专题06成都2026年中考题型专项复习-一次函数与反比例函数三角形存在性问题

一次函数与反比例函数三角形问题 目录 典例详解 1 类型一、三角形面积问题 1 类型二、等腰三角形存在性问题 6 类型三、直角三角形存在性问题 13 类型四、等腰直角三角形存在性问题 18 类型五、相似三角形存在性问题 26 题型专练 33 典例详解 类型一、三角形面积问题 例1如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 【变式1-1】如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据一次函数解析式求出点B坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点A和点C坐标，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或， ∴点P的坐标为或． 【变式1-2】如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识． （1）设与轴交于点．是点关于轴的对称点，的面积是4，则．得到．又．则．即可得到反比例函数的解析式； （2）依次求出、、，过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点，则．求出直线解析式为．由可设直线的解析式为，将代入上式，得到，解得．即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点． ∵是点关于轴的对称点，的面积是4， ∴． ∴，即． 又． ∴． ∴反比例函数的解析式． （2）∵点的横坐标为1， 当时，， ∴． 由点与点关于轴对称得． 由题可得，点与点关于原点对称， ∴， 过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点， ∴． 设直线的解析式为． 将代入上式，得， ∴直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为， 将代入上式，得到， 解得． ∴直线的解析式为． 类型二、等腰三角形存在性问题 例2如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，继而求出直线与轴的交点坐标，根据代入数据计算即可； （3）分四种情况讨论，分别求出满足条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； （3） 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点，， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 【变式2-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 【变式2-2】已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）分两种情况：以为腰和以为底边，分别进行解答即可． 【详解】（1）将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； ∵在的图象上， ∴， 将、坐标代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）由函数图象可知： 当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）①当以为腰时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为，或； ②当以为底边时， 如图，过点A作轴于点D，连接， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵此时点P在x轴负半轴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、一次函数图象的性质，涉及到反比例函数性质，等腰三角形的判定及其性质、勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论的数学思想． 类型三、直角三角形存在性问题 例3如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)的值为或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的解析式求解，函数值大小的数形结合分析，直角三角形存在性的几何模型应用，利用“一线三垂直”模型构造相似三角形是解题关键． （1）直接代入点坐标求反比例函数的，再代入点求出其坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据函数图像的交点，划分区间，观察“一次函数图像在反比例函数图像上方”的区域，需要注意反比例函数的定义域限制； （3）用“一线三垂直”模型将转化为相似三角形的条件，通过相似比设未知数表示点坐标，再结合反比例函数的解析式列方程求解． 【详解】（1）解：把代入中，可得， 故反比例函数为， 将代入中，得， 则点坐标为， 把和代入中， 可得：， 解得：， 故一次函数的表达式为． 答：，． （2）解：由图像以及，可得：或． （3）解：过作轴的垂线，过和分别作直线的垂线，垂足分别为和． ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 则， 把代入中， 可得，解得：（不合题意，舍去），， 故的坐标为． 答：存在，． 【变式3-2】如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； （3）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 类型四、等腰直角三角形存在性问题 例4已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点代入一次函数的解析式求出，待定系数法求出的值 即可； （2）作轴，轴，于点，证明，进而求出点坐标即可； （3）平移得到，直线与反比例函数的交点即为点，求出直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， ∴； 故； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴，过点作轴，则：轴，，， ∴， ∵， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵将沿直线平移， ∴， ∴设的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴， 由（1）可知：反比例函数的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴ 【变式4-1】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【变式4-2】如图，直线与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴交于点M、N，已知点A的横坐标为1． (1)求直线的解析式及点B的坐标； (2)求证：； (3)以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题关键． （1）把代入，求出点A的坐标，从而求出直线的解析式，再联立两函数解析式，可求出点B的坐标； （2）求出点，可得到，，即可求证； （3）设点C的坐标为，根据是等腰直角三角形，可得，从而得到关于m，n的方程组，求出m，n，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点A的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 联立得：， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：对于， 当时，， 当时，， 解得：， ∴点， ∵，， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：设点C的坐标为， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为， 设点C所在的反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴点C所在的反比例函数解析式为． 类型五、相似三角形存在性问题 例5直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图像上取一点C，连接，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； (3)在（2）的基础下，设直线对应的一次函数为，结合图像直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）在中，当时，，即可得出点的坐标，当时，，解得，即可得出点的坐标； （2）由相似三角形的性质可得，再结合一次函数的性质可得直线的表达式为，设点，求出，从而可得，求出，即，再利用待定系数法求解即可； （3）根据（2）得出，又因为，故运用数形结合思想得，即可作答． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵直线分别交x轴，y轴于A，B两点． ∴直线的表达式为， 设点， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，且相似比为2， ∴， ∵， ∴， 即， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴； （3）解：由（2）得，， 如图所示： ∵直线对应的一次函数为， ∴当时，则． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质，勾股定理，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式5-2】如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； （2）解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； （3）解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 题型专练 1. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与双曲线交点的横坐标，再由函数图象即可求解． （3）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 2. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，根据图象即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：把点代入中得：， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴点， 由图象可知，当时，或； （3）解：∵点， ∴， 当时，如图： ∴点的坐标为或， 当时，作轴于点，则，如图： ∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，作轴于点，则，如图： ∵，， ∴点是的中点， ∵点， ∴点，即， 设点，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴点， 综上，点的坐标为或或或． 3. 如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，也考查了利用轴对称求最短路径，勾股定理等知识； （1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k和的值； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解； （3）利用坐标两点距离公式，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 4. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在，或或或 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）图象法求出不等式的解集即可； （4）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵都在一次函数的图像上, ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：设直线与y轴交于点C， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可知：的解集为：或； （4）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时，， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 5. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 6. 已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）由A点坐标可求得k的值，把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m的值； （2）结合图象可知所求不等式即为直线在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围，结合A、B坐标可求得答案； （3）可设C点坐标为，由A、B两点坐标，则可表示出的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得到关于x的方程，可得结论． 【详解】（1）解：∵双曲线过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象过点B， ∴； （2）解：当时，即直线在反比例函数图象的上方时所对应的自变量的取值范围， ∵， ∴当且时，自变量的取值范围为； （3）解：存在． 设C点坐标为， ∴，，， ∵为等腰直角三角形， ∴或三种情况， ①当时，则有，即，解得， 但此时，即，故不符合题意； ②当时，则有，即，解得或， 当时，，即，故符合题意； 当时，，即，故不符合题意； ∴； ③当时，则有，即，解得， 此时，即，故不符合题意； 综上可知存在满足条件的点C，其坐标为． 【点睛】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象点的坐标特征、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想、数形结合思想及分类讨论思想等知识 7. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝ (2) (3)存在，点E的横坐标或 【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积； （3）先求出点D坐标，再算出面积，设点，根据列出方程，求出点E坐标即可． 【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，，即， 把代入表达式， ∴， ∴一次函数解析式为． 将代入，得， ∴． 将点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）将代入，得， ∴点D的坐标是， ∴． 将代入，得， 解得，． 当时，， ∴点A的坐标是， ∵点B的纵坐标为3， ∴． （3）在直线中，当时，， ∴ 根据题意可知， 设点， ， 解得或， ∴点E的横坐标或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键． 8. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)在x轴上是否存在一点E，使得以C、A、E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）根据（1）所求可求出点C和点D的坐标，则可证明是等腰直角三角形；进而可证明也是等腰直角三角形；再分点A为直角顶点，点E为直角顶点两种情况（可证明点C不能是直角顶点），讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； 把代入得，解得， ∴， 把，代入得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可知当时，x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ∵以C、A、E为顶点的三角形与相似， ∴也是等腰直角三角形； 设， ∴，，， 当点A为直角顶点时，则，即，且 ∴ 解得， ∴点E的坐标为； 当点E为直角顶点时，则，即轴， ∴， ∴此时，即此时是等腰直角三角形，满足题意； ∵点E在x轴上，且与x轴不垂直， ∴点C不能为直角顶点； 综上所述，点E的坐标为或． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点．    (1)求k和b的值； (2)求点A的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，解方程即可得出结论； （2）联立一次函数与反比例函数可得解方程组，解之即可求得点的坐标； （3）由题意可得，，设，可知，当点在点上方时为钝角，显然不符合题意，则点在点下方，可知，根据图形可知，需要分两种情况，①当时，，②当时，，分别求解可得出结论． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点， ∴，解得：， ∴，； （2）由（1）知一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 解方程组，解得：，， ∴点的坐标为； （3）∵∵一次函数与轴，轴交于，两点， ∴当时，，当时，，即：，， ∴，， 设， ∵，当点在点上方时为钝角，显然不符合题意， 则点在点下方，可知， ①当时，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为；    ②当时，， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴点的坐标为；    综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与反比例函数三角形问题 目录 典例详解 1 类型一、三角形面积问题 1 类型二、等腰三角形存在性问题 6 类型三、直角三角形存在性问题 13 类型四、等腰直角三角形存在性问题 18 类型五、相似三角形存在性问题 26 题型专练 33 典例详解 类型一、三角形面积问题 例1如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【变式1-1】如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若为轴上一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【变式1-2】如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 类型二、等腰三角形存在性问题 例2如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【变式2-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2-2】已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 类型三、直角三角形存在性问题 例3如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式． (2)结合图形，请直接写出不等式的解集． (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 类型四、等腰直角三角形存在性问题 例4已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)以为斜边在直线的下方作等腰直角三角形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在反比例函数的图象上时，求的坐标． 【变式4-1】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【变式4-2】如图，直线与双曲线相交于点A、B，与x轴、y轴交于点M、N，已知点A的横坐标为1． (1)求直线的解析式及点B的坐标； (2)求证：； (3)以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式． 类型五、相似三角形存在性问题 例5直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图像上取一点C，连接，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； (3)在（2）的基础下，设直线对应的一次函数为，结合图像直接写出当时，x的取值范围． 【变式5-2】如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； (3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型专练 1. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 2. 如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 3. 如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 4. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 5. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 6. 已知：如图，直线与双曲线相交于点和点． (1)求k和m的值． (2)根据图象直接写出当且时，自变量x的取值范围． (3)请问在x轴上是否存在点C，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 7. 如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标． 8. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围； (3)在x轴上是否存在一点E，使得以C、A、E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点．    (1)求k和b的值； (2)求点A的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $