精品解析：浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

镇海中学2025学年第一学期期末考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举法求出集合，再根据并集的定义求即可. 【详解】解方程得， 所以. 又，所以. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，进而可求模长. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示代入即可. 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 4. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到焦点，再利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】由题可知，抛物线的焦点， 则焦点到直线的距离． 故选：C． 5. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式展开结合三角形的内角特点可得充分性成立，通过举反例说明必要性不成立即得结论. 【详解】因，， 由可得， 因为是三角形的内角，所以，所以， 则可得或（不合题意，舍去），故为等腰三角形， 即由“”可得“为等腰三角形，故充分性成立； 若为等腰三角形，可能有，不一定有， 例如，为等腰三角形，但是， 所以必要性不成立.故“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定球心的位置，在正四棱锥中，球心在高线上，再利用等体积法，求解内切球的半径； 【详解】 ； 其中，， 由于 ； 则，； 故选：B. 7. 现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（ ）种 A. 1470 B. 1512 C. 1806 D. 2982 【答案】C 【解析】 【分析】分位同学分得的书法作品数为，，和，，和，，和，，共四种情况讨论即可. 【详解】分四类： 第一类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第二类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 第三类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种； 第四类：当位同学分得的书法作品数为，，时，共有种， 由加法原理，知共有种不同分法. 故选：C. 8. 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1215 B. 1216 C. 1217 D. 1218 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据高斯函数运算可得，然后可得的值域，然后取交集即可. 【详解】设， 则有， 当时，有 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 3 0 1 2 4 5 6 的所有可能值为0，1，2，4，5，6 因此，的值域， 则共有个元素， 即 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的展开式中的系数为3 C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的概念，根据常数项求出参数值，写出二项式的展开式，进而逐一判断各选项正误. 【详解】二项式的展开式的第项为， 当时，即时，可得，解得，所以A错误； 可得二项式， 展开式中的系数为3，所以B正确； 各项系数之和为，二项式系数之和为，所以C正确； 可知展开式中系数最大的项为第2项或第3项，所以D正确； 故选：BCD. 10. 已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B. 过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C. 过点有且只有一个平面与直线、都平行 D. 过点有且只有一个平面与直线、都相交 【答案】AC 【解析】 【分析】根据异面直线的性质以及线面平行、垂直的判定定理，对过点与直线、的不同位置关系的情况进行逐一分析. 【详解】在B选项中，若一个平面与两条异面直线都垂直，那么这两条异面直线平行， 而与不平行，所以不存在这样的平面，所以B选项错误， 在C选项中，过点分别作直线与的平行线、， 则，平面，平面，所以平面， 同理可知平面，所以过点有且只有一个平面与直线、都平行，所以C选项正确， 在A选项中，由C选项可知，过点有且只有一个平面与直线、都平行，且该平面为平面， 因为过点有且只有一条直线与平面垂直，记该直线为直线， 因为平面，所以，因为，所以，同理可知， 所以，因此过点有且只有一条直线与直线、都垂直，所以A选项正确， 在D选项中，过点与直线、都相交的平面有无数个，所以D选项错误. 故选：AC. 11. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的三角形式为 B. 若，则实数的值为3 C. ，，……，中有44个正整数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准形式方程求其渐近线的斜率. 【详解】由题意知双曲线：，则可得双曲线的标准方程为， 故可得双曲线的渐近线为，所以渐近线的斜率为. 故答案为： 13. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据恒成立代入特殊值求出的大致范围，再利用导数证明所求范围内恒成立即可. 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 14. 将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分. 【答案】21 【解析】 【分析】利用正四面体和正四棱锥的性质来计算相邻两个面的二面角，通过两个二面角互补，可判断两平面共面，再证明面面平行，可确定这是一个三棱柱，从而可确定结果. 【详解】 因为上图是棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥， 所以取的中点为，可知 即正四面体的一个二面角的平面角为，正四棱锥的两侧面形成的一个二面角的平面角为， 由已知可得：，所以， 又由已知可得：，所以， 由于，因为， 所以， 从而可得侧面与侧面共面， 即四边形是菱形，可得， 再利用正四面体与正四棱锥的性质可知，侧面与侧面也共面， 即四边形是菱形，可得， 由于平面，平面，所以平面， 同理平面，又因为平面， 所以平面平面， 所以这个几何体是一个三棱柱， 其中三个侧面侧面，侧面所在的平面可将空间分成个部分， 再由两个平行底面与底面又将空间分成上、中、下个部分； 所以这五个面所在的平面可以将空间分成个部分. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 【小问2详解】 ①， ②， ，得 ， 所以. 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得； （2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解； 【小问1详解】 ， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. 【小问2详解】 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】（1） X 1 2 3 4 5 P （2）7个或8个 【解析】 【分析】（1）分析可知小球共经过4次碰撞，向右次，可得，进而可得分布列和期望； （2）分析可知小球落入2号球槽的概率为，且，令，运算求解即可. 【小问1详解】 若小球落入球槽的号码为，， 则小球共经过4次碰撞，向右次，可得， 则；；；，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P X的期望为. 【小问2详解】 若小球落入2号球槽，则小球共经过4次碰撞，向右1次，且每次向右的概率均为， 则小球落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为，则， 令，即，解得， 且，即， 所以2号球槽中落入小球的概率最大的为7个或8个. 18. 抛物线：上一点到轴的距离为，焦点为，. （1）求抛物线的方程与点横坐标； （2）若在轴上方，抛物线的准线与轴交于，过作一条斜率为负的直线交拋物线于，两点，点在点左侧. （ⅰ）试判断在轴上是否存在一定点，使得直线TM，TN的斜率之和为0，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； （ⅱ）若的余弦值为，记的面积为，的面积为，求的值. 【答案】（1）， （2）（ⅰ）存在，；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义列式计算即可求解； （2）（ⅰ）设，由得，设，由计算即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可知，是的角平分线，设，由二倍角余弦计算可得，进而可得，写出直线的方程，判断可得即三点共线，即，直线与抛物线联立方程计算即可求解. 【小问1详解】 因为点到轴的距离为，所以点到准线的距离为， 因为，所以，解得， 所以抛物线的方程为， 所以，代入可得； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可得，， 设且， 因为三点共线，所以， 即，化简可得，即， 若存在点，使得，设， 则， 当，即时，成立， 所以存在点，使得成立； （ⅱ）因为是抛物线的焦点，且， 所以是的角平分线， 设，则，解得， 所以，， 所以直线的方程为，此时恰好满足直线方程，在直线上， 即三点共线，所以， 直线与抛物线联立方程可得， 即，解得，故. 19. 已知函数，圆：，设与的图像交于，两点. （1）求在处的切线方程； （2）试判断线段AB的中点在第几象限，并证明： （3）证明：随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 【答案】（1） （2）第二象限，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）设由题意可得，设，则有，利用导数确定函数的单调区间，从而可得，即可得线段AB的中点所在象限； （3）结合（2）即证，，，结合，可得只需证明，令，则只需证明，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以函数在处的切线方程为, 即； 【小问2详解】 第二象限，证明如下： 设 则有， 设， 则有， 又因为， 所以， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 不妨设， 则， 令 ， 因为， 所以， 所以，即恒成立， 又因为， 所以，，， 所以线段AB的中点的横坐标为， 又因为， 所以线段AB的中点的纵坐标为， 所以线段AB的中点在第二象限； 【小问3详解】 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 证明：由(2)知， 即只需证明， 即只需证明， 只需证明，又， 只需证明， 又因为， ， 只需证明， 令， 即需证明， 因为， 令， 则， 所以当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以， 所以在上单调递减， 又因为， 所以, 所以随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇海中学2025学年第一学期期末考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 7. 现有幅书法作品，每一幅上分别写着“祝、你、数、学、一、百、五”的字样，幅作品全部奖励给成绩优异的小许、小妍、小皓位同学，每人至少得到一份，则不同的奖励方案有（ ）种 A. 1470 B. 1512 C. 1806 D. 2982 8. 已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则（ ） A. 1215 B. 1216 C. 1217 D. 1218 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知的展开式中常数项为3，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的展开式中的系数为3 C. 的展开式中各二项式系数之和等于各项的系数之和 D. 的展开式中系数最大的项为第2项或第3项 10. 已知三棱柱，为中点，下列选项正确的是（ ） A. 过点有且只有一条直线与直线、都垂直 B. 过点有且只有一个平面与直线、都垂直 C. 过点有且只有一个平面与直线、都平行 D. 过点有且只有一个平面与直线、都相交 11. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的三角形式为 B. 若，则实数的值为3 C. ，，……，中有44个正整数 D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线：的渐近线的斜率为______. 13. 已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 14. 将一个棱长为1的正四面体和各条棱长都为1的正四棱锥按如图所示的方式拼接在一起，则此几何体的各个面所在的平面将空间分成______个部分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18. 抛物线：上一点到轴的距离为，焦点为，. （1）求抛物线的方程与点横坐标； （2）若在轴上方，抛物线的准线与轴交于，过作一条斜率为负的直线交拋物线于，两点，点在点左侧. （ⅰ）试判断在轴上是否存在一定点，使得直线TM，TN的斜率之和为0，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由； （ⅱ）若的余弦值为，记的面积为，的面积为，求的值. 19. 已知函数，圆：，设与的图像交于，两点. （1）求在处的切线方程； （2）试判断线段AB的中点在第几象限，并证明： （3）证明：随着的变化，直线AB的斜率始终小于1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $