精品解析：湖南长沙市望城区第一中学2025-2026学年高二上学期期末质量监测数学试卷

2025-2026-1望城一中高二期末质量监测数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 A. B. 3 C. D. 4 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知样本数据为，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知向量，则下列结论正确的有（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为2 D. 最大值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高二获胜的概率为______． 13. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 14. 如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：，，，，，，，，，，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． 16. 在中，内角所对边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 17 已知圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求； （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 19. 已知抛物线，过焦点F动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. （1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； （2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1望城一中高二期末质量监测数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数. 【详解】因为， ， 所以，所以的子集个数为． 故选：D． 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可. 【详解】由得：， ∴. 故选：A. 3. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理及条件可得， 即. ， ∴， 由余弦定理得． ∴.选B． 4. 设数列满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 5. 已知样本数据为，该样本平均数为2025，方差为1，现加入一个数2025，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数和方差的计算公式，求得新数据的平均数和方差，即可求解. 【详解】因为样本数据的平均数为，方差为， 现加上一个数，得到新样本的平均数为，方差为， 可得， 由，可得， 则新样本数据的方差为， 所以. 故选：B. 6. 在平面直角坐标系中，由点发出的一条光线射向轴上的点后，经轴反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于轴的对称点，则反射光线所在的直线即为直线，求出直线的方程即可. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 由题意反射光线所在的直线即为直线， ， 所以直线的方程为，即， 即反射光线所在的直线方程为. 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 8. 已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点” （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】联立，可得（*）， 当直线与双曲线只有一个公共点时： 若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意； 若时，由于双曲线的渐近线为，故直线与双曲线的渐近线不平行，则当直线与双曲线相切时， ， 解得， 所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为， 因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知向量，则下列结论正确的有（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，结合垂直和平行的坐标表示，以及向量模的坐标运算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为向量， 对于A，由，因为，即，可得，解得，所以A正确； 对于B，若，可得，解得，所以B正确； 对于C，若，可得，可得，解得，所以C正确； 对于D，若，可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 10. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 11. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为2 D. 的最大值为16 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】由已知条件得， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为______，在一场比赛中高二获胜的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】采用列举法列举出一局比赛中所有基本事件及高一取得胜利的基本事件，根据古典概型概率公式可求得结果；列举出一场比赛中高一获胜的基本事件个数，结合基本事件总数和对立事件概率公式可求得结果. 【详解】设为高一出场选手，为高二出场选手，其中表示段位， 第一局比赛中，有，，，，，，，，，共个基本事件， 其中高一能取得胜利的基本事件为，，，共个， 第一局比赛高一获胜的概率为． 在一场三局比赛中，共有不同的种安排方法， 其中高一能获胜的安排方法为，，，，，，共种， 在一场比赛中高二获胜的概率为． 故答案为：；. 13. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14. 如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：，，，，，，，，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设位于数阵中第行，根据解出正整数的值，确定在数阵中的位置，即可得出的值. 【详解】数阵第行的项数为， 所以第行最后一项在数列中对应的项数为， 设位于数阵第行，则， 又因为，解得， 因为第行最后一项在数列中对应的项数为， 故位于数阵第行第项，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由构造数列，从而利用等比数列求解； （2）利用分组求和法求解，利用等差数列的前项和与等比数列的前项和求解. 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 则，故． 【小问2详解】 由（1）可知，则 ． 第（2）问还可以这样解答： 设数列的前n项和为． 由（1）可知是以为首项，3为公比的等比数列， 则， 故． 16. 在中，内角所对的边分别为，已知 （1）求角； （2）若为边上一点(不包含端点)，且满足， (i) 若，求的长； (ii) 求的取值范围. 【答案】（1） （2）(i) (ii) 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简等式，即可解得. （2）(i)由得，结合题意得，即可得到，由边角关系求得，即求得. (ii)由条件得到边的关系，以及角的取值范围.然后由正弦定理求得，然后由角的取值范围求得结果. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得， ∵，∴，∴， ∴，即，即， ∵，∴. 【小问2详解】 (i)∵，∴， ∴，∴，∴ ∴， ∴ ∴. (ii) ∵，∴，∴， ∵，∴， 由∵点在边上且不包含端点， ∴， 在中，， 在中由正弦定理可得，又∵， ∴， ∵，则，∴， ∴的取值范围是. 17. 已知圆关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于、两点，求； （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，分析可知，直线过圆心，求出的值，即可得出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得弦的长； （3）求出点到直线的距离的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. 【小问3详解】 圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 18. 如图1，在长方形中，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若是线段上一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为？ 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）点是线段靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件得出直线垂直直线所在的平面，进而推出：； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，再运用向量夹角公式即可得解； （3）通过的坐标得到的坐标，再通过二面角的余弦值为，计算可得点的位置. 【小问1详解】 在长方形中，为的中点， 则，平面平面，平面平面， 且平面，由，得， 则平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 过点作平面的垂线，并以此线为轴， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即，解得，取，则， 即， 设直线与平面所成角为， 故有， 故直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ， 则 由点是线段上的一动点， 设， 则， 易知平面的法向量为，设平面的法向量为， 则， 取，得， 由二面角的余弦值为， 得， 两边平方得，整理得， 解得或（舍去），因此点是线段靠近的三等分点， 所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为. 19. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. （1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； （2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，6. 【解析】 【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值. 【小问1详解】 由题意知，设直线的方程为， 由  得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 【小问2详解】 由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $