第04讲 一元一次不等式组（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 一元一次不等式组（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组的定义 1. 定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组 . 2. 表示方式 不等式组可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2<ax+b<x+ 的方式表示 . 【知识点02】一元一次不等式组的解集 1. 定义 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由这几个不等式组成的一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) x>a x>b  x<a x<b  x>a x<b  x<a x>b  不等式组 的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 不等式组的解集在数轴上的表示 【知识点03】解一元一次不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点04】一元一次不等式组的应用 基本步骤： 审→设→列→解→验→答(与列一元一次不等式相同) . (1)审： 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设： 恰当地设未知数； (3)列： 依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解： 解不等式组，求出解集； (5)验： 检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答： 写出答案 . 【题型一】求不等式组的解集 例1．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出是解题的关键．先解二元一次方程组求出，再根据得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解： 用得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知为正实数，，则的取值范围是 ，的取值范围是 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，理解题意并列出正确的不等式组是解题的关键．由得，再根据为正实数列得关于的不等式组，解得的取值范围即可；再将代入中并整理，然后结合的取值范围得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ， 为正实数， ， 解得：， ， ， 整理得：， 则， 那么， 解得：， 故答案为：；． 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 【题型二】求一元一次不等式组的整数解 例2．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解不等式组，它的整数解为 ． 【答案】， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得整数解． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为：，， 故答案为：，． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 【答案】，此不等式组的所有整数解有1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，求出每个不等式的解集，写出公共部分，并写出解集中的整数解即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴此不等式组的所有整数解有1，2． 【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数 例3．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法． 先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得到关于m的不等式求解． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得：， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知不等式的解都是不等式的解，则的取值范围 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解，然后根据“同大取大”即可得出的取值范围，分别求出两个不等式的解集，再列出关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵不等式的解都是不等式的解， ， ∴ 解得：， 故答案为：． 变式2．若不等式组的解集是，求的值． 【答案】1 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意，得解得 ∴． 【题型四】由不等式组解集的情况求参数 例4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了不等式组的无解问题，根据大大小小找不到（无解）的口诀进行求解即可． 【详解】解：， 即， ∵不等式组无解， ， 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．先解不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组有解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：对不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵原不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，求，的值． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、加减消元法 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和二元一次方程组，熟练掌握不等式组的解法是关键． 先求出含参不等式组的解集，与所给的解集对照，即可列出满足条件的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：解不等式组 得 ∵不等式组的解集为， 解得 【题型五】不等式组和方程组结合的问题 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 变式1．已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了方程组和不等式组相结合的问题，把方程组中的两个方程相减可得，则可得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵方程组的解满足， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．已知关于、的方程组的解为非负数， (1)用含的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围，并化简式子． 【答案】(1) (2) 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的消元解法、一元一次不等式组的求解步骤和绝对值的性质是解题的关键． （1）对于用含的代数式表示方程组的解，思路是通过解二元一次方程组的常规方法，比如加减消元法，消去其中一个未知数，求出另一个未知数用表示的式子，再代入求出另一个未知数． （2）先根据方程组的解为非负数，得到关于的不等式组，解出的取值范围，再根据的范围化简绝对值式子，依据是绝对值的性质：当时，；当时， ． 【详解】（1）解： 得： 把代入得： ∴方程组的解为 （2）解：∵方程组的解为非负数， ∴，即 解得： 解得： ∴的取值范围是． 当时， ， ∴ 【题型六】列一元一次不等式组 例6．（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组、列代数式 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．根据题意用表示出，即代入，即可判断A，进而得出，代入，即可判断B，进而判断C，根据，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确，不符合题意； ∴，则，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故D选项正确 ，不符合题意； 故选：C． 变式1．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 变式2．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 【题型七】不等式组的经济问题 例7．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】任务1：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元；任务2：有三种销售方案：方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件；方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件；方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件； 任务3：销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为34020元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确列出方程组和不等式组是关键． 任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元，每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元．据此列出方程组并解方程组即可； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒，品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元．据此列出不等式组，并解不等式组即可； 任务3：分别求出各方案的获利，比较后即可得到答案． 【详解】解：任务1：设种仙桃盒每件的售价为元，则种仙桃礼盒每件的售价为元， 由题意得， 解得 答：种仙桃礼盒每件的售价为80元，种仙桃礼盒每件的售价为100元； 任务2：设销售种仙桃礼盒盒，则销售种仙桃礼盒盒， 由题意得， 解得． 因为为整数，所以．故有三种销售方案： 方案1：种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件； 方案2：种仙桃礼盒599件，种仙桃礼盒401件； 方案3：种仙桃礼盒600件，种仙桃礼盒400件． 任务3：方案1获利：（元）； 方案2获利：（元）； 方案3获利：（元）． 因为，所以销售种仙桃礼盒598件，种仙桃礼盒402件时，收益最大，最大收益为元． 【题型八】不等式组的分配问题 例8．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 【答案】23或26 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， 或， 当时，， 当时，， 则这些图书有或本． 故答案为：23或26． 变式1．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克建立不等式组求解即可． 【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克， 由题意得，， 解得， 答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克． 【题型九】不等式组的方案选择问题 例9．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)有三种购买方案，①购买跳绳26根，毽子28个；②购买跳绳27根，毽子27个；③购买跳绳28根，毽子26个；购买跳绳26根，毽子28个更省钱 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程组和数量关系列出不等式组是解题的关键． （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）购买跳绳m根，则购买毽子个，根据购买的总费用不超过300元，购买跳绳的数量多于25根，列出一元一次不等式组，解得，则，27，28，分别计算每种方案的费用，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元； （2）解：购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，27，28， 有三种购买方案： ①购买跳绳26根，毽子28个，费用为：元； ②购买跳绳27根，毽子27个，费用为：元； ③购买跳绳28根，毽子26个，费用为：元； ， 方案①更省钱：购买跳绳26根，毽子28个． 变式1．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)至少要租用辆B型客车 (2)共有三种租车方案：方案一：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，方案二：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，方案三：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，且租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，最省钱 【知识点】不等式组的方案选择问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出不等式是解题的关键． （1）设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车，再根据租车的总费用不超过5600元，建立不等式解题即可； （2）设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车，根据七年级的师生共有370人，建立不等式，求出的范围，结合（1）可知，且为整数，从而可得的值，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 最小值为， 答：至少要租用辆B型客车； （2）解：设租用x辆B型号客车，则租用辆A型号客车， 根据题意得：， 解得：， 由（1）可知， ， 又为整数， ， 则共有三种租车方案： 方案一：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案二：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， 方案三：租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，则费用为：（元）， ， 租用辆B型号客车，租用辆A型号客车，最省钱． 【题型十】一元一次不等式组的其他应用 例10．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式． 表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，得出不等式，解出即可． 【详解】解：第一次的结果为：，没有输出，则， 解得：； 第二次的结果为：，没有输出，则， 解得： 第三次的结果为：，输出，则 解得：； 综上可得：． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观，分住在若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍最多有 间，宿舍最少有 间． 【答案】 13 11 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】设宿舍有间，根据学生人数不变列出不等式组，求解不等式组得到的取值范围，进而确定的最值．本题主要考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握根据不等关系列出不等式组并求解是解题的关键． 【详解】解：设宿舍有间， ∵每间住人，还有人无宿舍住， ∴学生有人． ∵每间住人时，有间住满人，最后一间不空也不满， ∴ ． 解，得 ． 解，得 ． ∴， ∵为整数， ∴，， ． ∴宿舍最多有间，最少有间 ， 故答案为：13，11． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）用表示不大于的最大整数，例如：，，，用表示大于的最小整数，例如：，，（请注意两个不同的符号）．解决下列问题： (1) ， (2)若，则的取值范围是 ，若，则的取值范围是 (3)知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、加减消元法 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用和解二元一次方程组， （1）根据题目所给的信息求解； （2）根据题意，容易得出、的取值范围； （3）先求出和的值，然后求出和的取值范围； 解题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）∵， ∴的取值范围是， ∵， ∴的取值范围是， 故答案为：；； （3）解方程组， 得：， 则、的取值范围分别为，． 一、单选题 1．下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 又， ， 在数轴上表示如下： 故选：D． 3．不等式组的最大整数解是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并按要求写出最大整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式组的解集为， 不等式组的最大整数解是 故选：D． 4．对于不等式组，下列说法中，正确的是（   ） A．此不等式组的解集是 B．此不等式无解 C．此不等式组的正整数解为1，2，3 D．此不等式有五个整数解 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求出不等式的解集即可作出判断． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 所以不等式组的解集为，则整数解有0，1，2，3共四个，正整数解有1，2，3； 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 5．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围为（    ） A．a>1 B．a<1 C．a≥1 D．a≤1 【答案】B 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，x＞a， 解不等式②得，x＜1， ∵不等式组有解， ∴a＜1， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 6．不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有2个整数解， ∴，整数解为， ∴， ∴； 故选A． 7．若不等式组无解，则不等式组的解集是 （ ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是注意字母的取值范围，以及不等式号的方向的确定，先根据不等式组无解求出的取值范围，再求不等式组的解即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 不等式组的解集是， 故选：C． 8．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 二、填空题 9．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，根据“小大大小中间找”，即可解答． 【详解】 解：不等式组的解集是， ． 故答案为：． 10．如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解题的关键在于正确掌握解一元一次不等式组的步骤方法．根据解一元一次不等式组的步骤方法得到不等式组的解集，再结合不等式组有且仅有2个奇数解得到的取值范围，最后根据为整数得出合条件的所有整数为，即可解题． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 则解集为， 整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ， 整理得， 解得 符合条件的所有整数为 故答案为：6． 11．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，明确题意、正确列出一元一次不等式是解答本题的关键．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵表示不大于x的最大整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 12．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解不等式得：， 解不等式得：， 因此不等式组的解集为， 故答案为：． 13．数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是 ； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查的是根据不等式组的解集求解字母系数的值或取值范围； （1）设小明填写的数字为a，再解不等式组，再根据解集的情况建立方程求解即可； （2）根据（1）的结论，结合不等式组无解，建立不等式求解即可. 【详解】解：（1）设小明填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为，而不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小明填写的数字为6． （2）由（1）得： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于． 三、解答题 14．解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组的解集，先分别求出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 由得， 解得； 由得， ∴不等式组的解集为 15．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解答． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为： 16．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 【答案】；图见解析；非负整数解为0或1． 【分析】分别解出不等式①和②，在数轴上表示出来即可求得解集及非负整数解．本题关键是根据一元一次不等式的解法求解不等式，利用数轴即可求出不等式组解集． 【详解】由①得：，则； 将②得：，则； 不等式组的解集为，如图： 它的非负整数解为0或1． 17．美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 【答案】(1)糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元 (2)糯米糍最多为箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设糯米糍有箱，则桂味有箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出，即可求解． 【详解】（1）解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元； （2）解：设糯米糍有箱，则桂味有箱， 由题意可得： 解得：， 为正整数， 糯米糍最多为箱． 18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元 (2)学校一共有三种购买方案：方案一：采购篮球个，采购足球个；方案二：采购篮球个，采购足球个；方案三：采购篮球个，采购足球个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． （1）根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为元，足球的单价为元； （2）解：设采购篮球个，则采购足球为个， ∵要求篮球不少于个，且总费用不超过元， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的值可为，，， ∴共有三种购买方案， 方案一：采购篮球个，采购足球个； 方案二：采购篮球个，采购足球个； 方案三：采购篮球个，采购足球个． 19．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个 (2)该超市有13种进货方案 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个，根据两种礼盒共获利4600元，列方程，解方程即可； （2）根据超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高，且第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，列出不等组求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个 由题意可得：， 解得：， 则（个） 答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个． （2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个， 即礼盒购进个，礼盒购进个， ∵礼盒售价提高10元， ∴利润为（元） ∵礼盒售价提高， ∴（元） 由题意可得： ， ∵为整数 ∴可取共13个整数， 每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件． ∴该超市有13种进货方案． 20．新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． (1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为______． 【答案】(1)该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； (2)该公司有3种购进方案 (3)1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出列出方程和一元一次不等式组． （1）设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是万元，根据“当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价，再将其代入中，即可求出该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价； （2）设购进m辆A型汽车，则购进辆B型汽车，根据“该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，且全部售出后至少要获利11万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案； （3）根据（2）中所有方案获利相同，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是x万元，则该汽车销售公司单独购进1辆B型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（万元）． 答：该汽车销售公司单独购进1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，则购进辆B型汽车， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为9，10，11， ∴该公司共有3种购进方案， 方案1：购进9辆A型汽车，6辆B型汽车； 方案2：购进10辆A型汽车，5辆B型汽车； 方案3：购进11辆A型汽车，4辆B型汽车； （3）解：根据（2）中的方案，当方案1和方案2获利相同，则： 解得：， 此时方案1和方案2获利（万元）， 方案3获利（万元） ∴要使（2）中所有方案获利相同，则a的值为1． 故答案为：1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 一元一次不等式组（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式组的定义 1. 定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫作一元一次不等式组 . 2. 表示方式 不等式组可以用形如的方式表示， 也可以用形如a2x+b2<ax+b<x+ 的方式表示 . 【知识点02】一元一次不等式组的解集 1. 定义 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由这几个不等式组成的一元一次不等式组的解集. 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) x>a x>b  x<a x<b  x>a x<b  x<a x>b  不等式组 的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 不等式组的解集在数轴上的表示 【知识点03】解一元一次不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫作解不等式组 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点04】一元一次不等式组的应用 基本步骤： 审→设→列→解→验→答(与列一元一次不等式相同) . (1)审： 认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的不等关系； (2)设： 恰当地设未知数； (3)列： 依据题中的不等关系列出不等式组； (4)解： 解不等式组，求出解集； (5)验： 检验所求得的解集是否符合题意和实际意义； (6)答： 写出答案 . 【题型一】求不等式组的解集 例1．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知为正实数，，则的取值范围是 ，的取值范围是 变式2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）解不等式组：． 【题型二】求一元一次不等式组的整数解 例2．一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 变式1．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）解不等式组，它的整数解为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）解不等式组，并写出此不等式组的所有整数解． 【题型三】由一元一次不等式组的解集求参数 例3．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）已知不等式的解都是不等式的解，则的取值范围 变式2．若不等式组的解集是，求的值． 【题型四】由不等式组解集的情况求参数 例4．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）已知不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知关于的不等式组的解集为，求，的值． 【题型五】不等式组和方程组结合的问题 例5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 变式1．已知方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 变式2．已知关于、的方程组的解为非负数， (1)用含的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围，并化简式子． 【题型六】列一元一次不等式组 例6．（2025·安徽合肥·三模）已知，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为 ． 变式2．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【题型七】不等式组的经济问题 例7．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 变式1．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 变式2．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件品种仙桃礼盒比品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件品种仙桃礼盒和15件品种仙桃礼盒的总价共元． 素材2 已知加工两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出两种仙桃礼盒共1000盒，且品种仙桃礼盒售出的数量不超过品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案； 任务3 求出最大收益及最大收益的销售方案 要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排两种仙桃礼盒的销售方案？并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【题型八】不等式组的分配问题 例8．把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本． 变式1．养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围． 【题型九】不等式组的方案选择问题 例9．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元，购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，其中购买跳绳的数量多于25根，且购买的总费用不超过300元，则有哪几种购买方案？哪一种购买方案更省钱？ 变式1．（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）某中学计划租用A，B两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，这两种型号的客车，它们的载客量、每天的租金如下表所示，已知该中学租车的总费用不超过5600元． A型号客车 B型号客车 载容量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 600 450 (1)至少要租用多少辆B型客车？ (2)若七年级的师生共有370人，请写出所有可能得租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【题型十】一元一次不等式组的其他应用 例10．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）某校701班和702班两班若干名学生在学校组织下到独秀山公园参观，分住在若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，则宿舍最多有 间，宿舍最少有 间． 变式2．（24-25七年级下·安徽六安·期中）用表示不大于的最大整数，例如：，，，用表示大于的最小整数，例如：，，（请注意两个不同的符号）．解决下列问题： (1) ， (2)若，则的取值范围是 ，若，则的取值范围是 (3)知，满足方程组，求，的取值范围． 一、单选题 1．下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的最大整数解是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．对于不等式组，下列说法中，正确的是（   ） A．此不等式组的解集是 B．此不等式无解 C．此不等式组的正整数解为1，2，3 D．此不等式有五个整数解 5．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围为（    ） A．a>1 B．a<1 C．a≥1 D．a≤1 6．不等式组有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若不等式组无解，则不等式组的解集是 （ ） A． B． C． D．无解 8．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 二、填空题 9．关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 10．如果整数使得关于的不等式组有且仅有2个奇数解，那么整数有 个． 11．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为 ． 12．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是 ． 13．数学课上，老师写下题目：解一元一次不等式组． 其中需要同学们在“□”中填写数字． （1）小明填入数字后得到该不等式组的解集为，则小明填写的数是 ； （2）当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字a的取值范围是 ． 三、解答题 14．解不等式组： 15．解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 16．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 17．美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2箱，桂味3箱，共需690元；购进糯米糍1箱，桂味4箱，共需720元． (1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5400元购进糯米糍、桂味共40箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3倍，糯米糍最多为多少箱？ 18．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元．那么有哪几种购买方案？ 19．中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价： 进价（元/个） 售价（元/个） 礼盒 150 220 礼盒 100 140 (1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个； (2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？ 20．新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元；若单次购买A型汽车超过15辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B型汽车超过15辆，每辆汽车进价优惠0.5万元．当购买A型和B型汽车各20辆时，共需775万元． (1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车在进价的基础上提高5000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利11万元，该公司有几种购进方案？ (3)为打开B型汽车的销路，该公司决定每辆B型汽车降价万元，A型汽车的售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，则的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $