专题 1.1 幂的乘除（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年北师大版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.1 幂的乘除（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】同底数幂相乘 2 ★【题型 1】两个同底数幂相乘运算 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 2 ★【题型 2】两个同底数幂相乘运算 3 【知识点三】幂的乘方 3 ★【题型 3】幂的乘方的运算 3 【知识点四】幂的乘方逆运算 4 ★【题型 4】幂的乘方的逆运算 4 【知识点五】积的乘方运算 4 ★【题型 5】积的乘方运算 5 【知识点六】积的乘方逆运算 5 ★【题型 6】积的乘方逆运算 5 【知识点七】同底数幂的除法 6 ★【题型 7】同底数幂的除法 6 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 6 ★【题型 8】同底数幂的逆运算 6 【知识点九】零指数、负整数指数 7 ★【题型 9】零指数、负指数的运算 7 【知识点十】用科学记数法表示小于1的数 7 ★【题型 10】科学记数法表示小于1的数 7 二.综合培优题型精析 8 ★★【题型 11】幂的运算法则辨析 8 ★★【题型 12】幂的综合运算 9 ★★【题型 13】幂的逆运算综合 9 三.中考真题专练 10 （一）选择题（5题） 10 （二）填空题（5题） 10 （三）解答题（1题） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂相乘 （1） 运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ★【题型 1】两个同底数幂相乘运算 【例题1】（北师大版七下第9页练习第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【变式1】（2025–2026学年上学期期末水平测试卷八年级数学）下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，，则的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 【变式4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 （2） 运算法则 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★【题型 2】两个同底数幂相乘运算 【例题2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，，则的值为（   ） A．28 B．14 C．11 D．18 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 ． 【知识点三】幂的乘方 （3） 运算法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： ★【题型 3】幂的乘方的运算 【例题3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·周测）若，则 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点四】幂的乘方逆运算 （4） 运算法则 一个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸： ★【题型 4】幂的乘方的逆运算 【例题4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，，则的值是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【变式4】（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【知识点五】积的乘方运算 （5） 运算法则 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸： ★【题型 5】积的乘方运算 【例题5】（北师大版七下第9页习题1.1第3题改编）（25-26八年级上·吉林长春·周测）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点六】积的乘方逆运算 （6） 运算法则 拓展延伸： ★【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算所得结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，则 ． 【变式3】（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 【知识点七】同底数幂的除法 （7） 运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 ★【题型 7】同底数幂的除法 【例题7】（北师大版七下第9页习题1.1第9题改编）（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）若的值为256，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 （8） 运算法则 ★【题型 8】同底数幂的逆运算 【例题8】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期中）若，，则的值等于（   ） A．6 B．5 C．3 D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期末）已知，，则 ． 【知识点九】零指数、负整数指数 ★【题型 9】零指数、负指数的运算 【例题9】（北师大版七下第9页练习第8题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期中）计算： ． 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点十】用科学记数法表示小于1的数 一个小于1的正数可以表示为的形式,其中，是负整数。 ★【题型 10】科学记数法表示小于1的数 【例题10】（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）年月日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在米至米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成像．用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】幂的运算法则辨析 【例题11】（25-26八年级上·四川德阳·期末）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列运算：①，②，③，④ ，其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． ★★【题型 12】幂的综合运算 【例题12】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． ★★【题型 13】幂的逆运算综合 【例题13】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·月考）已知，，为正整数，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 三.中考真题专练 （一）选择题（5题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． （二）填空题（5题） 6．（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 7．（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 9．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 10．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． （三）解答题（1题） 11．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 幂的乘除（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】同底数幂相乘 2 ★【题型 1】两个同底数幂相乘运算 2 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 4 ★【题型 2】两个同底数幂相乘运算 4 【知识点三】幂的乘方 5 ★【题型 3】幂的乘方的运算 5 【知识点四】幂的乘方逆运算 7 ★【题型 4】幂的乘方的逆运算 7 【知识点五】积的乘方运算 10 ★【题型 5】积的乘方运算 10 【知识点六】积的乘方逆运算 13 ★【题型 6】积的乘方逆运算 13 【知识点七】同底数幂的除法 15 ★【题型 7】同底数幂的除法 15 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 17 ★【题型 8】同底数幂的逆运算 17 【知识点九】零指数、负整数指数 18 ★【题型 9】零指数、负指数的运算 18 【知识点十】用科学记数法表示小于1的数 20 ★【题型 10】科学记数法表示小于1的数 20 二.综合培优题型精析 22 ★★【题型 11】幂的运算法则辨析 22 ★★【题型 12】幂的综合运算 24 ★★【题型 13】幂的逆运算综合 27 三.中考真题专练 30 （一）选择题（5题） 30 （二）填空题（5题） 32 （三）解答题（1题） 33 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂相乘 （1） 运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ★【题型 1】两个同底数幂相乘运算 【例题1】（北师大版七下第9页练习第1题改编）（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式表示成幂的形式： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题关键，（1）-（4）小题均直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则计算． （1）解：， （2）解：， （3）解：， （4）解：． 【变式1】（2025–2026学年上学期期末水平测试卷八年级数学）下列幂的运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一判断即可，解题关键是熟练计算． 解：A、，故原式错误，不符合题意； B、，故原式错误，不符合题意； C、，故原式正确，符合题意； D、，故原式错误，不符合题意， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握好指数运算的法则是解题关键． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 解：根据指数运算法则，． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值 ． 【答案】 13 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，将等式两边化为同底数幂后比较指数求解即可． 解：， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式4】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．直接根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【知识点二】同底数幂相乘逆运算 （2） 运算法则 一个同底数幂，可拆分为两个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 一个同底数幂，可拆分为两（多）个同底数幂的乘积，拆分后指数之和等于原指数。 ★【题型 2】两个同底数幂相乘运算 【例题2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）若,,则的值为（   ） A．15 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，利用指数运算法则，将表示为，再代入已知值计算即可． 解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，，则的值为（   ） A．28 B．14 C．11 D．18 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用． 利用直接计算即可． 解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【知识点三】幂的乘方 （3） 运算法则 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 拓展延伸： ★【题型 3】幂的乘方的运算 【例题3】（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查幂的运算法则，熟练掌握合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方等是解题的关键． 通过幂的运算法则计算验证每个选项的正确性即可． 对于选项A：∵ ，∴ 不符合题意； 对于选项B：∵ ，∴不符合题意； 对于选项C：∵ ，∴ 不符合题意； 对于选项D：∵ ，∴ 符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·周测）若，则 【答案】9 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 解：， ， 则． 故答案为：9． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，然后将化为，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点四】幂的乘方逆运算 （4） 运算法则 一个同底数幂，可将其指数拆分为两个整数的乘积，转化为幂的乘方形式，两种拆分底数的幂次、交换指数位置的写法均成立。 拓展延伸： ★【题型 4】幂的乘方的逆运算 【例题4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. （1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了幂的乘方运算法则，掌握利用幂的乘方法则将所求式转化为已知式的幂次形式是解题的关键． 利用指数法则，将 转化为 后代入已知条件计算． 解：由已知 ，根据指数法则 ，得 . 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，，则的值是 ． 【答案】 75 【分析】本题主要考查了求代数式的值．熟练掌握幂的乘方法则逆用，同底数幂的乘法法则逆用，是解题的关键．利用指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知值计算 解：由已知 ，， 根据指数运算法则，．其中 ， 代入得 ． 故答案为：75． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）已知，则的值是________． （2）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法法则，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用指数运算性质，将表示为的平方，再求值； （2）将化为的立方，利用同底数幂相乘的法则，结合已知条件求值． 解：（1）， ， ，即． 故答案为：． （2）， ， ， ，即． 故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【知识点五】积的乘方运算 （5） 运算法则 积的乘方等于乘方的积 拓展延伸： ★【题型 5】积的乘方运算 【例题5】（北师大版七下第9页习题1.1第3题改编）（25-26八年级上·吉林长春·周测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（23-24七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了积的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后合并同类项即可； ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键．（1）先计算幂的乘方和积的乘方，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （2）先计算幂的乘方和积的乘方，然后将化为，再按照同底数幂相乘的法则求解即可； （3）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点六】积的乘方逆运算 （6） 运算法则 拓展延伸： ★【题型 6】积的乘方逆运算 【例题6】（25-26八年级上·全国·期末）计算的结果是（    ） A．－ B． C． D．－ 【答案】A 【分析】通过简化指数表达式，利用负数的奇偶次幂性质，并将积的乘方的逆运算合并计算． 本题主要考查了同底数幂乘法的运算，积的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握各种运算的特点． 解： 原式   故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算所得结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，积的乘方． 逆用同底数幂的乘法将化为，再根据积的乘方计算即可． ， 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了积的乘方和有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后整体代入求值即可． 把，代入，原式． 【变式2】（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，，、为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 解： ． 故答案为：． 【知识点七】同底数幂的除法 （7） 运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 ★【题型 7】同底数幂的除法 【例题7】（北师大版七下第9页习题1.1第9题改编）（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． （1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）若的值为256，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查幂的运算．将指数表达式统一化为以2为底，利用指数运算法则简化，再根据相等关系求解． 解：，， 原式化为 ． 令，得， 解得． 故答案为：3． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂乘除，先算幂的乘方，再算同底数幂乘除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点八】同底数幂的除法逆运算 （8） 运算法则 ★【题型 8】同底数幂的逆运算 【例题8】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)32 (2)25 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用． （1）根据同底数幂乘法的逆用计算即可． （2）根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可． （1）解：． （2）解：． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期中）若，，则的值等于（   ） A．6 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查同底数幂的除法，积的乘方，逆用幂的运算法则，将 表示为 ，再代入已知值计算 解：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：D. 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 解：∵，， ∴ ， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期末）已知，，则 ． 【答案】71 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法的逆用， 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知值的组合，然后代入计算． 解：因为，， 所以，， 所以． 故答案为：71． 【知识点九】零指数、负整数指数 ★【题型 9】零指数、负指数的运算 【例题9】（北师大版七下第9页练习第8题改编）（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查零次指数幂、负整数指数幂、绝对值，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据二次根式、绝对值的性质、有理数的加减法法则、零指数幂法则、乘方法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂法则、积的乘方、有理数的加减法法则进行计算即可． （1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂和乘方运算，分别计算 a、b、c 的值，然后比较大小即可． 解：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·重庆开州·期中）计算： ． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂和绝对值的计算．正确计算是解题的关键．先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后进行加减运算． 计算：， ， ． 因此，原式故答案为：10. 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、零次幂，关键是注意计算顺序，掌握计算公式． （1）先算乘方，负整数指数幂，再算乘法即可； （2）先算乘方，负整数指数幂，再算除法即可； （3）先算负整数指数幂和零次幂，再算加法即可； （4）先算负整数指数幂和零次幂，再算减法即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 【知识点十】用科学记数法表示小于1的数 一个小于1的正数可以表示为的形式,其中，是负整数。 ★【题型 10】科学记数法表示小于1的数 【例题10】（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有． (1)用科学记数法表示上述三个数据． (2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． （1）根据科学记数法的定义表示各数即可， （2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可． （1）解：， ， ． （2）解：． 答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）一个虫子的质量约是克，用科学记数法表示这个虫子的质量为 ． 【答案】克 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 解：克克， 故答案为：克． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）年月日，清华大学方璐教授团队成功研制全球首款亚埃米级快照光谱成像芯片“玉衡”，该芯片能在米至米的宽光谱范围内实现千万像素级光谱成像．用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 将小数转换为科学记数法，需确定小数点移动的位数和方向，然后即可求解； 解：∵ 的小数点向右移动7位得到4， ∴ ， 故选：D； 【变式3】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．根据科学记数法的定义解答即可． 解：， 故选：C． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 11】幂的运算法则辨析 【例题11】（25-26八年级上·四川德阳·期末）下列计算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，掌握以上运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，逐项分析判断即可求解． 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列运算：①，②，③，④ ，其中结果正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘除，积的乘方，利用相关知识分别计算各式即可． 解：① ∵ ，∴ 错误； ② ∵ ，∴ 错误； ③ ∵ ，∴ 正确； ④ ∵ ，∴ 错误． 综上，只有1个正确． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整幂的运算、合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘，幂的乘方的法则以及熟练运用． 根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方的运算法则依次判断即可． 解： A、，因为不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B、由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，故此选项正确，符合题意； C、由幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以，故此选项错误，不符合题意； D、由幂的乘方，底数不变，指数相乘，所以，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算及幂的相关运算． 通过逐项计算验证即可． 解：对于A：∵ ，∴ ，错误，不符合题意； 对于B：∵ ，错误，不符合题意； 对于C：∵ 和 不是同类项，不能合并为 ，错误，不符合题意； 对于D：∵ ，又∵ ，∴ ，正确，符合题意； 故选：D． ★★【题型 12】幂的综合运算 【例题12】（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． （1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． （1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·月考）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了幂的运算法则和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过同底数幂相乘和幂的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）把看作整体，再用幂的乘方和合并同类项进行解答； （3）变形后逆用积的乘方进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘法最后计算加减法即可． （1）解： （2） （3） （4） ★★【题型 13】幂的逆运算综合 【例题13】（25-26八年级上·新疆阿克苏·月考）计算： (1)已知求的值； (2)已知，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用． （1）逆用同底数幂的除法法则计算即可； （2）先逆用同底数幂乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． （1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）已知，，，现给出，，之间的五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中正确的关系式是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方法则是解题的关键．根据幂的运算验证每个关系式，利用同底数幂的乘法、除法、幂的乘方的运算法则及逆运算法则计算指数表达式是否相等即可． 解：∵， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； ∴正确的关系式为①②③⑤． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃定西·月考）已知，，为正整数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查指数运算的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用指数运算的性质，将表示为，再代入已知条件计算即可． 解：∵，， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方逆用，同底数幂乘法和除法的逆用，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则． 三.中考真题专练 （一）选择题（5题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，正确运算是解题的关键．从左到右先进行同底数幂的乘法运算，再进行同底数幂的除法运算即可． 解：, 故选：D． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 解：， ， 故选：A． 3．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 4．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案． A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 5．（2025·四川资阳·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则．根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则逐一进行判断即可． A．合并同类项时，系数相加，字母部分不变，正确结果为，故A错误． B．合并同类项时，系数相减，结果为，故B错误． C．幂的乘方运算法则为底数不变，指数相乘，即，故C正确． D．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故D错误． 故选C． （二）填空题（5题） 6．（2025·四川广元·中考真题）2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功．此次发射任务，火箭的入轨速度要达到千米/秒，用科学记数法表示这个速度为 米/秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 解：千米/秒米/秒米/秒， 故答案为：． 7．（2025·江苏常州·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据幂的乘方求解即可． 解：由题意得，， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 解： 故答案为：0 9．（2025·四川乐山·中考真题）已知：，则， ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （三）解答题（1题） 11．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $