系； （2 ）过点作轴的平行线，分别交直线于，证明 ，根据相似三角形的性质得，设，则得到利用二次函数最值，当时，有最大值，即可求解； (3)分两种情况：①BC为平行四边形的边时，②BC为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）（1）∵直线分别交轴于点， ∴点， 把点分别代入中， 得： 解得： ∴抛物线得函数关系为； （2） 过点作轴的平行线，分别交直线于，则， ∵与轴的另一交点为， ∴， 令中，则， ∴点坐标为， ∴， 由，可得， ∴， 设，则 ∴ ∴当时，有最大值为， 此时 ∴点坐标为． （3）①BC为平行四边形的边时，如图， 当四边形CBFG是平行四边形时， ∴CG//BF， CG = BF， ∵点G在抛物线y= -x2 + 2x + 3的对称轴上， ∴对称轴为x=-一=1， ∵C(0，3)， ∴G(1，3)， ∴BF=CG=1， ∵B(3， 0)， ∴点F的坐标为(4， 0)； 当四边形CBG' F'是平行四边形时， ∴CB//G'F'， CB= G' F' ∴点G在抛物线y= - -x2 + 2x + 3的对称轴上， ∴对称轴为x = -= 1， ∵ C (0，3)，B(3， 0)， ∴点F的坐标为(-2， 0)； ②BC为平行四边形的对角线时，如图， ∵四边形CFBG是平行四边形， ∴CG//BF，CG=BF， ∵点G在抛物线y =- x2+2x十3的对称轴上， ∴对称轴为x == 1， ∵ C(0，3)， ∴ G(1，3)， ∴BF=CG=1， ∵B(3，0)， ∴点F的坐标为(2， 0)； 综上，点F的坐标为(4， 0)或(-2， 0)或(2，0)． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在x轴上求作一点D，使有最小值，求出此时的度数和点D的坐标； (3)M为线段中点，E为抛物线上一点，将点E绕者点M旋转后得点N，当四边形为菱形时，求N点坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）先按抛物线与x轴的交点坐标设出抛物线的解析式为，代入点A和点B的坐标，即可得出结论； （2）过点B作∠ABE＝45°，交y轴负半轴于点E，过点C作CM⊥BE于点M，交x轴于点D，易证，，所以当M，D，C三点共线时，CD＋DM有最小值，即有最小值，求出CD＋DM的最小值即可； （3）先求出点M的坐标，设点E的坐标为，由四边形BECN为菱形，可得EN⊥BC且直线EN过点M，M为EN的中点，用m表示出点N的坐标，根据NB=EB，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：令抛物线的解析式为： ∵图像与x轴交于点，， ∴ （2）过点B作，交y轴负半轴于点E，过点C作于点M，交x轴于点D，如图所示： ∵在中，， ∴，， 当M，D，C三点共线时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴在Rt中， ∵， ， ∵ ∴∠MCE=90°-∠MEC=45°，   ∵∠COD=90°， ∴∠CDO=90°-∠DCO=45°， ∴∠CDO=∠DCO， ∴OD=OC， ∵， ∴OD=， ∴． （3）∵，， ∴线段中点M坐标， ∵四边形为菱形时，且直线过M点， ∴点M为EN的中点， 设点E的坐标为，点N的坐标为， ，， 解得：，， ∵四边形为菱形时，NB=EB， ∴， ， 整理得：， 解得：，， ∴，， 则，． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质与判定，菱形的判定和性质，构造45°角，将的最小值问题转化为CD＋DM的最小值问题是解本题的关键． 4. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，B(4，0) (2)2，(2，3) (3) 或或或 【分析】（1）运用待定系数法将点A，C的坐标代入求出抛物线解析式，再根据点B在x轴上，令y=0，即可求出点B的坐标； （2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，根据平行线截线段成比例可得，由于CD=1，即可将求的最大值转化为求EG的最大值，应用两点间距离公式即可； （3）设M(n，n+1)，用含m的代数式表示出BD，DM，BM，再根据以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形分两种情况：以BD为边，BD=DM或BD=BM；以BD为对角线；分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：设B，将A(-1，0)，C(0，2)代入中， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵点B在x轴上 ∴ 将代入得 ∴(不合题意，舍去) ∴B(4，0) （2）由题意得，点E在y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，如图 ∴CDEG ∴ ∵直线y=kx+1与y轴交于点D ∴D(0，1) ∴CD=2-1=1 ∴ 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0) 将B(4，0)，C(0，2)代入，得 解得 ∴设直线BC的解析式为 设点E(t，)，则G(t，)(0<t<4) ∴EG=()-()== ∴ ∵ ∴当t=2时，的值最大，最大值为2 ∴点E的坐标为(2，3) （3）设直线DE的解析式为y=kx+B，将D(0，1)，E(2，3)代入，得 解得 ∴直线DE的解析式为y=x+1 设M(n，n+1) ∴ ∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形 ∴分两种情况：BD为边和BD为对角线 ①BD为边 MN=DM=BD(如图1)或MN=BM=BD(如图2) ∴ 或 即 或 解得(舍去) ∴ 或或 ②BD为对角线，如图3 设BD的中点为Q，则Q(2，) ∵四边形BMDN是菱形 ∴MN⊥BD，QB=QD= ∴ 即 解得 ∴ 综上所求，点M的坐标为 或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，菱形性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键． 5. 如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 6. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 7. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，设，表示出点坐标，再利用列式求解； （3）利用先探究是等腰直角三角形，再确定点的方法，分三种：①过点作交坐标轴于点；②过点作交坐标轴于点；③作的垂直平分线交坐标轴于点．本题利用此方法，再结合是等腰直角三角形即可确定． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，过点作轴，垂足为，交于点， 当时， 解得， ∴， 当时，得， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意分三种情况： ①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 此时四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 同①可得四边形是正方形，， ∴； ③如图，∵是等腰直角三角形， ∴点与点重合， ∴作点关于直线的对称点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 综上，存在，或或． 8. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标； (3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)y=﹣x2+2x+6，D（2，8） (2)点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣） (3)点Q的坐标为（2， ）或（2，） 【分析】（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可； （2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标； （3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标． 【详解】（1）解：把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6 ， ∵y=﹣x2+2x+6=-（x-2）2+8 ∴D（2，8）； （2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6）， 则FG=|﹣x2+2x+6|， ∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°， ∴△FBG∽△BDE， ∴， ∵B（6，0），D（2，8）， ∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6， ∴BG=6﹣x， ∴ ， 当点F在x轴上方时，有， 解得x=﹣1或x=6（舍去）， 此时F点的坐标为（﹣1，）； 当点F在x轴下方时，有， 解得x=﹣3或x=6（舍去）， 此时F点的坐标为（﹣3，﹣）； 综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）； （3）解：如图2， 设对称轴MN、PQ交于点O′， ∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形， ∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上， 设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n）， ∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6 的图象上， ∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6， 解得n=或n=， ∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2， ）或（2，）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出P、Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中四边形存在性问题 目录 典例详解 1 类型一、平行四边形存在性问题 1 类型二、菱形存在性问题 8 类型三、矩形存在性问题 16 类型四、正方形存在性问题 24 题型专练 39 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 例1抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值； (3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-1】在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【变式1-2】如图，抛物线（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．    (1)求该抛物线的解析式； (2)点D是直线上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为，且四边形是平行四边形时，求点D的坐标； (3)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 类型二、菱形存在性问题 例2如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【变式2-1】如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标； (3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧． (1)求的值及点，的坐标； (2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式； (3)当点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 例3抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点.    (1)求抛物线的表达式； (2)若D是第一象限抛物线上的一个动点，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标，此时四边形的最大面积是多少； (3)点E在直线上，点F在平面内，当以点A，C，E，F为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点F的坐标. 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点． ①点F在抛物线的对称轴上，且EFx轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标； ②点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由． 【变式3-2】如图，抛物线过点和点，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线上A、C两点之间，过点D作轴，垂足为点F，DF与AB交于点E． （1）求此拋物线的解析式． （2）连接AD、BD，设的面积为S，点D的横坐标为m，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值． （3）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、正方形存在性问题 例4如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【变式4-1】如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【变式4-2】如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型专练 1. 已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线分别交轴于点，经过点的抛物线与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)若点在轴上，点在抛物线的对称轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在x轴上求作一点D，使有最小值，求出此时的度数和点D的坐标； (3)M为线段中点，E为抛物线上一点，将点E绕者点M旋转后得点N，当四边形为菱形时，求N点坐标． 4. 如图，抛物线的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)求的最大值及此时点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 6. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 7. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标； (3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $