第07讲 勾股定理的逆定理及其应用（1个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第07讲 勾股定理的逆定理及其应用（1个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 判断三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 题型六 勾股定理逆定理的拓展问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，点A为小红家的位置，点B为小明家的位置，点C为学校的位置，三地之间的距离如图，已知学校在小明家的正西方向，则小红家在小明家的 方向． 【答案】正北 【分析】根据题中给出的三条边的关系，可知，也就是说这个三角形是直角三角形，而学校在小明家的正东方，所以小红家在小明家的正北方，据此解答即可. 【详解】解：因为，所以小明家、小红家、学校三点构成了一个直角三角形，而学校在小明家的正东方，则小红家在小明家的正北方向. 故答案为 小红家在小明家的正北方向. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方向问题，若三角形三条边的关系满足一条边的平方加上另一条边的平方等于第三条边的平方，据此可判定是直角三角形. 【核心考点一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列哪组数据不能作为直角三角形的三边长（    ） A．3，4，5 B．12，18，22 C．5，12，13 D．15，17，8 【答案】B 【分析】本题主要考查构成直角三角形的条件，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理即可判断能够构成直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理对所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可． 【详解】解：A.∵，∴是直角三角形，故本选项符合题意； B.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； C.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴以1，3，，为三角形三边的三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积边长边长，则，由所给数据可知，结合勾股定理逆定理的知识求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【核心考点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 【例2】（24-25八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 【例3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 【例4】（24-25八年级上·四川·月考）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【核心考点三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，即可得出答案． 【详解】正方形小方格边长为1， ，， ， 网格中的是直角三角形 故选A． 【例2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，先根据网格特点和勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝ 度． 【答案】 【分析】连接、，根据勾股定理以及勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：连接、，如下图： 由勾股定理得，，， ，， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，为直角三角形， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理． 【核心考点四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）在如图三角形中，，那么三角形的形状为（    ）三角形． A．等边 B．锐角 C．直角 D．钝角 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的分类，令，根据已知，利用勾股定理得出，据此可判定，即可得出答案． 【详解】解：如图，令， ，， ， 三角形的形状为锐角三角形， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解． 先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形的面积， 故选：B． 【例3】 （24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，根据阴影部分的面积等于，即可． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， 设阴影部分的面积， ∴， ∴， ∴设阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用和勾股定理的逆定理． 【核心考点五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·月考）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】D 【分析】连接，利用勾股定理求解，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块菜地的面积为， 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理的实际应用，熟练掌握定理及灵活运用是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·广西防城港·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形的稳定性 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m， ∵（3m）2+（4m）2=（5m）2， ∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 【例3】（24-25八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 【核心考点六 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 【例4】（24-25八年级上·四川·月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【变式训练1 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形； (2) 【分析】本题考查用勾股定理判定三角形是直角三角形，根据勾股定理列方程求线段长度； （1）求得即可解答； （2）设，则，证，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理． （1）根据题目所给数据，得出，推出，即可解答； （2）根据勾股定理求出，进而得出，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴菜园的面积扩大了． 【变式训练2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 1．（2025·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论． 【详解】 解：分三种情况考虑（如图所示）： 当∠OAB＝90°时，m＝0； 当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5； 当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 综上所述：m的值可以为0，5，1，4． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 4．（2025·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 【变式训练3 在网格中判断直角三角形】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 故选：C． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，在网格的格点上． (1)分别求出和的长； (2)求出线段，之间的位置关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，二次根式的性质，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 4．（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）利用网格特征画出图形即可； （2）设小正方形的边长为，利用网格特征，根据勾股定理分别求出，，的长，利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练4 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 【答案】150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)四边形ABCD的面积为36 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及四边形面积的计算，解题的关键是连接，将四边形分割为两个直角三角形分别求解． （1）在中，用勾股定理求的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再分别计算两个直角三角形的面积并求和得四边形面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴由勾股定理得， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． ∴四边形的面积 ． 答：四边形的面积为． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 【变式训练5 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．36 C．48 D．12 【答案】A 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接．      在中，，即，，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出是直角三角形是解答此题的关键． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ． 【答案】(3，300°)或(3，120°) 【分析】设中心点为点O，，由勾股定理逆定理可知，且C有两个方向，即可确定C． 【详解】解： 如图：设中心点为点O，在中， ， ， 是直角三角形，且 ∴C的位置为：(3，)或(3，)． 【点睛】本题主要考查了用方向角和距离表示点的位置，勾股定理逆定理，注意分类是解决问题的关键． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 过点作于点，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图，过点作于点 时，正好影响海港， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为5小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度千米/小时． 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)路线更长 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理判定即可； （2）根据勾股定理可求的长度，比较和即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， ， ； （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ， 路线更长． 【变式训练6 勾股定理逆定理的拓展问题】 1．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·月考）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 【答案】A 【分析】先分析三角形是直角三角形的情况，通过比较第三边平方确定三角形形状. 【详解】解：当边长为4cm、5cm的两边为直角三角形的直角边时， 由勾股定理可知42+52=41>36=62 可知当第三边为6cm时，三角形为锐角三角形. 故应选A 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答时是要通过数形结合分析当第三边小于斜边时三角形形状的变化趋势. 2．（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 4．（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）； （2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）； （3）∠BAP=90°； （如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴， 在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=，则P3D=， OP3=P3D-OD=-=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D， 则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6， 易求出P4（2-，0）P6（2+，0） 综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-，0），P5（0，-2），P6（2+，0）． 故选B. 考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，进而根据等面积法求得，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且 ∵， ∴是边上的高， ∵ ∴， 在中， 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，，，， 因为， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 【答案】B 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5， ∴五种正方形纸片的边长分别是1，，，，， 由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积， 当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是， 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是， ∵＞1， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 5．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以为直径的半圆的面积为，可求得，再由勾股定理的逆定理确定为直角三角形，然后借助的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，以为直径的半圆的面积为， 则有，解得， 又∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， 即，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理、半圆的面积等知识，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题关键． 6．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，的每个顶点都在边长为的正方形格点上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】直接根据格点，运用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得：，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形格点中勾股定理及逆定理的运用，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键． 7．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：①， ∴是直角三角形； ②， ， ， ， ， ∴是直角三角形； ③，， ， ∴不是直角三角形； ④， 设，，， ，， ， ∴是直角三角形； ⑤， ，， ， ， 解得：，，， ∴不是直角三角形； 综上所述，可以判定为直角三角形的有3个， 故答案为：3． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键． 通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格． 【详解】解：∵， ∴，即， 同理：， ∴他挖的地基是合格的． 故答案为：合格． 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 10．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 【答案】 【分析】根据勾股定理分别表示出、、、的长度，然后研究之间存在的规律， 【详解】由图可知，、、、……分别为直角三角形的斜边 == 、== 、== 、== …… 由上式可以看出，= 故答案是：； 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和数字规律，解决本题的关键是正确将每条线段的长度用式子表示出来. 11．（24-25八年级下·广西贵港·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 【答案】（1）锐角；（2）的值为13或． 【分析】（1）判断最大数的平方与两个较小数平方和的大小即可； （2）分当最长边为时和当最长边为12时两种情况求解即可． 【详解】（1）92=81，72+82=113， ∵81<113， ∴该三角形是锐角三角形． 故答案为：锐角； （2）当最长边为时， ； 当最长边为12时， ， ∴的值为13或． 【点睛】本题考查了利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状，熟练掌握钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的判断方法是解答本题的关键． 12．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 【答案】米． 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 14．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】检测校训背景墙面（如图所示）的边和边是否分别垂直于边． 【工具】卷尺，长度为厘米的刻度尺． 【数据】测得边A的长为，边的长为，点和点之间的距离为． (1)【问题解决】请你依据测得的数据判断边是否垂直于边，并说明理由． (2)你能仅利用长度为的刻度尺来检验边是否垂直于边吗？请简要说明设计方案． 【答案】(1)边垂直于边，理由见解析 (2)能，设计方案见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握“若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形”是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理，验证与是否相等，判断是否为直角三角形． （2）借助勾股数（如、、），用刻度尺在、上取对应长度的线段，测量端点距离，依据勾股定理的逆定理判断垂直关系． 【详解】（1）解：边垂直于边理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴边垂直于边； （2）解：能．设计方案如下： 在上量取，在上量取，最后测量点，之间的距离，若，则边垂直于边，否则就不垂直．答案不唯一 15．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)B，N之间的距离为36米 (2)珍珍的观点正确 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 勾股定理的逆定理及其应用（1个知识点+6大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 判断三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求解 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 题型六 勾股定理逆定理的拓展问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，点A为小红家的位置，点B为小明家的位置，点C为学校的位置，三地之间的距离如图，已知学校在小明家的正西方向，则小红家在小明家的 方向． 【核心考点一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·四川成都·月考）下列哪组数据不能作为直角三角形的三边长（    ） A．3，4，5 B．12，18，22 C．5，12，13 D．15，17，8 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·月考）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知三角形三边长分别为1，3，，则这个三角形的面积为 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 【核心考点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【例2】（24-25八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【例3】（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川·月考）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【核心考点三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，正方形小方格边长为1，则网格中的是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【例2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为 ． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝ 度． 【核心考点四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）在如图三角形中，，那么三角形的形状为（    ）三角形． A．等边 B．锐角 C．直角 D．钝角 【例2】（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】 （24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【例4】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，是内一点，连接、，且．已知，，，．则图中阴影部分的面积为 ．    【核心考点五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级上·四川达州·月考）如图有一块菜地，经人工测得菜地的四周分别为，，，，则这块菜地的面积为（   ）    A．24 B．30 C．32 D．36 【例2】（24-25八年级下·广西防城港·期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）． A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形的稳定性 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【例3】（24-25八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【核心考点六 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B．C．D． 【例3】（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川·月考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【变式训练1 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少． 【变式训练2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 1．（2025·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 3．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 4．（2025·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【变式训练3 在网格中判断直角三角形】 1．（25-26八年级上·四川成都·月考）在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作 个． 3．（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，，，在网格的格点上． (1)分别求出和的长； (2)求出线段，之间的位置关系． 4．（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【变式训练4 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，四边形中,． (1)连接，求的长． (2)求四边形的面积． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【变式训练5 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（    ）    A．24 B．36 C．48 D．12 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为 ． 3．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为小时，台风中心移动的速度多少千米小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 4．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方处． (1)求证：； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？（参考数据：） 【变式训练6 勾股定理逆定理的拓展问题】 1．（24-25八年级下·黑龙江鸡西·月考）ΔABC的三边长为4cm、5cm、6cm，则ΔABC的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能判定 2．（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是 ； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为 ； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是 三角形． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 4．（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（    ） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 5．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，在 中，，，于点，以为直径的半圆的面积为，那么的长是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，的每个顶点都在边长为的正方形格点上，则的度数为 ．    7．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基 ．（填“合格”或“不合格”） 9．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是 平方厘米．    10．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，为了庆祝祖国70周年大庆，某彩灯工厂设计了一款彩灯.平面上，不同颜色的彩色线段从点发出，恰好依次落到边长为1的小正方形格点上，形成美丽的灯光效果，烘托了快乐的节日氛围.则的长度为 .照此规律，的长度为 . 11．（24-25八年级下·广西贵港·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是______三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，，且这个三角形是直角三角形，求的值． 12．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，小微同学想测量一条河的宽度，出于安全考虑，河岸边不宜到达，她在地面上取一个参考点，发现延长线上的点处有一棵大树，用测距仪测得米，米，米，已知米，请你计算这条河的宽度．（结果保留根号） 13．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 14．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】检测校训背景墙面（如图所示）的边和边是否分别垂直于边． 【工具】卷尺，长度为厘米的刻度尺． 【数据】测得边A的长为，边的长为，点和点之间的距离为． (1)【问题解决】请你依据测得的数据判断边是否垂直于边，并说明理由． (2)你能仅利用长度为的刻度尺来检验边是否垂直于边吗？请简要说明设计方案． 15．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 学科网（北京）股份有限公司 $