第04讲 线段的垂直平分线与角平分线（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 线段的垂直平分线与角平分线（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】线段垂直平分线的性质定理 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 . 2.几何语言 如图1.4-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC. 【知识点02】线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 条件：点到线段两个端点距离相等 . 结论：点在线段的垂直平分线上 . 2.几何语言 如图1.4-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 【知识点03】用尺规作已知直线(或线段)的垂线 作图  已知、求作  作法 作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，AB=AC， BC=a，高 AD=h. (1)如图，作线段 BC=a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 l，交BC 于点 D. (3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h. (4)连接 AB， AC.△ ABC 为所求作的等腰三角形 . 过直线上一点 作直线的垂线 已知：如图，直线l 和 l 上一点 P.求作：直线 l 的垂线，使它过点 P. 如图，(1)任取一点Q，使点Q 与点P 在直线l 两旁。 (2)以点P 为圆心，以PQ 长为半径画弧，交直线l 于点A 和点B。 (3)作线段AB 的垂直平分线m。直线m 就是所要作的直线。 【知识点04】三角形三条边的垂直平分线的性质定理 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.4-7，∵直线 MN， EF， PQ分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN，EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC. 3. 拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点的情况如图1.4-8所示。 【知识点05】角平分线的性质定理 1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。指该点到角两边的垂线段的长度。 两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 . 2. 几何语言 如图1.5-1， ∵ OP 平分 ∠ AOB， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E，∴ PD=PE. 【知识点06】角平分线的判定定理 1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。 2.几何语言 如图1.5-5， ∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E， ∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上 . 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 （1）如图1.5-5， 都与距离有关， 即都具备条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 . 【知识点07】三角形的角平分线的性质定理 1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.5-8，在△ ABC 中，AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF. 【题型一】线段垂直平分线的性质 例1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 变式1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 【题型二】线段垂直平分线的判定 例3．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 例4．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·月考）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 变式1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，如图，在中，，平分，交于点D，求证：点D在的垂直平分线上． 【题型三】作垂线(尺规作图) 例5．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 例6．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 例7．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 变式1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 变式3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 【题型四】角平分线的性质定理 例8．（24-25八年级下·河南信阳）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例9．（24-25八年级下·甘肃武威）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 变式1．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 变式2．（22-23八年级下·浙江金华·月考）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【题型五】角平分线的判定定理 例10．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 例12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·陕西·期中）如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ． 变式3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【题型六】角平分线性质的实际应用 例13．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 例14．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    例15．（22-23八年级上·辽宁大连·月考）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 变式1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 变式2．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为 ． 变式3．（22-23八年级下·山东菏泽·月考）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 一、单选题 1．如图，，平分交于D，若，则点D到的距离为（　　） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 2．在纸片上有一点P，且，则P点一定（    ） A．在边的垂直平分线上 B．在的平分线上 C．在边的高上 D．在边的中线上 3．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，中， ，，的垂直平分线交于，交于，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 6．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 9．如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 10．如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 12．如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 13．如图，中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，若，则的度数是 ． 14．如图，的三边、、长分别是15、20、10，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为 ． 15．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ． 16．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度． 17．如图，在中，，的平分线交于点D，，点M，N分别是边和上的动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 18．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 19．如图所示，为的角平分线，，求证：线段所在直线是线段的垂直平分线． 20．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．    (1)点关于轴的对称点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为_____，线段的垂直平分线与轴的交点的坐标为_____； (2)求以（1）中的点为顶点的的面积． 22．如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 23．如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 24．如图，中，，点E在的垂直平分线上，且． (1)如果的周长为，，那么的周长 ； (2)你发现线段与的和等于图中哪条线段的长？请证明你的结论． 25．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 线段的垂直平分线与角平分线（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】线段垂直平分线的性质定理 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 条件： 点在线段的垂直平分线上 . 结论： 这个点到线段两个端点的距离相等 . 2.几何语言 如图1.4-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC. 【知识点02】线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 条件：点到线段两个端点距离相等 . 结论：点在线段的垂直平分线上 . 2.几何语言 如图1.4-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 . 【知识点03】用尺规作已知直线(或线段)的垂线 作图  已知、求作  作法 作等腰三角形 已知：如图，线段a，h. 求作：△ ABC，AB=AC， BC=a，高 AD=h. (1)如图，作线段 BC=a. (2)作线段 BC 的垂直平分线 l，交BC 于点 D. (3)在 l 上作线段 DA，使 DA=h. (4)连接 AB， AC.△ ABC 为所求作的等腰三角形 . 过直线上一点 作直线的垂线 已知：如图，直线l 和 l 上一点 P.求作：直线 l 的垂线，使它过点 P. 如图，(1)任取一点Q，使点Q 与点P 在直线l 两旁。 (2)以点P 为圆心，以PQ 长为半径画弧，交直线l 于点A 和点B。 (3)作线段AB 的垂直平分线m。直线m 就是所要作的直线。 【知识点04】三角形三条边的垂直平分线的性质定理 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.4-7，∵直线 MN， EF， PQ分别垂直平分 BC， AB， AC，∴直线 MN，EF， PQ 相交于一点 O，且 OA=OB=OC. 3. 拓展 几种三角形三条边的垂直平分线交点的情况如图1.4-8所示。 【知识点05】角平分线的性质定理 1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。指该点到角两边的垂线段的长度。 两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 . 2. 几何语言 如图1.5-1， ∵ OP 平分 ∠ AOB， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E，∴ PD=PE. 【知识点06】角平分线的判定定理 1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 。 2.几何语言 如图1.5-5， ∵ PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E， ∴点 P 在∠ AOB 的平分线 上 . 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 （1）如图1.5-5， 都与距离有关， 即都具备条件PD ⊥ OA， PE ⊥ OB； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等 . 【知识点07】三角形的角平分线的性质定理 1. 性质定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . 2. 几何语言 如图1.5-8，在△ ABC 中，AD， BM， CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，则 AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离( OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF. 【题型一】线段垂直平分线的性质 例1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 例2．（23-24八年级下·广东清远·期中）如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】10 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为， 故答案为：10． 变式1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵仓库到三个学校的距离相等， ∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，在中，，D，E分别是上的点，且，的垂直平分线交于点F，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若四边形的周长为14，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握这两个性质是关键； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可证明； （2）四边形的周长为，再结合已知即可求解． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形的周长为14， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【题型二】线段垂直平分线的判定 例3．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 例4．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·月考）风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 变式1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知，如图，在中，，平分，交于点D，求证：点D在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等角对等边求边长 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 根据，平分，可得，从而得到，继而证得结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上． 【题型三】作垂线(尺规作图) 例5．如图，，根据图中尺规作图的痕迹，可得的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、三角形内角和定理等知识．由尺规作图的作法得到，根据三角形内角和定理代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， 即， ∵， ∴， 故选：C． 例6．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分线段，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：垂直平分线段， ∴； ∴的周长， 故答案为： 例7．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知，请利用尺规作图法在上求作一点D，使得点C与点D之间的距离最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、垂线段最短 【分析】本题考查作垂线，垂线段最短，根据垂线段最短作即可． 【详解】解：以为圆心，任意长度为半径画圆，交线段于、，再分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接并延长交于，则，此时点C与点D之间的距离最短． 变式1．（2025·广东深圳·模拟预测）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、图中是垂直平分线的作图，不能确定； B、图中是垂直平分线的作图，可得，能确定； C、图中是垂线或高线的作图，不能确定； D、图中是角平分线的作图，不能确定． 故选：B． 变式2．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查作图——基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图过程可知，由勾股定理得，根据，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中．平分，交于点．请用尺规作图法，在边上求作一点F，使（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作垂线，在上取点，以点为圆心，长为半径交于另一点，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线，交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【题型四】角平分线的性质定理 例8．（24-25八年级下·河南信阳）如图，在中，的平分线交于点．若，则点到的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及角平分线的性质，熟记角平分线性质是解决问题的关键． 先由题意求出，过点作于点，如图所示，从而由角平分线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：， ， 过点作于点，如图所示： 在中，的平分线交于点， 由角平分线的性质可知， 则点到的距离为， 故选：A． 例9．（24-25八年级下·甘肃武威）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键． 作交于，根据角平分线的性质定理可得，从而得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，平分，， ， 则点D到的距离为5， 故答案为：5． 变式1．（24-25八年级下·辽宁丹东·月考）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（    ）    A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质．作可得，根据即可求解． 【详解】解：作，如图所示：    ∵是的角平分线，，, ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 变式2．（22-23八年级下·浙江金华·月考）已知：平分，点A，B分别在边上，且． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，作于点C．求证： ①； ②请直接写出之间的数量关系为___． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；② 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，补角的性质，线段的和与差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据角的和差得出，根据角平分线定义得出，证明，即可得出结论； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质和同角的补角相等，证明，即可得出结论； ②根据得出的相等线段，利用线段的和差即可表示出数量关系． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作于点， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 由①得，且， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型五】角平分线的判定定理 例10．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和的距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 例11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，点在内，于点，于点，且，，则 ． 【答案】/55度 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据三角形内角和定理求解． 【详解】∵，，且， ∴ ∴． 故答案为：． 例12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 变式2．（23-24八年级下·陕西·期中）如图，已知，P为内部一点，过点P作于点A，于点B，，C为上一点，于点D，且，则点C到的距离是 ． 【答案】7 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，先根据题意判定平分，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解题即可． 【详解】解：∵P为内部一点，，，， ∴平分， ∵， ∴C到的距离， 故答案为：7． 变式3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，锐角的两条高线、相交于点，且． (1)求证：； (2)试判断点是否在的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点是否在的平分线上，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由角平分线的判定定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵、是的两条高线， ∴， 在和中，     ∵，，， ∴； （2）解：点是否在的平分线上，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点在的平分线上． 【题型六】角平分线性质的实际应用 例13．（22-23八年级下·河南郑州·月考）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 例14．（2023八年级上·浙江·专题练习）如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是 ．    【答案】 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质的应用，能够熟练运用角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 例15．（22-23八年级上·辽宁大连·月考）如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等． 【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置． 【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 变式1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 变式2．（22-23八年级下·辽宁丹东·期末）如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为 ． 【答案】12 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∵， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∵△ABC的周长为12， ∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键． 变式3．（22-23八年级下·山东菏泽·月考）如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m ²，通过测量可知周长为12m，I为ABC的三条角平分线交点，求点I到每条边的距离？ 【答案】1m 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】先连接角平分线交点与各个定点，然后过交点作各个边的高，根据三角形的面积和周长来求交点到各个边的距离． 【详解】如图，连接IA，IB，IC，作于一点D，于点E， 于点F ∵I为的三条角平分线的交点 ∴IA，IB，IC分别为三个内角的角平分线 ∴ID=IE=IF ∵，㎡ ∴ 即 ∴ ∵m ∴ ∴m ∴ID=IE=IF=1m 即点I到每条边的距离为1m． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积联系三角形的周长求得高． 一、单选题 1．如图，，平分交于D，若，则点D到的距离为（　　） A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定 【答案】C 【分析】由角平分线的性质可得D到的距离即为长，再求解的长即可． 【详解】解：∵，平分交于D ∴D到的距离即为长 ∵， ∴D到的距离为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键． 2．在纸片上有一点P，且，则P点一定（    ） A．在边的垂直平分线上 B．在的平分线上 C．在边的高上 D．在边的中线上 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质定理的逆定理，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵， ∴P点一定在边的垂直平分线上， 故选A． 【点睛】本题主要垂直平分线的性质定理的逆定理，掌握“到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”，是解题的关键． 3．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 4．如图，中， ，，的垂直平分线交于，交于，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据线段垂直平分线的性质求出，再通过等量代换求出即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长. ，， 的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，属较简单题目．解答此题的关键是求出△BDC的周长＝BC+AC，这也是此题的突破点． 5．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．首先连接，由在中，，可求得，又由的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F，易得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E，交于点D，的垂直平分线交于点G，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点．若，则线段的长不可能是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，垂线段最短是解题的关键． 如图，作于B，则，由逐一判断，即可． 【解答】解：如图，作于B，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴线段的长不可能是2， 故选：D． 7．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×4×7+×4×AC=26，然后解一次方程即可． 【详解】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF=4， ∵S△ADB+S△ADC=S△ABC， ∴×4×7+×4×AC=26， ∴AC=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题． 8．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    9．如图，在ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】过点C作交BF于点H，由此可得∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC，再根据EB＝EA可得∠A＝∠EBA，进而可得AC＝BH＝22，结合DF＝DB＝16可得BF＝32，DH＝6，FH＝10，再利用垂直平分线的性质可得BC＝CF，进而可得∠F＝∠CBE，再结合∠A＝2∠CBE，∠EHC＝∠HCF＋∠F可得CH＝FH＝10，最后利用勾股定理计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点C作交BF于点H， ∵， ∴∠A＝∠ECH，∠EBA＝∠EHC， ∵EB＝EA， ∴∠A＝∠EBA， ∴∠ECH＝∠EHC， ∴EC＝EH， ∴EC＋EA＝EH＋EB， 即AC＝BH＝22， 又∵DF＝DB＝16， ∴BF＝BD＋DF＝32，DH＝BH－BD＝6， ∴FH＝BF－BH＝32－22＝10， ∵CD⊥BF，DF＝DB， ∴BC＝CF， ∴∠F＝∠CBE， 又∵∠A＝2∠CBE， ∴∠EHC＝∠ECH＝2∠F， 又∵∠EHC＝∠HCF＋∠F， ∴∠HCF＋∠F＝2∠F， ∴∠HCF＝∠F， ∴CH＝FH＝10， ∴在中，， ∴在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，根据题意作出正确的辅助线并能熟练运用相关图形的性质是解决本题的关键． 10．如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：C． 二、填空题 11．如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．如图，在中，的周长为17，则的周长为 ； 【答案】25 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由作图可得垂直平分，则，，那么把的周长转化为求解即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，， ∵为17， ∴ ∴的周长为， 故答案为：25． 13．如图，中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线分别交边于点D、E， ∴， ， ， ， ， ， 即， 由①②组成的方程组， 解得． 故答案为：． 14．如图，的三边、、长分别是15、20、10，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F，利用角平分线的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E，过点O作，垂足为F， 的三条角平分线交于点O， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝ ． 【答案】 【分析】根据平分，平分，可得，，再根据外角的性质可得，，化简得；过作于点，于点，延长线于点，易得，可得平分，即有，根据，可得，，则有，再根据求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 又∵，， ∴ ∴ ∴ 如图示，过作于点，于点，延长线于点， ∵平分，平分， ∴，， 即 ∴平分， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 16．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度． 【答案】 【分析】如图，连接，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由角平分线和线段垂直平分线的性质可得，证明，得到，即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ，， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， 由折叠得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，证明是解本题的关键． 17．如图，在中，，的平分线交于点D，，点M，N分别是边和上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作交于点，交与，作交于点，由角平分线的性质可得，，则的最小值为，证明得到，从而得到，再根据求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于点，交与，作交于点，     平分，，， ，， ，即的最小值为， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题 18．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，．若的周长为，的周长为．求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质得，由三角形周长，即可求解；能根据性质进行线段转换是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线， ，， 是边的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ． 故线段的长． 19．如图所示，为的角平分线，，求证：线段所在直线是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】利用全等三角形的判定定理证明，再利用性质定理可得，，证得结论． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴， 点D在线段的垂直平分线上， 又∵，∴点A在线段的垂直平分线上， ∴线段所在的直线是线段的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键． 20．如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，，表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题了作图的应用．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．分别作的垂直平分线和（或的邻补角）的平分线，它们的交点即为点． 【详解】解：如图，点、点为所作． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．    (1)点关于轴的对称点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为_____，线段的垂直平分线与轴的交点的坐标为_____； (2)求以（1）中的点为顶点的的面积． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】（1）根据已知点A，点B，点C的坐标，后利用关于x，y轴对称点的性质得出对应点位置即可； （2）根据点，点，点D的坐标求出所在长方形的面积，后利用所在长方形的面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意作图如图所示，   ； 由图象得可得； 故答案为：，，； （2）解：根据所作图形可知： ． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握对称点及线段垂直平分线的性质的运用． 22．如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由作图得：垂直平分， ， 的周长为10，即：， 的周长为：， 所以的周长为． 23．如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 【答案】(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 24．如图，中，，点E在的垂直平分线上，且． (1)如果的周长为，，那么的周长 ； (2)你发现线段与的和等于图中哪条线段的长？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用． （1）通过线段的等量代换即可求解； （2）先证明得到，再根据线段垂直平分线的性质，可得，继而证得． 【详解】（1）解：∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴的周长， 故的周长为． 故答案为：8； （2）解：．证明如下： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 25．如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段与相等，详见解析 (2)8 (3)，详见解析 【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $