重点强化三 空间角的求解&重点强化四 几何体的外接球与内切球问题-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

重点强化三 空间角的求解 1.如图，在正四面体ABCD中，E,F分别为 AB和AC的中点，则两条异面直线CE与 DF所成角的余弦值为 ( A B. 6 密 c号 2.在三棱柱ABC-A1BC1中，AA1⊥AB,AA1⊥ h AC.若AB=AC=AA1=1,BC=√2，则异面直线 封 ( 典 AC与B1C1所成的角为 A.60° B.30° 线 C.90° D.45° 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它 的形状可视为一个正四棱锥，以该正四棱锥的 内 高为边长的正方形的面积等于该正四棱锥一个 侧面三角形的面积，则其侧面与底面所成锐角的余弦值为( 不 A.5-1 B.5+1 C.5-1 4 4 D.5+1 6 4.如图，在四棱锥P一ABCD中，PD⊥平面AB CD,四边形ABCD为正方形，AB=2,E为PB的 中点，若直线AE和平面ABCD所成角的正弦值 答 为9，则PD A.1 C.3 D.2 苏 题 5.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E是棱 CC1的中点，则平面AD,E与平面ABCD的交线 A 与直线CD所成角的正切值为 ( A日 D.2 丝 c 北 6.如图，在三棱锥D一ABC中，AD=BC=2,E,F 分别是AB,CD的中点，EF=√3，则AD与BC 所成的角的大小为 7.如图，在长方体ABCD一A'BC'D'中，AB=AD=2√3，AA'= 2√2. (1)求直线BC和直线A'C'所成角的大小； D' (2)求直线AC与平面ABCD所成角的大小. A' D 8.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD 是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2 √2，∠PAB=60°. A D (1)证明：AD⊥平面PAB; (2)求异面直线PC与AD所成角的正切值； (3)求二面角A一PB-D的正切值. 9.如图，点P为平面ABC外一点，AP,AB,AC两两互相垂直，过 AC的中点D作ED⊥平面ABC,且ED=1,PA=2,AC=2,连 接BP,BE,BD,多面体B-PADE的体积是5 31 (1)画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明 理由； (2)求BE和平面PADE所成的角的正切值. 10.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1EF1中，各棱长都为a,O为 B1E的中点. (1)求A,E与平面BCC1B1所成角的正切值； (2)求平面ACO与平面EDD,E,所成的锐二面角的正弦值. E C B 第二部分重点强化卷45 重点强化四几何体的外接球与内切球问题 1.如图，一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个 底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的 直径.如图所示，若球的体积为12π，则圆柱的体积为 () A.8π B.12π C.18π D.24π 2.已知直三棱柱ABC一AB,C1的底面为直角三角形，且两直角边 长分别为1和2√3，此三棱柱的高为√3，则该三棱柱的外接球的 体积为 A B.16x 3 C.32x D.64x 3 3.若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球 和内切球的表面积的比值为 () A.2:1 B.3:2 C.7:3 D.7:4 4.若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表 面积的比值为 A号 B c号 D青 5.已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为16π， 则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为 () A.4π B.6π C.8π D.10π 6.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大 时，球的表面积与圆柱的表面积之差为 ( o A.64π B.48π C.32π D.16π 7.如图，在正四棱台ABCD一A1B1C1D1中，AB =4,A1B1=2,若半径为r的球O与该正四棱 台的各个面均相切，则该球的表面积S= A.4π B.6π C.8π D.10π 46 第二部分重点强化卷 8.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，且圆锥的母线与底面所 成角为60°，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则 圆柱的高是其底面半径的 （) A.√2倍 B.2倍 C.2√2倍 D.3倍 9.端午节是我国的传统节日，其中吃粽子是端午节的一个重要仪 式.粽子形状多样，主要有尖角状、四角状等.四川流行四角状的 粽子，其形状可以看成一个正四面体（由四个全等正三角形围成 的多面体)，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地 看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的 比值为 A分 c D. 10.如图所示的粮仓可近似看作是一个圆锥和圆台 的组合体，圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆 重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥 和圆台的高分别为√5一1、3，则此组合体的外接 球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.28π 11.（多选)正四棱锥P一ABCD的底面积为3，外接球的表面积为 8π，则正四棱锥P一ABCD的体积为 () A. B② 2 C.22 D.√2 12.（多选)《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱 所围成的几何体为牟合方盖（如图所示），已知正方体ABCD A1BCD1的棱长为2，则下列命题正确的是 () D A.正方体ABCD一AB1C1D1的外接球中存在一条直径被截面 A,C,D和截面ACB1三等分 B.正方体ABCD一A1B1C1D1的内切球体积大于该牟合方盖的 内切球的体积 C.正方体ABCD一A,B1C1D1的内切球被平面A1C,D截得的 截面面积为零 D.以正方体的顶点A为球心，2为半径的球在该正方体内部部 分的体积与正方体ABCD一A,B,C1D,的棱切球的体积之比 为吗 13.（多选)在三棱锥P一ABC中，三条棱PA,PB,PC两两垂直，且 PA=PB=PC=2,若点P,A,B,C均在球O的球面上，M为球 面上的一个动点，则 () A.球O的表面积为8π B.O到平面ABC的距离为S 3 C.三棱锥M-PAB体积的最大值为23+2 3 D.存在点M,使MA⊥平面ABC 14.已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球 O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为 15.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，沿AE, EF,AF把这个正方形折成一个四面体，使B,C,D三点重合， 重合后的点记为G.若四面体A一EFG外接球的表面积为牙，则 正方形ABCD的边长为 B 16.连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该 正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 17.已知三棱锥P一ABC的顶点都在球O的球面上，△PAB与 △ABC是边长为2√3的正三角形，平面PAB⊥平面ABC,则球 O的表面积为 18.已知圆锥维的顶点和底面圆周都在球O的表面上，圆锥的底面周 长为2π，若圆锥的侧面展开图为一个半圆，其面积为2π，则球O 的体积等于 19.已知正三棱锥S-ABC,SA=SB=SC=2√5，AB=3,球O与 三棱锥S一ABC的所有棱相切，则球O的表面积为(2)因为G,E分别为A1B1,AB的中点，A1B1∥AB, 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥AB,AA1⊥AC,连接BA1(图略)， 所以A1G∥EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形， AB=AC=AA1=1,∴BA1=√2，CA1=√2，又BC=√2. 所以A1E∥GB,又A1EC平面A1EF,BG中平面A1EF,所以BG∥平面A1EF ∴.△BCA1是等边三角形， 又BGC平面BCHG,GH∥平面A1EF,GHC平面BCHG,且BG∩GH=G, ∴.异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.故选A. 所以平面A1EF∥平面BCHG 3.C如图，O为正四棱锥P一ABCD底面的中心.M为AD 9.解(1)证明：连接AC,,DA⊥DC,DA=DC=2,∴.AC=2√2， 的中点，设AB=2a,PO=h,斜高PM=h',侧面与底面所 又EA=EC=2√2，△AEC为等边三角形，又，DA=DE=2,M是EA的中点， 成的锐角为0，易得PM⊥AD,OM⊥AD,则∠PMO=0, ∴.AE⊥DM,AE⊥MC,DM=√2， 则h2=h2+a2,且cos0=月， 又：DM∩MC=M,DM,MCC平面MCD,∴.AE⊥平面MCD. (2)'平面EAB∩平面ECD=L,∴.lC平面ECD,又L∥AB,AB中平面ECD, 由已知条件可得2=合×2a·,M2-a2=a, .AB∥平面ECD,又ABC平面ABCD,平面ABCD∩平面ECD=CD,∴.AB∥CD, :AE⊥平面MCD,CDC平面MCD,∴.AE⊥CD,又AD⊥CD,AD∩AE=A,AD, .1- (）-，1-og0=s0, AEC平面ADE, .CD⊥平面ADE,又DMC平面ADE,.CD⊥DM, 解得c0s日=5,1（会去负值），故选C 2 又CD∥AB,.AB⊥DM, 4.D连接BD,取BD的中点F,连接EF,AF,如图， 又AE⊥DM,AB∩AE=A,AB,AEC平面ABE,∴.DM⊥平面ABE, 因为E、F分别为PB、BD的中点， :CD∥AB,.C点到平面ABE的距离等于D点到平面ABE的距离，VM-BCE= Ve-aE=VD-ME=3 XSXDM=-3×2 XSAXDM=-}X合×合×2 1 所以EF∥PD且EF=名PD, 因为PD⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD, V2 xABX/2=-号，解得AB=1. 又AFC平面ABCD,所以EF⊥AF, 所以直线AE与平面ABCD所成的角为∠EAF, 10.(1)证明取PD的中点E,连接NE,AE,如图. 因为四边形ABCD是边长为2的正方形， 又N是PC的中点， NE/DC且NE=DC, 所以AF-号AB=E, 又DC∥AB且DC=AB,AM=号AB, 设EF=a,则AE=√AP2+EF2=2+a2,sin∠EAF-E a √a2+2 ,解得a= 3 ∴AM/CD且AM=2CD,NE∥AM, 1,故PD=2EF=2.故选D. 5.A如图，延长D1E与直线DC的延长线相交于F,连 且NE=AM, 接AF, .四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE. 则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF,而CD1 AEC平面PAD,MN中平面PAD,.MN∥平面PAD. ∥CD, (2)解当a=45°时，MN⊥平面PCD,证明如下. ∴.∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线 ,PA⊥平面ABCD,∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， C1D1所成的角， ∠PDA=45°，.AP=AD,AE⊥PD. E是棱CC1的中点，且DD1∥CC,.CD=CF, 又：MN∥AE,∴.MN⊥PD.:PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, .PA⊥CD. ∴tan∠AFD=0-分故选A 又CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,.CD⊥平面PAD. 6.答案60° AEC平面PAD,CD⊥AE,.CD⊥MN.又CD∩PD=D,CD,PDC平面 解析如图(I),取BD的中点G,连接GE,GF. PCD,∴.MN⊥平面PCD 因为BE=EA,BG=GD,所以GE∥AD,GE=2AD=1. 重点强化三空间角的求解 1.B取AE的中，点M,连接MF,MD,则∠MFD为两条异 因为DF=FC,DG=GB,所以GF∥BC,GF=合BC=1. 面直线CE与DF所成的角（或其补角），设正四面体AB 所以∠EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角. CD的棱长为2，则MF-9,DF=5, 在△GEF中，GE=1,GF=1,EF=√3（如图(2）)， 取EF的中点O,连接GO, 在△ADM中，∠MAD=60,AM=号，AD=2, D 则G0LEP,B0ER-号所以m∠B0品-恩 则DM=√AD2+AM2-2AD·AM·cos∠MAD 所以∠EGO=60°，所以∠EGF=2∠EGO=120°， √4+-2×2× 2cos60°=V13 所以异面直线AD与BC所成的角为180°一120°=60° D 所以eas∠MFD-MP+DFE-DMe是+3-是 421 2MF·DF 2x号× 361 故两条异面直线CE与DF所成角的余孩值为行·故选B. E∠ 0 图1 图2 2.A:几何体是棱柱，BC∥B1C1, 则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角. 7.解(1)在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2V3,则A'B'=B'C'=23, 因为BC∥B'C',所以∠A'CB'或其补角为直线BC和直线A'C所成的角， 76参考答案 在R△McB中，Ccar-器-得 又图为∠AC'B'为锐角，所以∠ACB'=平， 所以直线BC和直线A'C'所成角的大小为空。 (2)连接AC,在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD= D' 23, AA'=2√2，则CC=2√2，BC=2√3，因为CC⊥平面AB B CD,所以∠CAC为直线AC'与平面ABCD所成的角， 在Rt△ACC中，tan∠CAC=C CC' D2-- AC √AB2+BC 号又因为∠CAC为锐角，所以 w/12+12 所以直线AC与平面ABCD所成角的大小为。 8.解(1)证明：在△PAD中，AD=PA=2,PD=2N2,AD+PA2=PD,则AD⊥PA 在矩形ABCD中，AD⊥AB. 又PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以AD⊥平面PAB. (2)易知BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角， 在△PAB中，由余弦定理得 PB=√PA2+AB2-2PA·AB·cos∠PAB=√7， 由(1)知AD⊥平面PAB,又PBC平面PAB,BC∥AD, 所以BC⊥PB,所以tan∠PCB=PB=T, BC 2' 所以异面直线PC与AD所成角的正切值为 (3)过，点A作AH⊥PB于H,连接HD,如图， 由(1)知AD⊥平面PAB,又PBC平面PAB,所以AD⊥ PB,又AH⊥PB,AH∩AD=A,AH,ADC平面AHD, 所以PB⊥平面AHD,又HDC平面AHD,所以PB⊥ HD,故∠AHD是二面角A一PB一D的平面角. 由题意可得之·PB:AH=合·AP:AB·sm∠PAB, 由(2)知PB=万，所以AH=3√2L 7 故tan∠AHD=AD=2=2V2I AH3√2I 9 7 所以二面角A-PB-D的正切值为2Y2四 9 9.解(1)如图，延长PE交AC于点F, :AP,AB,AC两两互相垂直，PA⊥平面ABC DE⊥平面ABC,DE∥PA, R器-既=名P与C室合 .C∈PE,C∈AC,PEC平面PBE,ACC平面ABC, ∴.C是平面PBE与平面ABC的公共，点. 又B是平面PBE与平面ABC的公共点， ∴.BC是平面PBE与平面ABC的交线 (2)如图，连接AE.,AP,AB,AC两两互相垂直，∴.AB⊥平面PAC, ∴∠BEA为BE和平面PADE所成的角. :Vs-s=吉-S.RADEP·AB=号×7×1+2》X1XAB=号AB-2 3 又AE=AD+D派-E.am∠BEA-=0-9, 所以B和平西PADE所成的角的正切值为 10.解(1)过A1作A1P⊥E1F1,交E1F1的延长线于点P,连接PE, 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，FF1⊥平面A1B1C1D1E1F1,又A1P C平面A1B1C1D1E1F1,所以FF1⊥A1P, 又E1F1∩FF1=F1,E1F1,FF1C平面EFF1E1,所以A1P⊥平面EFF1E1, 所以∠A1EP为A1E与平面EFF1E1所成的角， 因为平面EFF1E1∥平面BCC1B1, 所以∠A1EP也为A1E与平面BCC1B1所成的角， 由题易知A1F=a,∠AFP=号， 所以PR=号AP-经，所以PE=√E+P吸=。， 所以tan∠A1EP-AP-V39 PE13’ 故A1E与平面BCCB:所成角的正切值为Y9 13 (2)延长AC交ED的延长线于点G,连接D1G, 过C作CH⊥DG,过H作HK⊥DG于K,连接CK, 因为平面EDD1E1⊥平面ABCDEF,平面EDD1E∩ A 平面ABCDEF=DG,CH⊥DG,CHC平而ABC DEF, 所以CH⊥平面EGD1E1,又D1GC平面EGD1E1,所 D 以CH⊥D1G,又HK⊥D1G,HK∩CH=H,HK,CH C平面CHK,所以DG⊥平面CHK,又CKC平面 CHK,所以CK⊥D1G, 所以∠CKH为平面ACO与平面EDD1E1所成的锐二面角的平面角， 由题可得CG=a,CD,-E,DG=2a,DG=5,所以CH-停。.CK=。, 5a, 所以sn∠CKH-8架=，故平面AC0与平面EDD,5所成的锐二面角的正 弦值为√0 41 重点强化四几何体的外接球与内切球问题 1.C设球的半径为R,依题意，R3=12π，解得R3=9,显然，圆柱的底面圆的半径为 R,高为2R,所以圆柱的体积为πR2·2R=2πR3=18π.故选C. 2.C由题意，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体，如图 0 所示， A 2W3 则该长方体的体对角线为√/(2√3)2十(W3)2+12=4, 3 0 设长方体的外接球的半径为R,则2R=4,R=2, 所以该长方体的外接球的体积V=号R3-3.故选C 3.C如图，O1,O2分别为底面中心，O为O1O2的中点，D 为AB的中，点， 02 设正六棱柱的底面边长为2，易得O1D=√3，即该正六棱 柱的内切球的半径r=√3，则OO1=√3，OA2=OO?十 O1A2=7,即该正六棱柱的外接球的半径R=√7， 所以该正六校柱的外接球和内切球的表面积的比值为 A 4元R2:4πr2=R2:r2=7:3.故选C. 0 D 4.B设球的半径为r,则圆锥的高为3r,设圆锥的底面圆的 B 半径为R,则圆锥的轴截面如图所示， 设球心为，点O,在Rt△AOM中，∠AMO=90°，OM=r,AO= AH-OH=2r,sm∠0AM-8-=3,∠0AM=30,R AH·tan∠OAM=√3r,则AB=2R=2√3r, 则圆锥的侧面积为S1=πR·2R=πX√3rX2√3r=6πr2,球O 的表面积为S2=4πr2, C 因此，圆锥的侧面积与球的表面积的比值为3，一=。，故选B 5.C设圆台的上、下底面的圆心分别为O1,O2,内切球的球 0 心为O,圆台与其内切球的轴截面如图所示，其中圆0与等 腰梯形ABCD的腰AD相切于E则AE=AO1,DE=DO2, E 故AD=AO1十DO2, 因为圆台的侧面积为16π，所以π(AO1十DO2)×AD=16π， 故(AO1+DO2)2=16,即AO1+DO2=4,所以圆台上、下两 D 02 个底面圆的周长之和为2π(AO1十DO2)=8π，故选C. 6.D如图，N为底面圆的圆心，M为底面圆上任意一点，连接 OM,MN,ON. 设圆柱底面圆的半径为r,球的半径OM与圆柱底面夹角为 ∠OMN=a,a∈(0，)，则MN=r=4cosa,0N=4sina, ∴.圆柱的高h=8sina, N a M 国柱的侧面积为S=2x·7…h=32x·sin2,a∈(0，受）， 易知当且仅当α=不时，圆柱的侧面积最大，为32元，此时球的表面积与圆柱的表面 积之差为4π×42-32π一2Xπ×(2√2)2=16π.故选D. 7.C如图，其中E,F,M,N分别是AB,CD,C1D1,A1B1的中 N H 点，H,K分别是MN、EF的中点，G是内切球的球心，H,K 分别是内切球和上，下底面的切点，Q是内切球和侧面 CDD1C1的切点， 设内切球的半径为r,由正棱台的结构得HM=1,KF=2, HG=KG=QG=r,易得MQ=HM=1,FQ=FK=2,所以 E MF=3,MG=12+r2,FG2=22+r2,易知∠MGF=90°，所以 MG2+FG2=MF2,即1十r2+4十x2=9,解得r=√2，则该球的表面积S=4πr2=8π. 故选C. 8,B设国拉的高为h,底面半径为，固柱的外接球的半径为R,则R2-(会)》'+口 因为圆锥的母线与底面所成角为60°，所以母线长l=2x 所以圆锥的侧面积为πlr=2πr2, 所以4R2=4[(台)}°+]=4X22,所以（修）+2=2，所以尽=，所以 =2.故选B r 9,C当这个肉丸的体积最大时，肉丸是该正四面体的内 切球. 设正四面体PABC的棱长为a,高为h,内切球的半径为r, 如图，其中D为AB的中点，O为△ABC的中心，O为内切 球的球心， o D 易得cD-号，C0=号cD-月h=r0-Pc-C0 B -( C 设正四面你的表西积为S,则S=4X。=d, F3S△ABC·h, ·3a,解得r=。 中3×5a2合×9。： 124, √6 所以内切球的半径与该正四面体的高的比值为五一6二故选C, 3 10.B设外接球的半径为R,球心为O,圆台较小底面圆的圆心为O1,易知外接球的球 心O在圆台的高上，易得OO+12=R2,O01=√5+2-R, 故R2=1+(W5+2-R)2,解得R=√5， 故此组合体的外接球的表面积为4πR2=20π，故选B. 11.AB因为正四棱锥P-ABCD的底面积为3， 所以底面边长为√3， 因为外接球的表面积为8π， 所以球的半径r=√2. 连接AC,BD交于点O(图略). ①当球心在线段PO上时， 计算得P0=r十√P-OA=2+,/W2)2- - 2 所以正四羧锥P-ABCD的体积为号×3×32_3y, 2 2 ②当球心在线段PO的延长线上时， 计算得P0=1-P-0A=2-J22-（ -, 所以正回粮缘P-ABCD的体软为日X3X号-要 12.AD对于A,易知BD1为正方体ABCD一 D A1B1C1D1的外接球的一条直径，且BD1=2V3, :四边形A1B1CD1为正方形，.A1C1⊥B1D1, 6 BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1C平面A1B1CD1, 、 .A1C1⊥BB1, 又BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1C平面BB1D1, A E D A1C1⊥平面BB1D1,又BD1C平面BB1D1,BD1 ⊥A1C1,同理可证BD1⊥A1D, B C A1C1∩A1D=A1,A1C1,A1DC平面A1C1D,∴. BD1⊥平面A1C1D,设BD1交平面A1CD于点E,则D1E⊥平面A1C1D, V医接#D-AGn=356AGA:DD=专×合×2X2=分 易如△A,CD是边长为2的等边三角形，则S6ASD=吗×(22)=2， 故Vn-AGD=号-SAACD·D,E=2D,E=音每得D,E-2, 3 3 设BD,交平面ACB1于点F,同理可知BF-25BP=EF=D,F-号BD, 3 .正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径BD1被裁面A1CD和裁面ACB1 三等分，A正确； 对于B.由题图易知正方体的内切球内切于牟合方盖， 正方体ABCD一A1B1C1D1内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积，B 错误； 对于C,由A可知，DE1平面A1CD,且D,E=2y5, 3 易知正方体ABCD一A1B1CD1内切球的球心为BD1的中点，不妨记为O,则 OD1=2BD1=5, OE=0D,-D,E=号，易知正方体ABCD-A1BCD,内切球的丰径r=1, .正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球被平面AC1D截得的截面圆半径r'= VP-0B-,∴我面面积为w2=行，C错误； 31 对于D,以正方体的顶点A为球心，2为半径的球在该正方体内部部分的体积恰为 该球体积的日，即为日×弩×23=弩，正方体ABCD-A1BCD棱切球的半径 为号×2E=E,:正方依ABCD-AB,CD,粮切球的体积为红·②- 3 4π 82宝因此，所求体积之比为g222是，D正确，故选AD, 3 参考答案77 13.BCD将三棱锥补成正方体，则该三棱锥的外接球与 该正方体的外接球相同， 所以球0的半径为V22+22+22 =√3.则球O的表面积 2 为12π，A错误； 由正方体的性质可知AB⊥PE,AB⊥DE, 又DE∩PE=E,DE,PEC平面PED, 所以AB⊥平面PED,又PDC平面PED,所以PD ⊥AB, 同理可得PD⊥AC,又AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC,所以PD⊥平面ABC, 设P到平面ABC的距离为h,易知AB=AC=BC=2√2， 由V:r-A=V:装C-AP,得写×5×(2②2.h=号×号×2X2X2,所以 h=23 31 所以0到平面ABC的距离为5-2y3-3,B正确； 33 易知O到平面PAB的距离为1，则M到平面PAB的距离的最大值为√3+1，又 SAPAR=7×2X2=2, 所以三棱维M-PAB体积的景大值为号×2X(3+1D-2Y+2,C正确； 3 易知PD⊥平面ABC,若MA⊥平面ABC,则MA∥PD.因为AO不垂直于PD,所 以MA可以平行于PD,D正确.故选BCD. 14.答案√2 解析如图，设上、下底面互相平行的两对角线分别为 DC,AB, 由球O的表面积为8π可得球O的半径R=√2， 因为正四棱台的上、下底面边长分别是1和2.所以DC =√2，AB=2√2，所以球O的球心正好在AB中，点，所 以OA=OB=OC=OD=√2，所以△ODC为正三角形， 又DC∥AB,所以∠ODC=∠DOA=60°，所以△ODA为正三角形，故此正四棱台 的侧棱长AD=OA=√2. 15.答案 6 解析由题意，折叠后的四面体A一EFG如图所示，设正方形边 长为a,四面体A一EFG外接球的半径为r,则AG=a,EG=FG =受， 易知在折叠后的四面体A一EFG中，GA,GE,GF两两垂直， 所以四面体A一EFG的外接球半径 +()+( =6 2 4, 由2=解得r=子，所以a==×- 6√646 16.答案号 解析不妨设正方体的棱长为2，则正方体内切球的半径R=1,正八面体的棱长 为2， 易知正八面体内切球的球心为正方体的中心O,记正八面体内切球的半径为r, 将正入西体分成8个以0为顶点的三技袋，故8X号×X②X=2X号× 4 (②2X1,解得r二，所以该正入面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 辰-日 78参考答案 17.答案20π 解析根据题意，画出三棱锥P一ABC如图.取AB的中，点 P 为D,连接PD,CD, 易知球心O在Rt△PDC中，过O作OO1⊥CD交CD于 O1,作OO2⊥PD交PD于O2,连接OC. 在等边△PAB中，，PA=AB=PB=2√3，AD=DB, 多C .PD=3,易知O1,O2,分别为△ABC,△PAB的外心，四 边形00D02为正方形，00=0D=号PD=1,0D=1, ..0C=DC-O1D=2. 在Rt△O01C中，OC=√O0+O1C=√5. .球0的表面积为4π×OC2=20π. 18.答案323 27π 解析设母线长为L,底面圆的半径为r,,圆锥的顶点和底面圆周都在球O的表面 上，圆维的侧面展开因的国心角为，面积为2x,2×元×P=2x,解得1=2， 由圆锥的底面周长为2π得底面半径r=1, .圆锥的高为√3， 易知0在圆维的高上，设球的半径为R,可得R2-(W3-R)2十12，解得R=2 珠0的体积为-管×（偏）°-25， 3/ 27元. 19.答案(19-8√3)π 解析取等边△ABC的中心E,连接SE,则SE⊥平面 ABC,连接AE并延长，交BC于点D,则D为BC的中点， 且AD⊥BC, 易知棱切球的球心在SE上，不妨记为点O,连接OD,则 OD即为棱切球的半径， 过点O作OF⊥SA于点F,连接OF,则OF也是棱切球的 半径，设OD=OF=R, 因为SA=SB=SC=2√3，AB=3,AD⊥BC, 所以AD=35,AE=,DE= C 在Rt△SAE中，由勾股定理得SE=√SA2-AE2=√12-3=3，易得∠ASE=30°， 设OE=h, 0D-OE2+ED-2+,S0=3-h,0F=2(3-, 由题意得2+=号3-0，解得h=5-1或A=-1-, 当A=尽-1时，R2=2十-9-2，此时球0的表西积为(19-8V同 当棱切球的半径最大时，切，点为A,B,C,由∠ASE=30°，SA=SB=SC=23,可得 最大半径R=2√3tan30°=2， 当A=-8-1时，R=发+子-早+28>4， 显然不成立，故h=一√3一1舍去. 综上，球O的表面积为(19-83)π. 重点强化五立体几何中的折叠与探索问题 1.D因为在等边△ABC中，点O为底边AC的中点， 所以翻折后OB⊥DO,OB⊥OC, 故二面角D一BO一C的平面角为∠DOC=90°， 故DO⊥OC, 又OB∩OC=O,OB,OCC平面OBC, 所以DO⊥平面OBC. 又BCC平面OBC,所以DO⊥BC.故选D. 2.B由题意得A0LBD.C0LBD由二面角的定义知∠A0C=0,0∈[受，]， ,菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，.AO=CO=4W5, 六点0到AC的距离d=4V3Xcos∠A0C 2 当0=受时，d取得最大值，为43×=26， 当0=暂时，d取得最小值，为4X号=2， 3 .点O到直线AC的距离的取值范围为[2√3,2√6.故选B. 3.C如图，连接EF,CF,且CF交BE于O点，则四边形 D BCEF为正方形， 故CF⊥BE,即PO⊥BE,FO⊥BE, D E 则∠POF为二面角A一BE-P的平面角， 由于BC-BF=1,则FC-2,故FO=P0= 2, 1411 又PF=,所以o∠rOF-PO5CPP-言十言车-3 2PO·FO 2x2x 4 22 故二面角A-BE-P的余孩值为子，故选C 4,B由题意可得AD=AB·tan30°=25， 3 易知∠DAC=∠C,所以CD=AD=23, 31 取AC的中点M,连接DM,则OMLAC,且DM三2CD=S 因为平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,AD ⊥AB,ABC平面ABD, D 所以AB⊥平面ACD,又DMC平面ACD,所以AB⊥DM 又因为DM⊥AC,AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, 所以DM⊥平面ABC,所以DM的长是点D到平面ABC的距离.故选B. 5.B如图2，设点A'在底面BCD中的射影为H,连接CH,AH,BH,则∠A'CH是A' C与平面BCD所成的角，cos∠ACH-是。 在翻折过程中，易知AH⊥BD,因为点A'在底面BCD中的射影为H,所以A'H⊥平 面BCD,又ACC平面BCD,所以A'H⊥AC,又A'B⊥AC,A'B∩A'H=A',A'B,A HC平面A'BH,所以AC⊥平面ABH,又BHC平面A'BH,所以BH⊥AC,故H 在AB的中垂线MN上（如图1）. 在图2中，取A'B的中，点E,连接OE,又因为OA'=OB,所以A'B⊥OE, 又A'B⊥AC,AC∩OE=O.OE,ACC平面EAC, 所以A'B⊥平面EAC,又ECC平面EAC,所以A'B⊥EC, 又E是AB的中点，所以AC=BC所以eas∠ACH-器-记 马知△ABC△MB,所以器品中合-品所以MH-22, 在直角梯形CHM中，CH=V@r-D+a=a-+√4(c-音)+石 4, 从而c03∠ACH-是-是的最小值为平，当且仅当a=时取等号.故选B AC BC A 为H /0 E B B 图1 图2