6.3.1&6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示【十二题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019

6.3.1&6.3.3　平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 考点三 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点三：平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 【例1】．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【举一反三】 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型二：基底表示向量问题 【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 题型三：平面向量基本定理秋求参数问题 【例3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 题型四：平面向量共线定理证明共线问题 【例4】．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【举一反三】 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 题型五：平面向量共线定理推论 【例5】．（24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津·月考）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 题型七：平面向量线性运算的坐标表示 【例7】．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型八：由向量线性运算结果求参数 【例8】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【举一反三】 1．（21-22高一下·江苏盐城·月考）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 3．（25-26高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量. 求满足的实数； 设，满足.且，求向量. 题型九：由向量线性运算解决几何问题 【例9】．（20-21高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（20-21高一下·重庆·期末）在等边三角形中，，，为线段上一点，且，则实数的值为 . 3．（21-22高一下·重庆北碚·月考）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 题型十：利用坐标求向量的模 【例1】．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 【举一反三】 1．（2022·宁夏吴忠·三模）已知向量，，则 . 2．（23-24高三上·陕西榆林·月考）已知平面向量，则 . 3．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 题型十一：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例11】．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【举一反三】 1．（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 2．（22-23高三上·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 3（2023高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    题型十二：平面向量坐标的综合问题 【例12】．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【举一反三】 1．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 2．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 二、多选题 7．（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 9．（24-25高一下·河南濮阳·期末）如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 10．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是（    ） A．且 B．存在相异实数，，使 C．（其中实数x，y满足） D．， 三、填空题 12．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 15．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ． 四、解答题 16．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 17．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 18．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设.    (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 19．（23-24高一下·江苏南通·月考）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 20．（23-24高一下·北京·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.1&6.3.3　平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点二：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 考点三 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识点三：平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【题型归纳】 题型一：基底的概念问题 【例1】．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【详解】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【详解】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 3．（24-25高一下·河南·期中）若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（   ） ①和                ②和 ③和                    ④和 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解. 【详解】对于①中，由和，可得， 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量； 对于②中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于③中，设，可得，方程组无解， 所以和不共线，可以作为一组基底向量； 对于④中，设，可得，解得 所以和是共线向量，不能作为一组基底向量. 故选：B. 题型二：基底表示向量问题 【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 3．（24-25高一下·广东汕尾·期末）如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意：. 故选：C 题型三：平面向量基本定理秋求参数问题 【例3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ，，，是线段上一点， 三点共线， ，解得. 故选A. 【举一反三】 1．（25-26高三上·江西·期中）在中，是的中点，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可求的值. 【详解】因为D是BC的中点，所以， 所以，又， 所以， 所以， 又，所以，. 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得，所以.故选：B 3．（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 题型四：平面向量共线定理证明共线问题 【例4】．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【举一反三】 1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【详解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 2．（24-25高二下·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量平行得出，再结合向量的线性运算 计算证明即可. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则，故． （2）设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 有公共点，故，，三点共线． 3．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则，.    （2）由（1）知，，， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 题型五：平面向量共线定理推论 【例5】．（24-25高一下·天津·月考）在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量共线定理表示出，，从而求出，即可求得． 【详解】设，因为B，F，E共线，所以， 又，所以， 又因为， 所以，解：，即， 所以，代入得， 解得，则有． 故选：B． 2．（24-25高一下·广东·月考）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 3．（24-25高一下·山西太原·期中）已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为（    ） A．9 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据三点共线可求的关系式，再结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故选：B. 题型六：平面向量的坐标表示 【例6】．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标. 【详解】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为. 故选：A. 2．（23-24高一下·天津·月考）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可知，继而得到，由此即可解出点坐标. 【详解】由题意知与的长度相等，方向相反， 所以， 又因为， 设，则， 所以，解得，即， 故选：A 3．（22-23高一下·吉林四平·月考）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 题型七：平面向量线性运算的坐标表示 【例7】．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 【举一反三】 1．（24-25高一下·广东河源·期末）如图，在梯形中，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，， ，， 设，，，解得， ，，. 故选：D. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 3．（24-25高一下·广西·月考）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件可得，再利用求得坐标． 【详解】由点在线段的延长线上，且，得， 因此, 所以点P的坐标为. 故选：A 题型八：由向量线性运算结果求参数 【例8】．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【举一反三】 1．（21-22高一下·江苏盐城·月考）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：      设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故. 故选：C 2．（24-25高一下·湖北·月考）已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）计算出，利用线性运算得到； （2）根据向量运算法则得到方程组，求出； （3）计算出，得到，同理得到，得到的坐标. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以， 解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． 3．（19-20高一上·辽宁·期末）平面内给定三个向量. 求满足的实数； 设，满足.且，求向量. 【答案】     或. 【解析】（1）根据即可得出，从而得出，解出，即可； （2）根据，，得到方程组，解得. 【详解】解: 且 又，， ，解得或， 所以或. 【点睛】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题． 题型九：由向量线性运算解决几何问题 【例9】．（20-21高一下·江苏南京·期末）在中，，，，D是内一点，且设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项. 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系 则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)    ∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m， m)(m≠0) 则λ＝m，且μ＝m， ∴，即 故选：B 【举一反三】 1．（20-21高一下·天津南开·期末）如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】 建立如图示坐标系，由则有： 因为E为上一点，可设 所以. 因为，所以，即，解得：，所以. 由得： ，解得：，所以. 故选：D 2．（20-21高一下·重庆·期末）在等边三角形中，，，为线段上一点，且，则实数的值为 . 【答案】 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 不妨设，由题知，，， 由在上，设，， ，， ∵，∴，， 解得. 故答案为： 3．（21-22高一下·重庆北碚·月考）在中，，AB=6，AC=4，点P、Q满足，，直线CP与BQ交于点，M为线段的中点，则线段CM的长等于 【答案】 【分析】根据题意建立适当的直角坐标系，求出相应点的坐标即可求得的长. 【详解】根据题意，以点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意求得，，，，， 则所在的直线方程为，即； 所在的直线方程为，即； 联立所在的直线方程与所在的直线方程得，解得， 由中点坐标公式得，即. 由两点之间得距离公式得， 故答案为：. 题型十：利用坐标求向量的模 【例1】．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据平面垂直向量的坐标运算求出，利用平面向量模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 即. 所以， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2022·宁夏吴忠·三模）已知向量，，则 . 【答案】 【分析】直接应用向量的坐标运算公式求模. 【详解】由题，所以. 故答案为：. 2．（23-24高三上·陕西榆林·月考）已知平面向量，则 . 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知向量，，若，则k= . 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算求得的坐标，根据求模公式建立方程，解出即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则， 解得. 故答案为： 题型十一：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例11】．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    【举一反三】 1．（23-24高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 2．（22-23高三上·湖南长沙·月考）如图，在直角梯形中，，是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a），写出各点坐标，结合向量加法以及模的坐标运算，运用二次函数的知识即可求出最小值. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设a）， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以当，即时，的最小值为6. 故答案为：6 3（2023高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 题型十二：平面向量坐标的综合问题 【例12】．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 【举一反三】 1．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 2．（22-23高一下·重庆·期末）如图，在中，分别为的中点，为与的交点，点在上，且.设.    (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算和基本定理，可推得的值； （2）根据题设，建立基底，将向量，分解为基底表示，再进行数量积运算. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 因为三点共线，故可设， 又因为， 由平面向量基本定理，可得，解得； （2）因为分别为的中点，所以， 所以相似于，由（1）知， 所以， 所以， 由，可得， 所以， 故， 所以， 因为， . 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，在直角梯形OABC中，，，，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点.    (1)用和表示； (2)以O为原点，和方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，当P为BC中点时，写出点M，P，D的坐标； (3)设，求的取值范围. 【答案】(1) (2)，，. (3)答案见解析 【分析】（1）根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得； （2）建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. （3）由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解. 【详解】（1）依题意，， ， ； （2）    以O为坐标原点，以OA、OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，，， 由，可得，又P是BC中点，可得， 又，因为A、C、D三点共线，所以，解得，所以， ∴，则. （3）由已知， 因P是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有， ， ，在上递增， 所以， 故的取值范围是. 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 2．（25-26高三上·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合已知条件列式计算求解. 【详解】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，则，且，， 若， 则，则. 故选：D. 4．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量与正半轴夹角为，则，由题可知，利用三角和角公式求值即可. 【详解】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. 5．（23-24高三上·河北保定·期末）已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解.. 【详解】因为，，， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A. 6．（23-24高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，求出三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可 【详解】    如图，，又扇形的半径为，所以， 即， 所以， 由，得， 所以， 故选：B 二、多选题 7．（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 8．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接，为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线，， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 9．（24-25高一下·河南濮阳·期末）如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】BCD 【分析】结合向量线性运算法则利用，，表示，判断A，结合数量积的运算律求，判断B，结合数量积的运算律和定义求，判断C，根据投影向量的定义求在上的投影向量，判断D， 【详解】对于A，由已知， 所以，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确； 故选：BCD. 10．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 11．（22-23高一下·河南南阳·期中）已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是（    ） A．且 B．存在相异实数，，使 C．（其中实数x，y满足） D．， 【答案】ABD 【分析】对于A选项，可直接解出，则，共线；对于BD选项，由向量共线定理即可判定；对于C选项，当时，不一定成立； 【详解】对于A选项，因为且，解得，此时一定能使，共线，则A选项正确； 对于B选项，存在相异实数，，使，由向量共线定理即可判定，共线，故B选项正确； 对于C选项，当时，，不一定共线，则C选项错误； 对于D选项，，由向量共线定理即可判定，共线，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 【答案】 【分析】利用基底向量表示向量，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 故答案为：. 13．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 【答案】 【分析】根据中点向量公式得，将代入求解即可. 【详解】由，得， 因为点E是CD的中点，所以. 故答案为： 15．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 四、解答题 16．（23-24高一下·天津河西·期中）已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 17．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 18．（25-26高二上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在平行四边形中，，点为中点，点在线段上，满足，设.    (1)用向量表示向量； (2)若，求； (3)若，求. 【详解】（1）因点为中点，点在线段上，满足， 可得，， 故； （2）由（1）得，所以， 因为，所以， 解得. （3）由题意知， ， 所以， 所以. 19．（23-24高一下·江苏南通·月考）设是平面直角坐标系内的四点，已知点. (1)若，求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （2）设，由坐标对应相同可得点的坐标； （3）由坐标对应相等得到的值. 【详解】（1）设，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （2）设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为； （3）， 所以， 因为，所以，解得， 所以. 20．（23-24高一下·北京·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若为中点，连接，交于点，求证. 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系利用向量的坐标表示联立方程组解得； （2）利用三点共线求出，即得. 【详解】（1）如下图，以点为坐标原点，分别以方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 则， 由可得， 即，解得， 因此； （2）易知，设， 易知三点共线，可得，即， 可得，即， 又三点共线，且， 所以，解得，则， 所以，，易知； 即可得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $