专题03 平面向量中的最值、范围问题（含极化恒等式）（专项训练5大重点题型）高一数学人教A版必修第二册

专题03 平面向量中的最值、范围问题（含极化恒等式） 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、数量积的最值（范围）问题（常考点） 1 题型二、极化恒等式（重点） 7 题型三、模长的最值（范围）问题 10 题型四、夹角的最值（范围）问题 12 题型五、系数、参数的最值（范围）问题（难点） 15 B综合攻坚・能力跃升 22 题型一、数量积的最值（范围）问题（常考点） 1．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，建系，写出相关点的坐标，利用向量坐标的数量积运算将其化成二次函数，即可求得最值. 【详解】根据题意，以A为原点，射线AB为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 因，易推得，则，， 设，其中，则，， 于是，， 故当时，取得最小值为. 故答案为：D． 2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，，结合数量积运算性质即可求解. 【详解】过点作，垂足为， ， 又，且共线同向， 所以 故选：B 3．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】采用解析的方法，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 写出各个点的坐标，利用得到的坐标，进而求出的解析式，由此可得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D. 5．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用转化法求得数量积，即可得最值. 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 6．（24-25高一下·广东梅州·月考）在中，是边上的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由向量加法的平行四边形法则得，由向量的数量积运算得，根据即可得到的取值范围. 【详解】因为是边上的中点，所以， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一下·天津·期末）在中，，则 ；若，点E在线段BD上，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】利用数量积的定义以及运算律运算可得，根据题意设，利用向量的线性运算结合数量积的运算律可得，利用二次函数性质可求得最大值. 【详解】    如图，， 则， 解得. 设，则,， 所以 , 因为，， 所以， 又因为，所以时，为最大值. 故答案为：. 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解. 【详解】因为，可知O为的中点， 又因为O为的外接圆圆心，则， 且，，则，则， 可知为等边三角形，即， 如图，建立平面直角坐标系， 则，设， 可得， 则， 可知当时，取到最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，. 题型二、极化恒等式（重点） 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】结合向量数量积的运算律可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】 取AB的中点Q，， 因为，所以AB边上的高为，所以，从而． 故选：A 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正六边形内切圆圆心为，则，然后利用数量积的运算律及定义求解即可. 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 4．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律及正方形的性质得解. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 故答案为： 5．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数量积的定义，虽夹角不变，但长度时刻变化，导致数量积不易求，观察发现为定线段，可用极化恒等式转化． 【详解】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 题型三、模长的最值（范围）问题 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 2．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出，由整理得，由向量的数量积公式得到，即可得到最小值. 【详解】因为，，， ， 得，即， 即， 所以，即. 设与的夹角为，则，， ∴当时，最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件及不等式求最大值即可. 【详解】因为 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 5．已知且，若向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，结合余弦函数的有界性求出最大值. 【详解】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 故答案为： 题型四、夹角的最值（范围）问题 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数量积定义计算即可得到，再由向量夹角取值范围即可得解. 【详解】由题可得， 又，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 3．已知 均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式结合夹角的范围即可求解. 【详解】由得，设 即，即对任意的恒成立， 所以，解得， 又因为，所以， 故选：A. 4．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两边平方得，根据两个向量夹角的余弦公式结合均值不等式求得结果. 【详解】由，两边平方得，又， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以与夹角的余弦值的最大值为. 故选：A. 5．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，分别以，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，设，，，由题意，求出，得到，，根据向量夹角公式，求得，令，则， 得到，即可求出结果. 【详解】 由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，， 因为为的中点，为的中点，所以，，， 因此，， 所以， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，熟记向量夹角公式，以及平面向量数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 6．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 【答案】-1 【分析】先根据向量模长相关不等式得到，解出，设，，夹角为，将两边平方，得到，结合，求出，得到答案. 【详解】，故， 因为，所以，又， 所以，解得：， 不妨设，，夹角为，则， 两边平方得：， 即，解得：， 因为，所以， 故，夹角的余弦的最小值为-1. 故答案为：-1 题型五、系数、参数的最值（范围）问题（难点） 1．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件转化为数量积小于0，以及两向量不平行，列式求解. 【详解】若和的夹角为钝角，则，且不平行， 所以， 解得：， 若向量和平行，则，得， 综上可知，取值范围为. 故答案为： 2．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【详解】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，以为基底表示后可得，求出后结合可求的范围. 【详解】设，则， 故， 又，因不共线， 所以，故，所以， 因为，故， 故选：C. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】连接并延长交于点，由为的重心可得，且，将条件代入整理成，利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得答案. 【详解】    如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 5．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得当P在线段BC上运动时，B、P、C三点共线，此时有最小值，分别延迟AB、AC至，使，连接，根据三角形相似，分析可得当P位于D点时，有最大值，即可得答案. 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 6．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【详解】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可. 【详解】设，则，且， 可得， 则，可得， 即，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 因为，解得， 所以实数x的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量. 8．（23-24高一下·重庆巴南·月考）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立基底，，则，然后将设，最终表示为，然后得到，进而求出范围． 【详解】矩形中，已知分别是上的点，且满足，    设，则，， 联立，可解得， 因为点在线段上运动，则可设， ， 又，所以， ， 因为，所以． 故选：B． 1．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 2．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，从而可得，，设，根据向量的夹角公式及基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，为在方向上的投影向量， 所以， 则，， 设， 由题意可得， 则，， 则， 当且仅当，即时，取等号． 故选：C． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在利用基本不等式求夹角余弦的最小值时，对等式的适当变形. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是单位圆上两点，点为圆心，且，为圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设知点在弦上，根据极化恒等式得，结合圆的性质求的范围即可得. 【详解】如图，因为且，所以点在弦上， 由极化恒等式得， 当为的中点时，， 因为点在圆内，所以， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为不共线的单位向量，平面向量满足：，且恒成立，其中为任意实数，则与夹角的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律等价变形给定不等式，可得恒成立，进而利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】由，得 ， 依题意，对为任意实数恒成立， 则对为任意实数恒成立， 因此，解得， 而，则， 所以与夹角的最小值为. 故选：B 7．已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立坐标系，用坐标表示向量，再求出的坐标并计算的值，最后通过换元求出的取值范围即可. 【详解】，是两个相互垂直的单位向量，设， ， 又，，，， 又，， ，， ， 令，则， 又，， ， 则，其中， 又在上单调递增， 当时，取最小值，即， 又恒成立，，即. 故选：C. 8．（24-25高一·江苏·假期作业）（多选题）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C．的最大值为2 D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】选项A，延长，交的延长线于点，求出 在上的投影向量即可； 选项B，由正八边形的几何性质知，，利用向量求夹角的余弦值即可； 选项C，取中点，中点，根据，，求解即可；选项D，根据向量的线性运算可得，由于，即可求解最大，． 【详解】解：对于A,延长，交的延长线于点，则，则故， 所以 在 上的投影向量为，，选项A错误； 对于B，由正八边形的几何性质知，所以,故，所以，所以，选项B正确； 对于C，取中点，中点，则，， 所以，因为为的中点， 所以，因为是正八边形边上任意一点， 所以当点位于正八边形顶点时，最大，不妨设点与点重合， 此时， 即的最大值为，所以的最大值为，选项C正确； 对于D，，,其中， 由于, 进而可得， 所以， 由于，故，D正确． 故选：BCD． 9．（多选题）已知均为单位向量，且，则下列结论中正确的是（    ） A．若向量满足，则的最大值为 B．若向量满足，则的最大值为 C．若向量满足，则的最小值为 D．若向量满足，则与夹角的最大值为 【答案】BD 【分析】法一：利用已知求得，利用计算可判断A；法二：设，，则，可得是等边三角形，可得，可求得的最大值判断A；利用已知可得，计算可判断B；设，，，可得，可求的最小值判断C；设，，，可得，求得的最小值判断D. 【详解】选项A：解法一  因为均为单位向量，且，所以，所以，所以，所以的最大值为2，故A错误． 解法二  如图，设，，则，，，易知为等边三角形，故，则当向量与向量同向共线时，取得最大值，且最大值为2，故A错误． 选项B：由得，故，所以，所以的最大值为，B正确． 选项C：由题意可设，，，则，由得，所以，所以，所以的最小值为0，С错误． 选项D：不妨设，，，则，由得，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以与夹角的最大值为，D正确． 故选：BD. 10．（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知，，与的夹角为，求的值 ；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算性质求解；再利用向量夹角公式及共线向量定理列式求解. 【详解】依题意，， ； 由向量与的夹角是锐角， 得，且与不共线， 即，且， 整理得，且，解得且 所以实数的取值范围为. 故答案为：； 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .    【答案】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解 【详解】在中，，且，则， 可得 ， 又，，所以，， 可得. 因为D，E，F三点共线，且点A在线外，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知向量，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律得到，最后根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 又，所以， 所以当，即时，取得最大值且. 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 7 8 【分析】利用向量的线性运算可得，即动点到定直线的距离恒为，再利用极化恒等式即可求解，利用中线向量即可求解. 【详解】    设直线上有一动点，满足，则， 由此可得点到直线的距离为， 再由极化恒等式，取中点为，可得，此时如图：，    则， 故答案为：①,② 14．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合数量积的性质求出的范围即可求解. 【详解】由，得， 整理得，则 ，当且仅当与同向时取等号，解得， 因此， 所以的最大值是. 故答案为： 15．如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 16．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意作图，利用平面向量基本定理，结合相似三角形线段长成比例，计算求解. 【详解】 如图，取中点，连接交于，过作，交的延长线于， 过作，交的延长线于， 则， 易知，则，所以， 设，因为三点共线，所以， 设，则，即， 当点在内（含边界）时，在线段上（含端点）， 所以， 由，，可得. 则的取值范围是. 故答案为：. 17．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 18．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 19．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 20．（24-25高一下·安徽滁州·月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得向量的模长，根据数量积的运算律，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由，，则，， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 由图易知，所以. 故答案为：. 21．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到，数形结合得到当为中点时，取得最小值，此时，结合若与或重合，此时取得最大值，，从而得到的取值范围. 【详解】连接， 因为M为的中点，且，所以， 则，， 两式平方相加得， 故， 因为，所以为等边三角形， 当为中点时，取得最小值，最小值为， 故， 若与或重合，此时取得最大值，最大值为1， 此时， 又点N在线段（端点除外）上运动，故的取值范围为. 故答案为： 22．起点重合，，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． 23．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则 ，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：，． 24．（24-25高一下·浙江·期中）如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点E在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由投影向量的计算公式得到，再由向量数量积的运算率求解即可. 【详解】设，则 ， 为在方向上的投影向量， 所以， 所以 ， 由，可知当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的取值范围是， 故答案为： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量中的最值、范围问题（含极化恒等式） 目录 A题型建模・专项突破 1 题型一、数量积的最值（范围）问题（常考点） 1 题型二、极化恒等式（重点） 2 题型三、模长的最值（范围）问题 3 题型四、夹角的最值（范围）问题 4 题型五、系数、参数的最值（范围）问题（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 6 题型一、数量积的最值（范围）问题（常考点） 1．（24-25高一下·重庆·期末）在等腰梯形中，，，P是底边上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，正方形的边长为1，为的边上一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 5．（24-25高一下·辽宁·期中）如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东梅州·月考）在中，是边上的中点，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一下·天津·期末）在中，，则 ；若，点E在线段BD上，则的最大值为 ． 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是 . 题型二、极化恒等式（重点） 1．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高一下·河北邢台·期中）在菱形ABCD中，，点P在线段CD上，则的最小值是（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 题型三、模长的最值（范围）问题 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．平面向量，满足，，，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期末）已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 4．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 5．已知且，若向量满足，则的最大值是 . 题型四、夹角的最值（范围）问题 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知 均为单位向量，若对任意的恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．平面向量，满足，且，则与夹角的余弦值的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．在中，D，E分别是边AC，AB的中点，若，则的最小值为 . 6．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 题型五、系数、参数的最值（范围）问题（难点） 1．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量与的夹角为钝角．则实数的取值范围为 ． 2．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在四边形中，，，为线段上一个动点（含端点），，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 5．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·重庆巴南·月考）在矩形中，已知分别是上的点，且满足．若点在线段上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·湖南长沙·月考）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 2．（24-25高一下·河南信阳·期末）已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是单位圆上两点，点为圆心，且，为圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知为不共线的单位向量，平面向量满足：，且恒成立，其中为任意实数，则与夹角的最小值为（    ）． A． B． C． D． 7．已知平面向量，，满足：①，是两个相互垂直的单位向量；②.若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一·江苏·假期作业）（多选题）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C．的最大值为2 D．若在线段上（含端点），且，则的取值范围为 9．（多选题）已知均为单位向量，且，则下列结论中正确的是（    ） A．若向量满足，则的最大值为 B．若向量满足，则的最大值为 C．若向量满足，则的最小值为 D．若向量满足，则与夹角的最大值为 10．（23-24高一下·天津滨海新·期中）已知，，与的夹角为，求的值 ；若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围 ． 11．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .    12．（24-25高一下·山东枣庄·月考）已知向量，，则的最大值为 ． 13．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知，平面上动点满足对任意恒成立，则的最小值为 ，此时 . 14．（24-25高一下·四川成都·月考）已知平面向量，满足，且，则的最大值是 . 15．如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    16．设长方形的边长分别是，点是内（含边界）的动点，设，则的取值范围是 17．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是 ． 18．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 19．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 20．（24-25高一下·安徽滁州·月考）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是 . 21．（24-25高一下·天津武清·月考）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 22．起点重合，，则的取值范围为 23．（24-25高一下·天津滨海新·期中）在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则 ，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为 . 24．（24-25高一下·浙江·期中）如图1，“折扇”又名“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子，其平面图是如图2的扇形，其中，，点E在弧上运动（包括端点），记在方向上的投影向量为，则的取值范围是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $