江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年人教版七年级数学上册期末模拟试卷1

班级 姓名 使用日期：2026-1 七年级数学第一学期期末模拟试卷1 （满分150分 时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024秋•海门区期末）在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作+3，那么甲队失2个球，记作（　　） A．+2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 2．（2024秋•大名县期中）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是8 B．16的平方根是4 C．不是正数就是负数 D．0.09的算术平方根是0.3 3．（2025春•沈阳期中）如图，下列结论正确的是（　　） A．∠5与∠2是对顶角 B．∠1与∠4是同位角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠1与∠5是内错角 4．（2025秋•城东区校级期中）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间和每天加工的零件个数 B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6立方厘米，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 5．某商品原售价a元，由于销量增加，现提价20%，再加价10元销售，现售价为（　　）元． A．10 B．10 C．10 D．10 6．（2025•南京）实数在数轴上对应点的位置如图所示．下列四个点中，表示1的点可能是（　　） A．P B．Q C．R D．S 7．已知a﹣b＝﹣2，则代数式5（b﹣a）2的值为（　　） A．20 B．﹣20 C．1 D．﹣1 8．已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则∠β的余角可以表示为（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•增城区期末）如图是2026年1月的月历，任意移动图中“H”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（　　） A．77 B．91 C．147 D．161 10．（2025秋•天津期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，…，按照这样的方法拼成的第10个正方形比第9个正方形多出的小正方形个数为（　　） A．17 B．19 C．21 D．23 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2024秋•平远县期末）如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是 　 　 ． 12．（2024春•长沙期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式，正确的改写应为 　 　 ． 13．（2025春•绥棱县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOA：∠EOD＝1：4，则∠BOD＝　 　 °． 14．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，则a+b+c的值为　 　 ． 15．（2025秋•仙桃校级期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　 　 个． 16．（2024秋•海门市期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，则m的值 　 　 ． 三．解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2025春•海安市校级月考）计算： （1）． （2）． 18．（12分）（2025秋•工业园区校级月考）计算或解方程： （1）﹣14+4×[﹣3×（﹣2）2+4]﹣7； （2）； （3）2x+4（2x﹣3）＝6﹣2（x+1）； （4）． 19．（10分）（2024秋•海门市期末）（1）在数轴上有理数a，b，c所对应的点位置如图，化简：|a+b|﹣|2a﹣c|+2|b+c|； （2）已知多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6．化简：4A﹣3B． 20．（12分）如图，货轮O航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C． 按下列要求画图并回答问题： （1）画出线段OB； （2）画出射线OC； （3）连接AB交OE于点D； （4）写出图中∠AOD的所有余角：　 　 ． 21．（10分）（2025秋•大兴安岭期末）如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长． （2）若AB＝a，CD＝b，请用含a、b的式子表示出MN的长． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由． 23．（10分）（2024秋•海门区期末）居民生活用水通常按户计费．如表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（m3） 收费标准（元/m3） 第一阶梯 0～180（含180） 4.5 第二阶梯 180～240（含240） 6 第三阶梯 240以上 a （例如：该城市某户家庭年用水量为230m3，则水费为180×4.5+（230﹣180）×6＝810+300＝1110元） （1）若该城市小明家2024年的年用水量为200m3，则小明家这一年的水费是 　 　 元； （2）已知该城市小颖家2024年的年用水量为300m3，水费为1650元，求a的值； （3）在（2）条件下，若该城市某户居民2024年的年用水量为tm3，这户居民的水费是多少元？（用含t的代数式表示） 24．（12分）（2025秋•石家庄校级期中）观察下列三列数： ﹣1、+3、﹣5、+7、﹣9、+11、…① ﹣3、+1、﹣7、+5、﹣11、+9、…② +3、﹣9、+15、﹣21、+27、﹣33、…③ （1）第①行第10个数是 　 　 ，第②行第15个数是 　 　 ； （2）在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； （3）若在每行取第k个数，这三个数的和正好为599，求k的值． 25．（12分）（2024春•方城县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当旋转角α为 　 　 度时，AD∥BC； （2）在旋转过程中，当0°＜α≤45°时，参考图3，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒，且它的一边与BC平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $班级 姓名 使用日期：2026-1 七年级数学第一学期期末模拟试卷1 （满分150分 时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D C B A C A C 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•海门区期末）在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作+3，那么甲队失2个球，记作（　　） A．+2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果甲队进球3个，记作+3，那么甲队失2个球，记作﹣2， 故选：B． 【点睛】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2．（2024秋•大名县期中）下列说法正确的是（　　） A．的立方根是8 B．16的平方根是4 C．不是正数就是负数 D．0.09的算术平方根是0.3 【分析】根据平方根和立方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：A、，8的立方根是2，因此的立方根是2，故本选项的说法错误； B、16的平方根是±4，故本选项的说法错误； C、当a＝0时，，故本选项的说法错误； D、0.09的算术平方根是0.3，故本选项的说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查实数，掌握实数的定义是关键． 3．（2025春•沈阳期中）如图，下列结论正确的是（　　） A．∠5与∠2是对顶角 B．∠1与∠4是同位角 C．∠2与∠3是同旁内角 D．∠1与∠5是内错角 【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可． 【解答】解：A、∠5与∠2不是对顶角，不符合题意； B、∠1与∠4是同位角，符合题意； C、∠2与∠3不是同旁内角，不符合题意； D、∠1与∠5不是内错角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的定义是解题的关键． 4．（2025秋•城东区校级期中）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间和每天加工的零件个数 B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6立方厘米，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【分析】根据反比例关系的定义，分析各选项中两个量的运算关系，判断其乘积、比值是否为定值或是否为加减关系，进而确定是否成反比例． 【解答】解：根据反比例关系的定义逐项分析判断如下： A、车间计划加工800个零件，加工时间和每天加工的零件个数成反比例，不符合题意； B、社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数，成反比例关系，不符合题意； C、圆柱的体积为6立方厘米，圆柱的底面积与高，成反比例，不符合题意； D、计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额，二者不成比例，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例关系的判断，解题的关键是掌握反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的乘积一定，则成反比例；若比值一定，则成正比例；若为加减关系，则不成比例． 5．某商品原售价a元，由于销量增加，现提价20%，再加价10元销售，现售价为（　　）元． A．10 B．10 C．10 D．10 【分析】先表示出第一次提价20%后的价格，再表示出第二次加价10元后的价格即为答案． 【解答】解：a×（1+20%）+10＝（a+10）元． 故现售价为（a+10）元． 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，正确理解文字语言并列出代数式．注意：提价20%即原来的1+20%． 6．（2025•南京）实数在数轴上对应点的位置如图所示．下列四个点中，表示1的点可能是（　　） A．P B．Q C．R D．S 【分析】利用实数的性质与数轴知识解答． 【解答】解：由数轴图可知﹣a＜a， ∴0＜a＜1， ∴表示1的点在表示a的点与表示的点之间，即可能是点R． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质与数轴知识． 7．已知a﹣b＝﹣2，则代数式5（b﹣a）2的值为（　　） A．20 B．﹣20 C．1 D．﹣1 【分析】根据已知求得b﹣a，再将b﹣a的值整体代入计算可得． 【解答】解：∵a﹣b＝﹣2， ∴b﹣a＝2， ∴5（b﹣a）2＝5×22＝5×4＝20， 故选：A． 【点睛】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用． 8．已知∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则∠β的余角可以表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据∠α与∠β互补可得∠α+∠β＝180°，再表示出∠β的余角90°﹣（180°﹣∠α），然后再把等式变形即可． 【解答】解：∵∠α与∠β互补， ∴∠α+∠β＝180°， ∵∠α＞∠β， ∴∠β＝180°﹣∠α， ∴∠β的余角为：90°﹣（180°﹣∠α）＝∠α﹣90°＝∠α（∠α+∠β）∠α（∠α﹣∠β）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的定义． 9．（2025秋•增城区期末）如图是2026年1月的月历，任意移动图中“H”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（　　） A．77 B．91 C．147 D．161 【分析】设“H”形框框住的七个数的中间数为x，则另外六个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，将七个数相加，可得出七个数之和为7x，代入各选项中的数，可求出x的值，再对照图形，即可得出结论． 【解答】解：设“H”形框框住的七个数的中间数为x，则另外六个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8， ∴七个数的和为x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+8＝7x． A．根据题意得：7x＝77， 解得：x＝11， ∵11在第七列，不符合题意， ∴这七个数的和不可能是77，选项A符合题意； B．根据题意得：7x＝91， 解得：x＝13， ∴这七个数的和可能是91，选项B不符合题意； C．根据题意得：7x＝147， 解得：x＝21， ∴这七个数的和可能是147，选项C不符合题意； D．根据题意得：7x＝161， 解得：x＝23， ∴这七个数的和可能是161，选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10．（2025秋•天津期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形，…，按照这样的方法拼成的第10个正方形比第9个正方形多出的小正方形个数为（　　） A．17 B．19 C．21 D．23 【分析】由题意知，可推导一般性规律为：拼第n个正方形需（n+1）2个小正方形，据此计算求解即可． 【解答】解：第1个正方形需要4＝（1+1）2个小正方形， 第2个正方形需要9＝（2+1）2个小正方形， 第3个正方形需要16＝（3+1）2个小正方形， …， ∴第n个正方形需（n+1）2个小正方形， ∴（10+1）2﹣（9+1）2＝21， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形类的规律探究，正确得出规律是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．（2024秋•平远县期末）如图所示的平面图形绕轴旋转一周，得到的立体图形是 　圆柱　 ． 【分析】根据面动成体，长方形绕直线旋转是圆柱，可得答案． 【解答】解：面动成体，长方形绕一边旋转一周可得圆柱． 故答案为：圆柱． 【点睛】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半． 12．（2022春•长沙期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式，正确的改写应为 　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【点睛】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，如果部分是题设，那么部分是结论，准确找出题设部分和结论部分是解决本题的关键． 13．（2023春•绥棱县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOA：∠EOD＝1：4，则∠BOD＝　30　 °． 【分析】根据对顶角和角平分线定义、已知得出∠EOA：∠EOD：∠BOD＝1：4：1，根据∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°求出即可． 【解答】解：∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC＝∠AOE， ∴∠DOB＝∠AOC＝∠AOE， ∵∠EOA：∠EOD＝1：4， ∴∠EOA：∠EOD：∠BOD＝1：4：1， ∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD180°＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线定义等知识点，能根据已知求∠EOA：∠EOD：∠BOD＝1：4：1是解此题的关键． 14．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，则a+b+c的值为　9　 ． 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+b+c，根据平方根的求法可得答案． 【解答】解：根据题意，可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8； 故a＝5，b＝2； 又∵23， ∴c＝2， ∴a+b+c＝5+2+2＝9， 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 15．（2025秋•仙桃校级期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 　52　 个． 【分析】运用实数记数法和乘方知识进行求解． 【解答】解：由题意得， 1×62+2×6+4 ＝1×36+12+4 ＝36+12+4 ＝52， 故答案为：52． 【点睛】此题考查了用实数表示事件的能力，关键是能准确理解并运用乘方知识． 16．（2024秋•海门市期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，则m的值 　2　 ． 【分析】求出关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0的解，再根据“兄弟方程”的定义列出关于m的方程求解即可． 【解答】解：关于x的方程2x+3m﹣2＝0的解为x， 关于x的方程3x﹣5m+4＝0的解为x， ∵关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”， ∴， 解得m＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元一次方程，理解“兄弟方程”的定义，掌握一元一次方程的解法是解决问题的前提． 三．解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）（2025春•海安市校级月考）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝4﹣3 ＝1 ； （2）原式＝﹣4﹣（1）+3﹣2 ＝﹣41+3﹣2 2． 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．（12分）（2025秋•工业园区校级月考）计算或解方程： （1）﹣14+4×[﹣3×（﹣2）2+4]﹣7； （2）； （3）2x+4（2x﹣3）＝6﹣2（x+1）； （4）． 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1求解即可； （4）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1求解即可． 【解答】解：（1）﹣14+4×[﹣3×（﹣2）2+4]﹣7 ＝﹣1+4×[﹣3×4+4]﹣7 ＝﹣1+4×[﹣12+4]﹣7 ＝﹣1+4×（﹣8）﹣7 ＝﹣1﹣32﹣7 ＝﹣40； （2） ＝﹣8﹣（﹣1） ＝﹣8+1 ＝﹣7； （3）2x+4（2x﹣3）＝6﹣2（x+1）， 2x+8x﹣12＝6﹣2x﹣2， 10x﹣12＝4﹣2x， 10x+2x＝4+12， 12x＝16， 解得：； （4）， 2（5x﹣7）+12＝3（3x﹣1）， 10x﹣14+12＝9x﹣3， 10x﹣2＝9x﹣3， 10x﹣9x＝﹣3+2， 解得：x＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减，掌握相应的运算法则是关键． 19．（10分）（2024秋•海门市期末）（1）在数轴上有理数a，b，c所对应的点位置如图，化简：|a+b|﹣|2a﹣c|+2|b+c|； （2）已知多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6．化简：4A﹣3B． 【分析】（1）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）把A与B代入原式，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）由数轴可得：a＜b＜0＜c，|b|＜|c|＜|a|， ∴a+b＜0，2a﹣c＜0，b+c＞0， 则原式＝﹣a﹣b+2a﹣c+2b+2c＝a+b+c； （2）∵A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6， ∴4A﹣3B＝4（2x2﹣xy）﹣3（x2+xy﹣6） ＝8x2﹣4xy﹣3x2﹣3xy+18 ＝5x2﹣7xy+18． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 20．（12分）如图，货轮O航行过程中，在它的北偏东60°方向上，与之相距30海里处发现灯塔A，同时在它的南偏东30°方向上，与之相距20海里处发现货轮B，在它的西南方向上发现客轮C． 按下列要求画图并回答问题： （1）画出线段OB； （2）画出射线OC； （3）连接AB交OE于点D； （4）写出图中∠AOD的所有余角：　∠AON，∠BOD ． 【分析】（1）根据方向角的定义即可作出； （2）根据方向角定义即可作出； （3）作线段AB，AB和OE的交点就是D； （4）根据余角的定义即可解答． 【解答】解：（1）如图； （2）如图； （3）如图； （4）∠AOD的所有余角是：∠AON，∠BOD． 故答案为：∠AON，∠BOD． 【点睛】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键． 21．（10分）（2025秋•大兴安岭期末）如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点． （1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长． （2）若AB＝a，CD＝b，请用含a、b的式子表示出MN的长． 【分析】（1）利用M，N分别是AC，BD的中点，可以得出MC，DN，再利用线段的和差关系表示即可求出答案； （2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可． 【解答】解：（1）∵M，N分别是AC，BD的中点， ∴MC，DN， ∴MN＝MC+CD+DN17， 故MN的长是17． 答：MN的长是17． （2）由（1）可知， MN， ∵AB＝a，CD＝b， ∴MN， 答：MN的长是． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，点E、F、G分别在BC、AB、AC上，且EF⊥AB，DG∥BC，请判断CD与AB的位置关系，并说明理由． 【分析】由平行线的性质和已知条件可证明CD∥EF，可求得∠CDB＝90°，可判断CD⊥AB． 【解答】解：CD⊥AB．理由如下： ∴DG∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠DCB， ∴CD∥EF， ∴∠CDB＝∠EFB， ∵EF⊥AB， ∴∠EFB＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 23．（10分）（2024秋•海门区期末）居民生活用水通常按户计费．如表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量（m3） 收费标准（元/m3） 第一阶梯 0～180（含180） 4.5 第二阶梯 180～240（含240） 6 第三阶梯 240以上 a （例如：该城市某户家庭年用水量为230m3，则水费为180×4.5+（230﹣180）×6＝810+300＝1110元） （1）若该城市小明家2024年的年用水量为200m3，则小明家这一年的水费是 　930　 元； （2）已知该城市小颖家2024年的年用水量为300m3，水费为1650元，求a的值； （3）在（2）条件下，若该城市某户居民2024年的年用水量为tm3，这户居民的水费是多少元？（用含t的代数式表示） 【分析】（1）利用小明家这一年的水费＝180×4.5+超过180m3的部分×6，即可求出结论； （2）利用该城市小颖家2024年的水费＝180×4.5+（240﹣180）×6+超过240m3的部分×a，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分0＜t≤180，180＜t≤240及t＞240三种情况，利用含t的代数式表示出这户居民的水费即可． 【解答】解：（1）根据题意得：180×4.5+（200﹣180）×6 ＝180×4.5+20×6 ＝810+120 ＝930（元）， ∴小明家这一年的水费是930元． 故答案为：930； （2）根据题意得：180×4.5+（240﹣180）×6+（300﹣240）a＝1650， 解得：a＝8． 答：a的值为8； （3）当0＜t≤180时，这户居民的水费是4.5t元； 当180＜t≤240时，这户居民的水费是180×4.5+（t﹣180）×6＝（6t﹣270）元； 当t＞240时，这户居民的水费是180×4.5+（240﹣180）×6+（t﹣240）×8＝（8t﹣750）元． 综上所述，这户居民的水费是元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出这户居民的水费． 24．（2025秋•石家庄校级期中）观察下列三列数： ﹣1、+3、﹣5、+7、﹣9、+11、…① ﹣3、+1、﹣7、+5、﹣11、+9、…② +3、﹣9、+15、﹣21、+27、﹣33、…③ （1）第①行第10个数是 　+19　 ，第②行第15个数是 　﹣31　 ； （2）在②行中，是否存在三个连续数，其和为1001？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由； （3）若在每行取第k个数，这三个数的和正好为599，求k的值． 【分析】（1）根据规律进行计算便可； （2）设三个连续整数为（﹣1）n﹣1（2n﹣3）﹣2，（﹣1）n（2n﹣1）﹣2，（﹣1）n+1（2n+1）﹣2，根据题意分n为奇数和偶数分别列出方程，根据方程的解的情况进行判断； （3）分k为奇数和偶数，分别列出方程进行解答． 【解答】解：（1）根据规律可得，第①行第10个数是2×10﹣1＝19； 第②行第15个数是﹣（2×15+1）＝﹣31； 故答案为：+19；﹣31； （2）不存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是（﹣1）n（2n﹣1）﹣2， 设三个连续整数为（﹣1）n﹣1（2n﹣3）﹣2，（﹣1）n（2n﹣1）﹣2，（﹣1）n+1（2n+1）﹣2， 当n为奇数时，则2n﹣3﹣2﹣2n+1﹣2+2n+1﹣2＝1001， 化简得，2n﹣7＝1001， 解得，n＝504（舍） 当n为偶数时，则﹣（2n﹣3）﹣2+（2n﹣1）﹣2﹣（2n+1）﹣2＝1001， 化简得，﹣2n﹣5＝1001， 解得，n＝﹣503（不合题意，舍去）， 综上，不存在三个连续数，其和为1001； （3）当k为奇数时，根据题意得， ﹣（2k﹣1）﹣（2k+1）+3×（2k﹣1）＝599， 解得，k＝301， 当k为偶数时，根据题意得， （2k﹣1）+（2k﹣3）﹣3（2k﹣1）＝599， 解得，k＝﹣300（舍去）， 综上，k＝301． 【点睛】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，关键是找出数字规律． 25．（12分）（2024春•方城县期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）． （1）当旋转角α为 　15　 度时，AD∥BC； （2）在旋转过程中，当0°＜α≤45°时，参考图3，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系，并说明理由； （3）当△ADE旋转速度为5°/秒，且它的一边与BC平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【分析】（1）根据平行线的判定定理即可求解； （2）当0°＜α≤45°计算即可； （3）分AD∥BC、DE∥BC、EE∥BC三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD＝30°， ∴α＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15； （2）∠BAE﹣∠CAD＝45°，理由如下： 当0°＜α＜45°时， ∠CAE+∠BAE＝90°，∠CAE+∠CAD＝45°， ∴∠BAE﹣∠CAD＝45°； （3）3s或21s或30s， ①当AD∥BC时，由（1）可知α＝15°， ∴5t＝15， ∴t＝3， ②当DE∥BC时， ∠AFB＝∠D＝90°， ∠BAF＝90°﹣60°＝30°， ∴α＝90°+15°＝105°， ∴5t＝105°， ∴t＝21， ③当AE∥BC时， 则α＝180°﹣30°＝150°， 5t＝150°， t＝30． 综上分析，t＝3或21或30． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置，还注意分类求解，避免遗漏． 1 学科网（北京）股份有限公司 $