精品解析：长沙市望城区第一中学2025-2026学年高三上学期期末质量监测数学试卷

2025-2026-1望城一中高三期末质量监测数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 通过解不等式，得到集合A，进而得出.因为集合中有3个元素，故其子集个数为个. 【详解】由得，则 ， 则的子集个数为个. 故选：D. 【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2或 B. 或 C. 2或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 4. 已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（ ） A. R B. (-，-2） C. （-，-2] D. （-，-1]U[2,+) 【答案】A 【解析】 【分析】先求命题p为真时a的取值范围，再求补集得结果. 【详解】若命题p为真，则， 因此若命题P为假，则a的取值范围为R，选A. 【点睛】求为真时参数取值范围，往往先求p为真时参数取值范围，再求补集得结果. 5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 【答案】A 【解析】 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【详解】由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 故选：A 6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，要想球形材料的表面积最小，则需圆锥的顶点及圆柱的底面圆周在球面上，根据组合体的结构特征及勾股定理列方程求解即可. 【详解】设球半径为，则，解得， 故该球形材料的表面积的最小值为， 故选：D. 7. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 8. 已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义以及性质可得，再利用离心率的式子即可求解． 【详解】作图，设， 则有 解得，因为是双曲线左支上的一点， 所以， 即，解得， 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据得出正弦函数取得最小值时，满足，再结合得出，故A正确；根据正弦函数求出单调递增区间判断B即可；因为，得出，即可得证C；根据图像的平移得出，再求的取值范围即可. 【详解】因为（），且满足， 则，此时，解得， 结合（），当时；故A正确； ，求其单调递增区间即， 化简得，当时， 同理单调递减区间为， 当时，，因此在区间上不单调，故B不正确； 因为，， 故，C选项正确； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 故， 故,， 即，选项D正确. 故选：ACD. 11. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用赋值法令，可求得，再利用二项展开式即可求得系数. 【详解】由各项系数的和为0可知，令，即，解得； 因此的展开式中含有的项为. 故答案为： 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到，即，代入直线l的方程求出直线过定点， 求出圆心到直线的距离的取值范围，再利用弦长公式求出的取值范围. 【详解】因为a，b，c是等差数列中的连续三项，所以， 所以，则直线l的方程为，即， 故直线过定点．由题意可知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，因为直线恒过圆内的定点， 所以的取值范围是，即，弦长是的减函数， 故的最小值为当时取得，即， 的最大值为当时取得，即， 故的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 【答案】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 16. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，由线面平行的性质定理可得，由可证四边形为平行四边形； （2）（i）由余弦定理计算即可求解；（ii）由勾股定理可得，建立空间直角坐标系，根据面面角向量法计算即可. 【小问1详解】 证明：因为，平面，平面， 故平面， 因为平面，平面平面， 则， 又，所以四边形为平行四边形； 【小问2详解】 （i）如图，在四边形中，连接， 由（1）知，故， 由余弦定理，有， 故，解得， 故， （ii）如图，在梯形中，作于， 由， 故，则， 又等腰梯形，，， 故，，则， 又，有，即， 故两两互相垂直，以为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 点在上，故平面即平面， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为． 17. 杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 （1）依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； （2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）算出卡方值，再根据独立性检验提供的表格对照进行判断即可； （2）①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅，先求出，再利用全概率公式进行求解即可；②求出，根据当时，，证明出为常数数列，进一步证明是等比数列，即可求解． 【小问1详解】 解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联． 由列联表中的数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可推断成立， 即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联． 【小问2详解】 解：①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅， 则， 所以， 即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为． ②由题得， 当时，， 所以，故为常数数列． 又，所以，故． 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） （i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值. （ii）是定值， 【解析】 【分析】（1）根据为的中点可求得顶点的坐标，从而可知，根据离心率可求得，进而可得椭圆方程. （2）（i）设出直线的方程及，利用根与系数的关系可得为定值；（ii）求出的横坐标，从而可根据纵坐标得到圆的方程，进而可得所求弦长的表达式，利用根与系数的关系化简即可求解. 【小问1详解】 因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）是定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得. 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1望城一中高三期末质量监测数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 2或 B. 或 C. 2或 D. 或 4. 已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（ ） A. R B. (-，-2） C. （-，-2] D. （-，-1]U[2,+) 5. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 6. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 11. 如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为____________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 16. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点． （1）证明：四边形为平行四边形； （2）已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 17. 杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 （1）依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； （2）在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $