第05讲 勾股定理（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第05讲 勾股定理（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与无理数 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 题型七 勾股定理的证明方法 题型八 以弦图为背景的计算题 题型九 勾股定理中的折叠问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，垂足为，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，先根据勾股定理得出，再根据等积法求出． 【详解】解：在中，，，，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 【核心考点一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，以为边作长方形阴影部分，已知该长方形的宽为2，则该长方形的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和长方形面积的计算，熟练掌握勾股定理求直角三角形斜边长度是解题的关键．先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再结合长方形的宽计算其面积． 【详解】解：由勾股定理得，， 则该长方形的面积， 故选：． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于，则，米，由勾股定理得出米，则米，即可得出答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则，米， 在中，米， 由勾股定理得：（米）， （米）， 米， 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，，，，，垂足分别为B、C、D．则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理可得的值，进而可得的值，最后可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【例4】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算，理解题意中线段的关系是关键． 根据题意，运用勾股定理得到，，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【核心考点二 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了实数，解题的关键是掌握实数的性质，利用无理数的定义解答． 【详解】解：在，，，这四个数中，无理数有，，，共计3个， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理得，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∴点表示的数为， 故选：． 【例3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和勾股定理．先根据已知条件求出，再根据勾股定理求出，从而求出，然后根据两点间的距离公式列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：数轴上点B、C分别表示0和2， ， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 或不合题意舍去， ， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，边长为5的正方形中两个相对的顶点A和恰好落在数轴上，以A为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点．若点A表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点表示的数为； 故答案为． 【核心考点三 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·期中）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．7，12，13 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，勾股数是指满足的一组正整数． 选项A和B包含小数，不是正整数；选项D不满足勾股定理；只有选项C满足条件． 【详解】解：∵勾股数定义：三个正整数a、b、c，且满足， 选项A：0.3、0.4、0.5不是正整数，故不是勾股数； 选项B：1.5、2、2.5不是正整数，故不是勾股数； 选项C：8、15、17均为正整数，且， ∴，故C是勾股数； 选项D：7、12、13均为正整数，但，故不是勾股数； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积12，正方形B的面积16，正方形C的面积9，正方形D的面积12， ∴正方形F的面积为：，正方形G的面积为：， 则最大正方形E的面积是：． 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， 故答案为：6． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【答案】     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 【核心考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级下·陕西铜川·月考）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、正方形的面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长， ∴阴影部分面积为， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理．由勾股定理得出，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， 即， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为7， 故答案为：7． 【例4】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且， 由题意可知：，，， ∵， 即， 则， ∴， 解得． 故答案为：． 【核心考点五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理解得的值，再结合正方形的面积公式解题即可． 【详解】在中，，，， 以为一条边向三角形外部作的正方形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝ ． 【答案】18 【分析】根据勾股定理可得a2+b2＝c2，那么a2+b2+c2＝2c2，将c＝3代入计算即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2， ∵c＝3， ∴a2+b2+c2＝2×32＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理，整体代入求值． 【例4】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理可得： 再利用，然后整体代入求解即可. 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是半圆的面积的计算，勾股定理的应用，掌握利用勾股定理的知识计算图形的面积是解题的关键. 【核心考点六 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【例3】（24-25八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【核心考点七 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键． 由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解． 【详解】解：甲同学的方案： 由题意得等腰三角形的直角三角形； 梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积， ， 整理得， 因此甲同学的方案可以证明勾股定理． 乙同学的方案： 大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积， ， ， ， 因此乙同学的方案可以证明勾股定理； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·月考）勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理． 【详解】解：矩形旋转得出矩形， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由题意知：， ， ， ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    【答案】 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】53 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和． 【核心考点八 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【答案】30 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 【例4】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【答案】21 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型．利用勾股定理，求出，从而得到，再由阴影部分的面积等于大正方形的面积减去空白部分面积，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：21 【核心考点九 勾股定理中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，则，平分，再根据三角形周长公式可得的周长，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵在纸片中，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，平分， ∴的周长， 故①②④正确； 根据现有条件无法证明， ∴正确的只有①②④， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形与折叠问题，勾股定理等知识点．根据题意推出是解题关键． 【详解】解：∵，的面积为， ∴ ∴ ∵沿着直线翻折得到， ∴，， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【变式训练1 用勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，等腰三角形中，，底边，腰长为，一动点P以每秒的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是 秒． 【答案】7或25 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 过点B作于点D，根据等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得．设点P运动t秒，则，，分两种情况讨论：①时，根据勾股定理有，据此得到关于t的方程，求解即可；②时，由①同理可求． 【详解】解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴在中，． 设点P运动t秒，则，， 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是7秒； 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是25秒． 综上所述，点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是7秒或25秒． 故答案为：7或25． 3．（25-26九年级上·海南海口·月考）学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作于点，设米，则米，再根据勾股定理求出的值，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可得出结论； （2）用花园的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设米，则米， 在与中，由勾股定理得，， ， 即， 解得，米， （米）， 这块三角形空地的面积为（平方米）； （2）学校修建这个花园需要投资（元）， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山西长治·期末）项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表： 项目 铺设水管的测量和计算 驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算 测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上 测量数据 经测量米，米，于点C，于点D 小组交流 …… 请根据表中数据，求铺设水管的长． 【答案】铺设水管的长米 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先求出，再根据中，，中，，得到，代入解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴中，， 中，， ∴， ∴ 解得， ∴铺设水管的长米． 【变式训练2 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形剪拼的相关知识，熟练掌握勾股定理与无理数是解决本题的关键. 首先根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形；再根据图形可得图乙可以拼一个边长为的正方形，据此进行解答即可. 【详解】解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选A． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，根据坡比等于铅直高与水平距离的比值，求出铅直高，进而利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用（包括在数轴上表示无理数、解决实际几何问题），解题关键是利用勾股定理建立直角三角形的边长关系． （1）在中，用勾股定理算长，即为长，得点表示的数． （2）设绳索长为，用矩形性质得长度，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）在中，， 由勾股定理得 点表示的数是． 故答案为． （2）设绳索的长为， 由题意得 ， 四边形为矩形，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 绳索的长为． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【答案】（1）①，；②；；（2）①；②见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．同时考查了勾股定理的应用，数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （1）①根据大正方形面积是两个小正方形的面积和，可得大正方形的面积，根据勾股定理可得可得小正方形的对角线长； ②依据图2中小正方形对角线长为，原点与之间的距离为，从而可得到点表示的数为，可得点表示的数分别为； （2）①由于大正方形的边长是小长方形的对角线，所以根据勾股定理可得大正方形的边长； ②由①可得小长方形的对角线长为，进而在数轴上以原点为圆心，为半径，即可找到表示的点． 【详解】解：（1）①拼的新的大正方形的面积为， 小正方形的对角线长为， 故答案为：，； ②如图2中小正方形对角线长为， 原点与之间的距离为， 点表示的数为； 点到圆心的距离是， 点表示的数分别为， 故答案为：，； （2）①由图可知大正方形的边长为， 故答案为：； ②如图所示，以原点为圆心，小长方形对角线或直角三角形的斜边长度为半径画弧，交数轴于点，点即为所求．          或 【变式训练3 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分、、、的值，根据面积的变化即可找出变化规律“，依此规律即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2，1，． 3．（24-25八年级·全国·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式； (2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦． 【答案】(1)（49﹣1），（49＋1） (2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，证明过程详见解析 (3)m， 【分析】（1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半； （2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证； （3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1． 【详解】（1）解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）； （2）当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，， 它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）． 如证明（ⅰ）：弦﹣股＝； 如证明（ⅱ）：； （3）当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，． 【点睛】本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． 【答案】(1) (2)正方形，，，的面积分别为：，，， 【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理，列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，， 由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ，，，四个正方形的面积之和正方形的面积， 答：，，，四个正方形的面积之和为； （2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为， 设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得， 较短的直角边为，另一直角边为， 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是：；的面积是：， 同理： 设的边长为，的边长为，则，解得：， 的面积是；；的面积是：， 答：正方形，，，的面积分别为：，，，． 【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键． 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解． 【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、． ∴，， ． ∵是直角三角形，， ∴ ． ∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长， ∴；； ． ∴ ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 【答案】（1）625； （2）；（3）129 【分析】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得出， ，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，然后得到，，然后利用勾股定理求解即可； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，，，然后由（2）得a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积，进而求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积为225，正方形的面积为400， ∴， ∵ ∴正方形的面积； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∵正方形的面积为， ∴ ∴正方形的面积； （3）设1号、2号、3号、4号的面积分别为，，， ∴由（2）得，a正方形的面积， b正方形的面积， c正方形的面积， ∴a，b，c三个正方形的面积和． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【答案】任务一：；任务二：，过程见解析；任务三：；项目总结：钝角，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得；项目总结：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【详解】解：任务一：由题意可知，，， ，， ， 故答案为：． 任务二：由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务三：如图，过点作，交延长线于点， 则， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 【变式训练5 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析，② 【分析】（1）由“商高定理”得出； （2）由“商高定理”得出，，则，，即可得出结论； （3）①连接，设交于交于，由正方形的性质得出，证出，由证得； ②由，得出，则，得出，由（2）可得，由勾股定理得出，推出，代入 ，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在中，中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：在中，， ∴， 同理：， ∴， ∴； （3）①证明：连接，设交于，交于，如图所示： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得：， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的知识；熟练掌握全等三角形的性质以及勾股定理是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山西太原·月考）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． ①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____． ②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明． (3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____． 【答案】(1)是 (2)①79，79；②，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）证△GAB≌△CAE（SAS），得∠ABG＝∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂直四边形的性质，勾股定理，结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：结论：四边形ABCD是垂美四边形． 理由：如图，连接AC和BD， ∵AD＝AB， ∴A在BD的垂直平分线上， ∵CD＝CB， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD， ∴四边形ABCD为垂美四边形； 故答案为：是； （2）①解：∵AC⊥BD， ∴＝1+25+49+4＝79， ＝1+25+49+4＝79， 故答案为：79，79； ②结论：． 理由：∵， ∴， ， ∴； （3）如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式训练6 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【详解】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． (1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)该飞镖状图案的面积是24 (3) 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，得出答案即可． 【详解】（1），且， 即， 则． （2）， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，， 由图得出， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出，再利用求出是解决问题的关键． 【变式训练7 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·河南商丘·月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，用两种不同的方法表示出梯形的面积，可以判断图1可以验证勾股定理；根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理可以判断2可以验证勾股定理． 【详解】解：图1，， ， ， ，故图1可以验证勾股定理； 图2：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， ， ，故图2可以验证勾股定理； 图3的条件不充足，不可以验证勾股定理， 综上，图1、图2可以验证勾股定理，共2个， 故选：C． 2．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 【答案】a2+b2＝c2 【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系． 【详解】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2． 还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）． 由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2， 整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，，，且， 整理得，， ； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 4．（25-26八年级上·广东清远·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）10或22 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 【变式训练8 以弦图为背景的计算题】 1．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理—以弦图为背景的计算题． 先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形的面积，进而利用算术平方根求出边长． 【详解】解：勾， 弦， 股， 小正方形的面积：， 小正方形的边长为：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 【变式训练9 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 3．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 【答案】（1）24；（2），；（3）是，理由见解析；（4）；（5）3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，进而可以计算得解； （2）依据题意，由上面的数据找出规律即可判断得解； （3）依据题意，由即可判断得解； （4）依据题意，由勾股数3，4，5进行判断可以得解； （5）依据题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，借助面积法可以得解． 【详解】解：（1）由题意得，， ． 故答案为：24． （2）由题意，由上面的数据找出规律可得， ，． 故答案为：，． （3）由题意，、、是正整数）是一组勾股数．利用如下： ， 又， ． （4）依据题意，由勾股数3，4，5可以发现， ，， ． 故答案为：． （5）由题意，利用勾股数可得斜边，再由折叠，且，， ， 即． ． ． 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在如图的网格中，在网格上找到格点C，使为等腰三角形，这样的点有（    ）个 A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度． 根据两点间距离公式计算的长度，然后逐一分析选项． 【详解】解：根据两点间距离公式，已知，则： ， ， ， A、，所以．，该选项正确．； B、由选项A可知，该选项正确； C、，所以，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：D． 3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理、列出方程是解题的关键． 设绳索尺，则尺，再根据题意运用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设绳索尺，则尺，尺， 根据题意得：， 所以，解得：， 所以绳索的长为尺． 故选C． 5．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，长方形面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先求出长方形的长和宽，进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 设， 解得， 长方形的面积为． 故选C． 6．（2025·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 【答案】 或1 【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解． 【详解】解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且， 由题意知：， 利用特殊的勾三股四直角三角形来研究， 当，上式不成立， 依次将扩大相同的倍数， 当都扩大4倍时：，等式成立， 故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：； 当时，当时， ， 当时， ， 故答案为：，或1． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键．连接，构造等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得，，由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】延长、相交于点E，根据三角形内角和180°解得，由含30°的直角三角形性质解得的长，在中，由勾股定理解得AE的长，最后由线段的和差解题． 【详解】解：如图，延长、相交于点E， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 【点睛】本题考查含30°直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理依次求出、、的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，， 同理，，， 由题意知，， 点表示的数是． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 【详解】解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 【答案】能通过该隧道 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，取的中点，作于点，连接．设，则．结合勾股定理求出，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 由题意可知：， 在中，由勾股定理，得． ． ． 这辆卡车能通过该隧道． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察如图，每个小正方形的边长均为1    (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)17 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、无理数基本作图等知识点，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可； （2）利用勾股定理和实数的知识作图即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的面积是。 故答案为：17。 （2）解：如图：点P表示的数为.    13．（24-25八年级下·贵州遵义·月考）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 勾股定理（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 勾股定理与无理数 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型六 利用勾股定理证明线段平方关系 题型七 勾股定理的证明方法 题型八 以弦图为背景的计算题 题型九 勾股定理中的折叠问题 知识点一：勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）下列四组数中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 知识点二：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么. 勾股定理的变式：. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中； 2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在中，，，垂足为，，，则 ． 知识点三：勾股定理的证明 1.证法一 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形. 由图示可得，即； 2.证法二 如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形. 由图示可得，即； 3.证法三 如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. 由图示可得，即. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期末）下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【核心考点一 用勾股定理解三角形】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，以为边作长方形阴影部分，已知该长方形的宽为2，则该长方形的面积为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（   ）米． A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，，，，，垂足分别为B、C、D．则 ． 【例4】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为 ． 【核心考点二 勾股定理与无理数】 【例1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了，，，．在这四个数中，是无理数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在数轴上点B、C分别表示0和2，，，若数轴上点A所表示的数为a，则 ． 【例4】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，边长为5的正方形中两个相对的顶点A和恰好落在数轴上，以A为圆心，长为半径画圆，与数轴交于点．若点A表示的数为，则点表示的数为 ． 【核心考点三 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级上·河北保定·期中）下列各组数为勾股数的是（　　） A． B． C．8，15，17 D．7，12，13 【例2】（25-26八年级上·四川成都·月考）如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 【例3】（25-26八年级上·四川成都·月考）如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·假期作业）能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 【核心考点四 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级下·陕西铜川·月考）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 【例2】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（   ）      A．5 B．6 C．7 D．无法计算 【例3】（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在直角三角形中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【例4】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【核心考点五 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝ ． 【例4】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为则等于 ． 【核心考点六 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【例4】（24-25九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【核心考点七 勾股定理的证明方法】 【例1】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ） A．甲 B．乙 C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以 【例2】（24-25八年级上·江苏南京·月考）勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过 种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为 ． 【核心考点八 以弦图为背景的计算题】 【例1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 【例3】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【例4】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积 【核心考点九 勾股定理中的折叠问题】 【例1】（25-26八年级上·贵州毕节·月考）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，在纸片中，，将纸片按图示方式折叠，使点A恰好落在斜边上的点E处，为折痕，则下列四个结论：①平分；②；③；④的周长为4，其中正确的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 【变式训练1 用勾股定理解三角形】 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，等腰三角形中，，底边，腰长为，一动点P以每秒的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是 秒． 3．（25-26九年级上·海南海口·月考）学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 4．（25-26八年级上·山西长治·期末）项目背景：为了培养学生的动手实践能力，老师组织同学们到劳动实验基地开展了水管铺设方案的实践活动，记录如下表： 项目 铺设水管的测量和计算 驱动任务 利用勾股定理对铺设水管的测量和计算 测量示意图及说明 说明：A，B两点分别表示八（1）班和八（2）班实验基地的位置，点C为自来水的位置，已知，是已铺好的水管，现需沿着路线铺设一段水管，点A，B，D在同一直线上 测量数据 经测量米，米，于点C，于点D 小组交流 …… 请根据表中数据，求铺设水管的长． 【变式训练2 勾股定理与无理数】 1．（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图是甲、乙两张不同的纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（   ） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带． (1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以原点O为圆心，OB为半径作弧，则点C表示的数为_______． (2)应用场景2：解决实际问题． 如图2，秋千静止时，，将它往前推至点C处时，水平距离，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 4．（24-25八年级下·江西赣州·期中）【课本再现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形． ①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______； ②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______． 【知识迁移】 （2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形． ①大正方形的边长为______； ②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）． 【变式训练3 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如下图所示，正方形的边长为2.面积标记为．以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……，按照此规律继续下去，则的值为 ；的值为 ；的值为 ． 3．（24-25八年级·全国·单元测试）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式； (2)根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明； (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为． (1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和． (2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积． 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）【课本再现】为了探究特殊化的问题解决策略，小明从课本的一个数学问题出发，问题如下： 【初步思考】（1）如图1，正方形的面积为225，正方形的面积为400，请你求出正方形的面积； 【深入探究】（2）当三个正方形旋转到如图2所示位置后，正方形的面积为，正方形的面积为，请你求出正方形的面积； 【拓展应用】（3）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为51，2号、3号两个正方形的面积和为39，则a，b，c三个正方形的面积和是多少？请你直接写出答案． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【变式训练5 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 2．（24-25八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图1，在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方．在中，，则．我们定义为“商高定理”． (1)如图1，在中，中，若，，则______； (2)如图2，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、． ①求证：； ②当，时，则的值是______． 4．（24-25八年级上·山西太原·月考）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD． ①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____． ②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明． (3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____． 【变式训练6 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 2．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    3．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 4．（24-25八年级上·山西忻州·期末）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． (1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 【变式训练7 勾股定理的证明方法】 1．（24-25八年级下·河南商丘·月考）下面图形中可以用来验证勾股定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级·全国·假期作业）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是 ． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． (1)对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． (2)如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 4．（25-26八年级上·广东清远·月考）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【变式训练8 以弦图为背景的计算题】 1．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【变式训练9 勾股定理中的折叠问题】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 3．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如：，4，、，12，． 下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题： a b e 3 4 5 5 12 13 7 m 25 t x y （1） ； （2）若为奇数，则　　，　　（用含的代数式表示）； 【知识迁移】 （3）、、是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （4）在中，当，时，斜边的值为 ； 【知识应用】 （5）如图所示，有一张直角三角形的纸片，直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上与重合，则 ． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在如图的网格中，在网格上找到格点C，使为等腰三角形，这样的点有（    ）个 A．5 B．7 C．8 D．10 2．（25-26八年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 5．（24-25八年级下·山西太原·月考）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．（2025·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，点，表示的数分别为0，1．则点表示的数为 ．    10．（24-25八年级下·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形 可知；勾股定理成立； ②由图形 可知；完全平方公式成立； ③由图形 可知；平方差公式成立； ④由图形 可知；公式成立． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察如图，每个小正方形的边长均为1    (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．   13．（24-25八年级下·贵州遵义·月考）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 学科网（北京）股份有限公司 $