利用三角函数解三角形、方位角问题、仰角俯角问题、坡度坡角问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

利用三角函数解三角形、方位角问题、仰角俯角问题、坡度坡角问题专项训练 利用三角函数解三角形、方位角问题、仰角俯角问题、坡度坡角问题专项训练 考点目录 利用三角函数解三角形 方位角问题 仰角俯角问题 考点一 利用三角函数解三角形 例1．（25-26九年级上·河北保定·月考）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， 则， ∴， ∵点E是的中点， ∴； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴， 则 ∵， ∴， 解得， ∵，， ∴， 则． 例2．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如图，在菱形中，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：交于， ∵四边形是菱形， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：四边形是菱形，， ∴菱形的面积， 过点作于， 则 ∴， ∴． 例3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，求． 【答案】 【详解】解：∵， 即， 又∵， ∴， 解得， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 例4．（24-25九年级上·上海金山·月考）如图，已知在中，为锐角，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在直角三角形中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中，； （2）解：过点B作于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，已知，，求，的长和的值． 【答案】，， 【详解】解：∵，， ∴可设，则． ∴，，，， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴． 变式2．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，已知中，，． (1)求边的长和的值； (2)设边的垂直平分线与边，的交点为，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：过点作于点， 则， 在中，， 设，则， ， ， 解得． ，， ， ，； （2）解：垂直平分， ，， 在中，， ． 变式3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，是边上的中线，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点A作于点E， ∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵，是边上的中线 ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 变式4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，是的中线，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵， ∴． 在中，∵，． ∴． 在中，∵，∴． ∴． ∴． （2）如图，过点作于点． ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴，则， ∴． 考点二 方位角问题 例1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）“四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 【答案】小明家点到体育场点的距离为米 【详解】解：如图，过点作于点， 点在点北偏东方向，点在点北偏东方向， ，， ，， 设，则， ，即， 解得， 米， 米， 答：小明家点到体育场点的距离为米． 例2．（25-26九年级上·重庆·期末）元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： (1)求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） (2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：过点作于点，过点B作于点M， 则， 由题意得，， ∴，， ∴， 在中，，米， （米），（米）， 在中，， 米， 米， 答：馆和馆之间的距离是米． （2）解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米， 如图，此时小明，小红分别在，处，连接， 则米，米， ∵小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍， ∴米， 由（1）可知，米， ∴米， 在中，， ， 即， 解得（负值舍去）， 米， 过点作，垂足为， 由（1）可知，（米）， 在中，， （米），（米）， 在中，， 米， （米）． 答：此时小红与游客中心之间的距离是米． 例3．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1) (2)这艘船继续向东航行安全，见解析 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为； （2）解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 变式1．（25-26九年级上·重庆·期末）周末小希和小福计划去公园游玩，如图，，，，在同一平面内，已知公园位于小希家的正东方向，小福家位于小希家的东北方向处，在小福家的南偏东方向有一公交车站，公交车站恰好位于公园的北偏西方向，也位于小希家北偏东方向处．（参考数据：） (1)求小希家与公交车站的距离．（结果保留根号） (2)小福沿的路线前往公园，小希则沿着的路线前往公园，原计划小希与小福同时从自己家出发，结果小希因事耽搁，当小福到达公交车站，并乘上公交车出发时，小希恰好从自己家驾车出发，若公交车与小希驾车的速度之比为3：4（均为匀速运动），请问两人在到达公园前，若两人相距，小希离自己家A多少千米？（结果保留1位小数） 【答案】(1) (2)约千米 【详解】（1）解： 如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，在上截取，连接， 四边形是矩形， ，， 由题意得：，， ， 由题意得：，，， ， ， 设， ，， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 小希家与公交车站的距离为； （2）由题意得：， ， ，， ， ， 设小希从自己家驾车出发的时间为，设公交车的速度为，则小希驾车的速度为， 如图所示，设时，公交车位于点，小希驾车位于点，过点作于点，连接， 由题意得，，， 在中，， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 则此时小希离自己家A约千米． 变式2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 【答案】(1)的距离为海里 (2)168海里 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E， 设海里， ∴， ∴， 由题意得：海里， 海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为海里； （2）解：设乙行驶的路程为s海里，则甲行驶的路程为海里，根据题意得， ， 解得， ∴乙巡逻艇距离D处海里． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米； (2)194.6米． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为M，如图： 由题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， （米） （米）， ∴（米） 在中，，， ∴， ∴， （米）， 答：A、C两地的距离为米； （2）解：当小育跑到一半时，设小才走到点E处，小育走到点F处，设（米），则（米）， 过E作，垂足为N，如图： 在中，，， ∴， ， 在中，， ，， 解得：，（米） 答：小才与点A的距离为194.6米． 考点三 仰角俯角问题 例1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）数学活动课上，老师要求九年级（1）班各学习小组的同学测量操场旗杆的高度，活动过程如下：如图，为测量旗杆的高度，小明在操场平地上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，在线段上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，忽略测角仪的高度．已知米．求点与点的距离以及旗杆的高度（结果保留根号）． 【答案】点A与点D的距离为米，旗杆高度为米 【详解】解：作于点E， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ， 在中， ∵，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴点A与点D的距离为米，旗杆高度为米． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】山高为米 【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，， ∵山坡长为26米，坡度为， ∴设，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 答：山高为米． 例3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，孔明同学周末去神龙湖玩，他看见湖中一小块地上长有漂亮的水杉，旁边有一人问，能隔水测量出水杉的高度吗？孔明说：可以． 活动课题 隔水测量水杉的高度 背景示意图及抽象图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且在同一水平线上． 参考数据 ， 请帮助孔明同学求出水杉的高度（结果精确到）． 【答案】的高为． 【详解】解：如图，作交延长线于E，作交延长线于F， 则． 设， ∵斜坡的坡度， ∴， ∵从A点出发沿斜坡走到达点B处， ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 即的高为． 变式1．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知：，，， ∴，即， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴的长为； （2）解：由题意知：，， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴塔的高度为． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准备利用所学知识测量山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下． 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①小明站在点处，让同学移动平面镜至点处，此时小明在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米．眼睛到地面的距离米； ②测量平面镜至山脚下的距离米； ③小明又站在点处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．（测倾器的高度米，点在同一水平线上，） 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，交于点． ， ． ， ， 四边形是矩形， 米． 设米， 在中，， （米）， 米，米． ， ， ， 即， 解得， （米）． 答：山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米． 变式3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 考点四 坡度坡角问题 例1．（2026·上海长宁·模拟预测）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 例2．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）某登山队从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的竖直高度．，，，在同一平面内． (1)尺规作图：在图中，过点作直线的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求缆车的行驶路线（看作线段）的长．（参考答案：取0.28，取0.60） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意可知，， 在中，，， ， 过点作于点，如图， 四边形为矩形， ， ， 在中，，， ， 即缆车的行驶路线的长为． 例3．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 【答案】(1)仿真树信号塔的高度为20米 (2)C，D两点之间的距离约为米 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，， ∴， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∴仿真树信号塔的高度为20米； （2）解：在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴C，D两点之间的距离约为米． 变式1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】大楼的高度约为96米 【详解】解：如图，延长交于点M，过点A作于点N． 由题意，得， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，， ∴， ， 即， ， ∴， （米）， ∴（米），（米）， 又∵， ∴（米）， ∴（米）． ∴大楼的高度约为96米． 变式2．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 【答案】火箭模型AB的高度为米 【详解】解：过点D分别作，交的延长线于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∵斜坡坡度, 在中，米， （米） ∴（米），（米） ∴（米） ∴（米） 在中， （米） （米） ∴火箭模型AB的高度为米． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 【答案】大树的高度约为14米 【详解】解：根据题意，， ∴， 如图所示，过点作， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∵斜坡的坡比为， ∴，则米， 设米，则米，米， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴大树的高度约为14米． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用三角函数解三角形、方位角问题、仰角俯角问题、坡度坡角问题专项训练 利用三角函数解三角形、方位角问题、仰角俯角问题、坡度坡角问题专项训练 考点目录 利用三角函数解三角形 方位角问题 仰角俯角问题 考点一 利用三角函数解三角形 例1．（25-26九年级上·河北保定·月考）在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，． (1)求线段的长； (2)求的值． 例2．（25-26九年级上·上海徐汇·月考）如图，在菱形中，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 例3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，求． 例4．（24-25九年级上·上海金山·月考）如图，已知在中，为锐角，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 变式1．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，已知，，求，的长和的值． 变式2．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，已知中，，． (1)求边的长和的值； (2)设边的垂直平分线与边，的交点为，，求的长． 变式3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，是边上的中线，． (1)求的长． (2)求的值． 变式4．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，是的中线，，，． (1)求； (2)求． 考点二 方位角问题 例1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）“四川省城市足球联赛”赛季川西赛区，年月日在仁寿县体育场举行眉山射天队雅安队，小明和小刚相约前去观看比赛，如图，仁寿县体育场在处，小明家在处，小刚家在处，在一条直线上，相距米，根据手机导航显示，点在点北偏东方向，点在点北偏东方向，求小明家点到体育场点的距离． 例2．（25-26九年级上·重庆·期末）元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： (1)求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） (2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 例3．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·重庆·期末）周末小希和小福计划去公园游玩，如图，，，，在同一平面内，已知公园位于小希家的正东方向，小福家位于小希家的东北方向处，在小福家的南偏东方向有一公交车站，公交车站恰好位于公园的北偏西方向，也位于小希家北偏东方向处．（参考数据：） (1)求小希家与公交车站的距离．（结果保留根号） (2)小福沿的路线前往公园，小希则沿着的路线前往公园，原计划小希与小福同时从自己家出发，结果小希因事耽搁，当小福到达公交车站，并乘上公交车出发时，小希恰好从自己家驾车出发，若公交车与小希驾车的速度之比为3：4（均为匀速运动），请问两人在到达公园前，若两人相距，小希离自己家A多少千米？（结果保留1位小数） 变式2．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据： ） (1)求的距离（结果保留根号）． (2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？ 变式3．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，四边形是彩云湖公园的环湖步道，点，，，在同一平面内，经测量，点在点的南偏东方向，且、两地相距900米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求两地的距离（结果保留根号）； (2)小育从点出发沿慢跑到终点，同时小才从点出发，沿步行到终点，当小育跑到一半时，两人的直线距离与小才到点的距离之比为，求此时小才与点的距离（结果保留一位小数）． 考点三 仰角俯角问题 例1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）数学活动课上，老师要求九年级（1）班各学习小组的同学测量操场旗杆的高度，活动过程如下：如图，为测量旗杆的高度，小明在操场平地上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，在线段上的点处，测得旗杆顶部的仰角为，忽略测角仪的高度．已知米．求点与点的距离以及旗杆的高度（结果保留根号）． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，） 例3．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，孔明同学周末去神龙湖玩，他看见湖中一小块地上长有漂亮的水杉，旁边有一人问，能隔水测量出水杉的高度吗？孔明说：可以． 活动课题 隔水测量水杉的高度 背景示意图及抽象图 测量方案与测量数据 在水岸边点A处，测得树顶端D点的仰角为，再从A点出发沿斜坡走到达点B处，测得大树顶端D点的仰角为；测得斜坡的坡度．已知点A、B、C、D、M都在同一平面上，且在同一水平线上． 参考数据 ， 请帮助孔明同学求出水杉的高度（结果精确到）． 变式1．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准备利用所学知识测量山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下． 测量对象 山楂树 测量工具 平面镜、皮尺、测倾器 测量方案 ①小明站在点处，让同学移动平面镜至点处，此时小明在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米．眼睛到地面的距离米； ②测量平面镜至山脚下的距离米； ③小明又站在点处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．（测倾器的高度米，点在同一水平线上，） 测量示意图 请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数．参考数据：） 变式3．（25-26九年级上·上海杨浦·期末）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 考点四 坡度坡角问题 例1．（2026·上海长宁·模拟预测）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 例2．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）某登山队从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的竖直高度．，，，在同一平面内． (1)尺规作图：在图中，过点作直线的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)求缆车的行驶路线（看作线段）的长．（参考答案：取0.28，取0.60） 例3．（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）． (1)求仿真树信号塔的高度； (2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，） 变式1．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 变式2．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走到点，此时从点到垂直上升的高度为2米，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，、、在同一水平线上．求大树的高度约为多少米？（参考数据：，） 2 学科网（北京）股份有限公司 $