寒假预习讲义：正比例和反比例（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

寒假预习讲义：正比例和反比例 知识精讲+例题讲解+强化训练 知识精讲 一、正比例的意义及辨识 1、定义与表达式 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 （2）表达式：如果用字母 和 表示两种相关联的量，用 表示它们的比值（一定），那么正比例关系可以表示为： （一定）。 （3）判断关键：一看是否相关联（一种量变化，另一种量也随着变化）；二看比值是否一定。 2、易错点分析 （1）忽略“相关联”：如人的年龄与体重，虽然都在变，但比值不一定，且不构成直接关联，不成比例。 （2）误认为“同增同减”即正比例：必须比值一定。例如：正方形的周长与边长成正比例（ ），但面积与边长不成正比例（ ，不是定值）。 二、正比例的图象问题 1、图象特征 （1）正比例关系的图象是一条经过原点（0,0）的直线。 （2）图象上任意一点的横、纵坐标比值都相等，等于比例常数 。 2、图象应用 （1）读取数值：已知一个量的值，可在图象上找到对应点，读出另一个量的值。 （2）判断关系：若图象是过原点的直线，则两个量成正比例。 三、正比例的实际应用 1、解题步骤 （1）分析题意，找出相关联的量。 （2）判断是否成正比例（比值一定）。 （3）设未知数，列出比例式。 （4）解比例，检验并作答。 2、典型场景 （1）单价一定，总价与数量成正比。 （2）速度一定，路程与时间成正比。 （3）工作效率一定，工作总量与工作时间成正比。 四、反比例的意义及辨识 1、定义与表达式 （1）定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 （2）表达式：用 、 表示两种量， 表示乘积（一定），则 （一定）。 2、易错点 （1）混淆变化方向：反比例是“一增一减”，但必须乘积一定。例如：长方形面积一定，长与宽成反比；但周长一定时，长与宽不成反比例。 五、反比例的实际应用 1、解题步骤 （1）判断两个量是否相关联。 （2）验证乘积是否一定。 （3）设未知数，列反比例式： 。 （2）解方程，作答。 2、典型场景 （1）总量一定，每份的量与份数成反比。 （2）路程一定，速度与时间成反比。 （3）长方形面积一定，长与宽成反比。 （4）工作总量一定，工作效率与工作时间成反比。 六、综合应用与变量求值 1、正反比例辨析 （1）正比例：比值一定，图象为过原点直线，变化趋势同增同减。 （2）反比例：乘积一定，图象为曲线（双曲线），变化趋势一增一减。 2、实际问题建模 （1）先判断比例类型。 （2）建立等量关系。 （3）列比例式求解未知量。 例题讲解 【典型例题1】 （正比例辨识）某种弹簧伸长的长度与所挂物体的质量记录如下： 质量（kg） 1 2 3 4 伸长长度（cm） 0.5 1.0 1.5 2.0 问：弹簧伸长的长度与所挂物体的质量是否成正比例？为什么？ 【解析】 观察数据： ， ， ，比值相等，为定值。因此，伸长长度与质量成正比例。 【跟踪练习】 下表是某汽车行驶时间与路程的记录： 时间（小时） 1 2 3 4 路程（km） 60 120 180 240 判断路程与时间是否成正比例，并说明理由。 【典型例题2】 （反比例应用）一间房子铺地砖，用边长6分米的地砖需要48块。如果改用边长8分米的地砖，需要多少块？（用比例解） 【解析】 （1）分析：房间总面积一定，每块地砖的面积 × 块数 = 总面积（一定），所以每块地砖面积与块数成反比例。 （2）设需要 块。 边长6分米地砖面积： （dm²） 边长8分米地砖面积： （dm²） 列反比例式： 答：需要27块。 【跟踪练习】 用边长2分米的方砖铺地需216块，改用边长3分米的方砖，需要多少块？（用比例知识解） 【典型例题3】 （正比例应用）一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行72千米，4小时到达。返回时每小时行48千米，返回需要多少小时？（用比例解） 【解析】 （1）分析：路程一定，速度与时间成反比例。 （2）设返回需要 小时。 去时路程： （km） 返回时： 或直接列反比例式： （注意：速度比与时间比成反） 更规范写法： 答：返回需要6小时。 【跟踪练习】 小明从家到学校，每分钟走60米，15分钟到达。如果每分钟走75米，多少分钟可以到达？（用比例解） 强化训练 一、填空题 1．如果XY=6，那么X和Y成　 　比例。当X=12时， 则Y=　 　。 2．如果m与n互为倒数，且 那么m与n成　 　比例，a =　 　。 3．文锋在“节约用水”活动中做了一个水龙头出水实验，水龙头出水和所用时间情况如下表： 出水时间/秒 10 20 30 40 50 60 …… 出水量/L 2 4 6 8 10 12 …… 从表中可知，出水量与出水时间成　 　比例关系。你的理由是　 　 4． 一辆自行车，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。当前齿轮转了12圈时，后齿轮转了　 　圈。 5．如图，在平衡架的左侧挂有5个质量为2克的砝码，为使平衡架保持平衡，在右侧第2格处应挂一个质量为　 　克的砝码。 二、判断题 6．成正比例关系的图像是一条直线。(　　) 7．汽车通过一座大桥，车轮的周长和转数成反比例关系。(　　) 8． 1000米的赛跑中，运动员的平均速度与所用时间用反比例。(　　) 9．圆的周长和直径成正比例关系，圆的面积和半径也成正比例关系。(　　) 10．因为今年爸爸的年龄∶壮壮的年龄＝5，所以爸爸的年龄和壮壮的年龄成正比例。(　　) 三、选择题 11．下列各图中，两个量m和n成反比例关系的是(　　)。 A． B． C． D． 12．路程一定时，行驶的速度和时间成(　　)关系。 A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．不能确定 13．下列各种关系中，成反比例关系的是(　　)。 A．三角形的高不变，它的面积和底 B．长方形的面积一定，它的长与宽 C．圆周率一定，圆的面积与半径 D．明明年龄一定，他的身高与体重 14．小李加工一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系(如下图)，下列说法错误的是(　　)。 A．加工零件的个数与工作时间成正比例关系。 B．N表示400个零件。 C．M表示3.2小时。 D．如果有一点P表示5小时做了600个零件，那么点P 一定会和点E、F、G一样在射线I上。 15．世界上最大的立体造型温度计是我国新疆吐鲁番火焰山的“金箍棒”。程程去旅游时为了知道“金箍棒”的高度，测量了同一时刻他自己和“金箍棒”的影长，程程的影长是34厘米，“金箍棒”的影长是240厘米。已知程程的身高为1.7米，则“金箍棒”高(　　)米。 A．1.2 B．12 C．4.8 D．48 四、解决问题 16．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看，是应用了比例的关系。小兰在同一时间、同一地点测量一排树的高度和影长(如下表)。 树高/m 20 15 12 4.5 影长/m 8 6 4.8 1.8 （1）树高和影长两种量成　 　比例关系。 （2）当小兰测得一棵树的影长是3.2m时，这棵树高多少米？(用比例解) 17．阳光小学为美化环境，特意购买了一批杜鹃花，栽在一个长方形的花园里。如果每行栽24棵杜鹃花，可以栽24行，如果每行多栽12棵，那么可以栽多少行？(用比例解) 18．苏绣是中国四大名绣之一，具有图案秀丽、构思巧妙、针法活泼、色彩清雅的独特风格。某绣坊要完成一批刺绣订单，绣娘们每天完成的绣品面积和需要的天数如下表。 每天完成的绣品面积/cm2 20 30 40 需要的天数 30 20 15 （1）绣娘们每天完成的绣品面积和需要的天数成反比例吗？为什么？ （2）如果要用12天完成这批订单，那么绣娘们每天要完成多少平方厘米绣品？ 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 是正比例关系。 解析： ， ， ，比值一定，所以路程与时间成正比例。 【跟踪练习2】答案 设需要 块。 （dm²）， （dm²） 答：需要96块。 【跟踪练习3】答案 设需要 分钟。 路程一定，速度与时间成反比例： 答：12分钟可以到达。 【强化训练】 1．反；0.5 2．反； 3．正；出水量与出水时间的比值一定 4．36 5．20 6．正确 7．正确 8．正确 9．错误 10．错误 11．B 12．B 13．B 14．D 15．B 16．（1）正 （2）解：设这棵树高 xm。 20：8=x：3.2 解得：x=8 答：这棵树高8m。 17．解：设可以栽x行。 （24+12）x=24×24 36x=576 36x÷36=576÷36 x=16 答： 如果每行多栽12棵，那么可以栽 16行。 18．（1）解：20×30=30×20=40×15=600 答：绣娘们每天完成的绣品面积和需要的天数成反比例，因为需要的天数随着每天完成的绣品面积的变化而变化，并且每天完成的绣品面积和需要的天数的积一定。 （2）解：600÷12=50(cm2) 答：绣娘们每天要完成50 cm2 绣品。 1 学科网（北京）股份有限公司 $