第八章 单元3 空间直线、平面的垂直 A卷 基础巩固-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点， 连接EF,则EF∥BD,且EF=2BD, 又点M为△ABC的重心，点N为△ACD的重心， ..AM:ME=AN NF=2:1, :MIN∥EF,且MN=子EF,故MN,∥BD. (2)由（①）知，MN=号EF=}BD=2. 15.解(1)证明：取PD的中点O,连接AO,OE. 在△PCD中，O,E分别为PD,PC的中点， ÷OE∥CD.0E=2CD, 0 ",F为AB的中点，四边形ABCD是平行四边形， AF/CD.AF-CD.AF//OE.AF-OE, D .四边形AFEO为平行四边形，.EF∥OA, 又EFt平面PAD,OAC平面PAD,.EF∥平面PAD. (2)取CD的中点V,连接VF,VE,在△PCD中，V,E分别 为CD,PC的中点，VE∥PD, 又VE中平面PAD,PDC平面PAD,VE∥平面PAD. 四边形ABCD是平行四边形，且F、V分别为AB、CD的中点， ∴.AF∥VD且AF=VD, .四边形AFVD为平行四边形，.VF∥AD,且VF=AD=2, 又VF吐平面PAD,ADC平面PAD,.VF∥平面PAD. 又VF∩VE=V,且VF,VEC平面VEF, ∴.平面VEF∥平面PAD. ∴.存在满足题意的点G,且G∈VF,即点G在线段VF(不包括点F)上移动时，可使 平面GEF∥平面PAD, 当，点G运动到，点V时，FG有最大值，最大值为2. 第八章立体几何初步 单元3空间直线、平面的垂直 A卷基础巩固 1.B和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.故选B. 2.C选项A,B中，a与b相交、平行或异面， 选项C中，因为b∥a,所以可过b作一个平面Y,使α∩y=l,则b∥l, 又a⊥l,所以a⊥b. 选项D中，由线面垂直的性质定理，a∥b.故选C 3.C如图所示，连接AC交BD于O, 连接A1O,∠A1OA为二面角A1一BD一A的平面角. 设A1A=a,则A0=2a, 2a, 所以tan∠A1OA=。=2.故选C. 2 4.C设正方形ABCD的边长为a.PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,.PA⊥BC 又，BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, BC⊥平面PAB,直线PC与平面PAB所成的角即为∠CPB,心PB=3, .a=5,解得a=32, √a2+9 3 则四棱锥P-ABCD的体积为号a2×3=18.故选C. 5.C已知PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面， 则PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,A中关系正确. 因为C为圆O上异于A,B的任意一点，所以BC⊥AC, 又因为PA∩AC=A,PAC平面PAC,ACC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,B,D中关系均正确.故排除A,B,D,故选C. 64参考答案 6.C设B1到平面A1BC的距离为d,C到平面A1BB1的距离为h,A, 取AB的中点D,连接CD,BC,因为VB-AB=VC-AB,所以3 1 SAAe·d=号SAAB,·h, 在正三棱柱中，CC1⊥A,C1,在Rt△A,C1C中，易得A1C=√5，同理 A1B=W5,又BC=1, 北C 所以SAx=2×1X52-(合》=型，易得S△A题，=1，D 在正三角形ABC中，D为AB的中点，则CD⊥AB, 又在正三棱柱中，平面ABCL平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CDC 平面ABC,所以CDL平面ABB1A1,即h=CD=1Xsin60°=， 所以号×=甘×1×受解得d=2选C 19 7.BCD对于A,垂直于同一平面的两条直线平行，故A中命题正确； 对于B,不妨取Q,Y为正三棱柱的两个侧面，B为该正三棱柱的底面，则a与Y不垂 直，故B中命题错误； 对于C,若m∥a,a⊥B,则m∥B或mCB或m与B相交，故C中命题错误； 对于D,当a与B相交时，令a∩B=a,mCa,m∥a.则m∥B,在B内作直线n与直线a 相交，此时满足m,n是异面直线，但n与a相交，故D中命题错误.故选BCD. 8.BCD,'ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴.AO⊥平 面BCD, 又BCC平面BCD,.BC⊥A'O, 又BC⊥CD,且DC∩A'O=O,.BC⊥平面A'CD,从而BC⊥A'D,BC⊥A'C 显然，由矩形ABCD,易知A'B⊥A'D. 故选BCD. 9.AD对于A,连接A1B,DC1,在正方体ABCD一 D A1B1C1D1中，AD⊥平面A1B1BA,又A1BC平面 A1B1BA,所以AD⊥A1B,又AB1⊥A1B,AB1∩AD= D A,AB1,ADC平面ADC1B1,所以A1B⊥平面ADC1B1, G 又AC1C平面ADC1B1.所以A1B⊥AC1, 同理可证，D1C、B1C、A1D、BD、B1D1均与AC1垂直，所 A ---士>B1 以与AC1垂直的面对角线有6条，故A正确； 对于B,易知直线AC1与直线AA1所成的角为 ∠C1AA1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1,所以△AC1A 是直角三角形，其中AA1⊥A1C1, 因为在正方体中，AA1≠A1C1,所以直线AC1与直线AA1所成的角不等于45°，故B 错误； 对于C,易得AD⊥平面CC1D1D,所以直线AC1与平面CC1D1D所成的角为 ∠AC1D,易得△AC1D是直角三角形，其中AD⊥DC1,因为在正方体中，AD≠ DC1,所以∠AC1D不等于45°，故C错误； 对于D,取B1D1的中，点G,连接C1G,AG,因为C1D1=C1B1,所以C1G⊥B1D1, 同理可证，AG⊥B1D1,所以∠AGC1为二面角A-B1D1-C1的平面角， 设正方体的棱长为2，则AC1=2√3，GC1=√2， 易得AG=√6，在△GAC1中， 由余弦定理的推论得cos∠AGC1= GC+AG2-AC1_=2+6-12-5 2GC1·AG 2√2X√6 3 所以二面角A一B,D,一C的余弦值为-5故D正确，故选AD 31 10.答案9 解析如图，作AO⊥B于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则 A OC⊥l,则∠ACO为二面角a一l-B的平面角，∠ABC为 AB与L所成的角. 设AB与B所成的角为0，则∠ABO=0, 由图释m0品怨·怨-s血30·血60-停 4 11.答案45° 解析取AD的中，点G.连接PG,BG △PAD是等边三角形，∴.PG⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, PGC平面PAD,∴.PG⊥平面ABCD, .∠PBG为PB与平面ABCD所成的角0. D 易知在△PBG中，PG⊥BG,BG=PG, C ∠PBG=45°，即0=45°. 12.答案40° 解析画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平 E、B晷针 面的截线，1是点A处的水平面的截线，依题意可知 OA⊥l,AB是驿针所在直线，m是鼻面的裁线依题意 G 4m晷面 知，界面和赤道平面平行，鼻针与县面垂直，根据面面 D 赤道40° 平行的性质定理可得可得∥CD,根据线面垂直的定 0 C水平面 义可得AB⊥m. 由于∠AOC=40°，m∥CD,所以∠OAG=∠AOC=40°， 由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°， 所以∠BAE=∠OAG=40°，即县针与点A处的水平面所成的角的大小为40° 13.解(1)证明：由条件可知AE=DE=2√2，AD=4,满足AE2十DE2=AD2,所以 AE⊥DE, 因为PA⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,所以PA⊥DE, 又PA∩AE=A,PA,AEC平面PAE,所以DE⊥平面PAE, (2)易知∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，所以 ∠PDA=45°，又AD=4,所以PA=4, 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以AB⊥PA, 又因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD,APC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, M 取AD的中，点F,过点F作MF⊥PD,垂足为点M,连 接ME, 易得EF∥AB,所以EF⊥平面PAD, 又PDC平面PAD,所以EF⊥PD, B E 又FCEF=F,MF,EFC平面AEF,所以PD⊥平面MEF, 又MEC平面MEF,所以PD⊥ME, 即∠FME是二面角A一PD一E的平面角， 号得EF=A8=2.MF-号FD=E, 所以tam∠FME=票=E, 所以二面角A一PD一E的正切值为√2. 14.(1)证明取AB中点O,连接OD,OC,则有OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD是二面 角C一AB-D的平面角， 设AC=a,周0C=0n=号， D 又CD=AD=AC,.CD=a, ∴.△COD是直角三角形，即∠COD=90°， ∴.二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC. (2)解如图所示，取BD的中，点E,连接CE,OE △BCD为等边三角形，.CE⊥BD, △BOD为等腰直角三角形，∴.OE⊥BD, ,∴.∠OEC为二面角C一BD一A的平面角. 由(1)可证得OC⊥平面ABD,∴.OC⊥OE, ∴.△OEC为直角三角形，∠EOC=90°. 设Bc=-6,得cB-0B=m∠05C-8器-9. 21 故二面角C-BD-A的余弦值为 3 15.解(1)证明：连接BD. 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC. 由直四棱柱的定义可知CC1⊥平面ABCD, 又BDC平面ABCD,所以CC1⊥BD. 又CC1C平面ACC1,ACC平面ACC1,且AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1, 由直四棱柱的定义可知BB1∥DD1,BB1=DD1. 因为E,F分别是棱BB1,DD1的中点，所以BE∥DF,BE=DF, 所以四边形BEFD是平行四边形，则EF∥BD. 故EF⊥平面ACC1. 又EFC平面AEF,所以平面AEF⊥平面ACC1. (2)连接A1E,A1F,过B作BH⊥AD,垂足为H. D C 由直四棱柱的定义可知AA1⊥平面ABCD, 又BHC平面ABCD, B 所以AA1⊥BH. 又AA1C平面ADD1A1,ADC平面ADD1A1,AA1∩ AD=A, 所以BH⊥平面ADD1A1. D 因为AB=AD=2,∠BAD=60°，所以BH=√3. 易得BE∥平面A1AF,所以E到平面A1AF的距离即 为B到平面A1AF的距离，该距离为BH=√3， 易得△AA1F的面积为2×4X2=4,则三棱维E-AAF的体积V,=号×4X,厅 =43 3 设点A1到平面AEF的距离为d,易得AE=AF=2V2,EF=2, 所以△AEF的面积为号×2X√2②)2-12=7，则三棱锥A1-AEF的体积V =专×d=g4 31 又因为V1=V2,所以74_4y,解得d=4y四 33 7 B卷能力提升 1.A由面面垂直的判定定理可得，若lCa,l⊥B,则a⊥B,充分性成立；若lCa,⊥B, 则1与B平行或相交，必要性不成立，所以“1⊥B”是“α⊥B”的充分不必要条件，故 选A. 2.B连接D1C,AC,如图所示， D 在正四棱柱ABCD-A1B1CD1中，易知A1B∥D1C, A ∴.∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角（或补角） 在△AD1C中，易知AD1=D1C=√5，AC=√2， 由余弦定理，得AC2=AD?十D1C2-2AD1·D1C·cos∠AD1C, :co8∠AD,C-⑤)2+(52-2)2-4.故选B. 2·√5·√5 5 3.A由题设知OA⊥OB,即DO1OB,又OCLOB,所D 以二面角D一BO一C的平面角为∠COD,所以 ∠C0D=120°， 分别取OC,CD,OB的中点E,F,C,连接EF, FG,EG, 所以EF∥DO,EG∥BC, B 故异面直线DO与BC所成的角即为∠FEG或其 补角， 设EG=1,则BC=2,0C=OD=3,故EF= 2, 因为∠C0D=120°，0C=D0=-,所以0F=5, 21 易得OB⊥平面COD, 又OFC平面COD,所以OB⊥OF, 在R△G0F中，易得OG=分，又0F=9,所以GF=1, 所以在△FEG中，os∠FEG=EF2EC2-GF=5.故速A 2EF·EG 4.B在△ABC中，由正孩定理得sin∠ACB AB AC BA D C sin∠ABC' 所以n∠ACB=AB·∠ABC2X号 21 0 AC 232, 又AB<AC,所以∠ACB=30°，∠BAC=90°， 即BC为△ABC外接圆的直径，取BC的中点D,则D 为△ABC外接圆的圆心， 连接OD,则OD为三棱锥O一ABC的高. 又三棱锥0-ABC的依积为4g,所以号×号X2X2,5X0D-1,所以OD=2。 3 3 已知A,B,C是该纬线圈上的三点，而A,B,C所在平面与赤道平面平行， 所以这个纬线圈的纬度与∠OCD的大小相等. 在直角三角形0DC中，易得CD=2BC=2,又OD=2, 所以∠OCD=45°.则这个纬线圈的纬度为45°.故选B. 5.A如图所示，因为PC⊥平面ABC,CMC平面ABC,所以 P PC⊥CM,则△PCM是直角三角形， 故PM2=PC2+CMP, 所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小， C ---->B 由条件知AC=4,BC=4√3， 故CM的最小值为2√3， 又PC=4,则PM的最小值为√42+(2√3)2=2√7.故选A. 6.A因为A1D∥B1C,所以异面直线AP与A1D所成的角即为直线AP与B1C所成 的角，易知△AB1C是正三角形， 当点P与线段B1C的端，点重合时，异面直线AP与A1D所成的角取得最小值，为 子，当点P为线段B1C的中点时，异面直线AP与AD所成的角取得最大值，为登 故异面直线AP与AD所成角的取值范国是[行，受]，A正确 易得CD⊥平面BCC1B1,又B1CC平面BCC1B1.所以CD⊥B1C,又CD⊥BC,所以 二面角B-CD-B的平面角为∠BCB1,易知∠BCB1=平，B错误； 点P运动时，它到平面DC1D的距离不断变化，所以三棱锥P一DCD的体积不为 定值，C错误； 易知AB与平面A1D1D垂直，所以BD与平面A1D1D不垂直，D错误.故选A. 7.AD在三棱锥A'一BDC中，A'D=A'B=1,故BD=√2，DC=√2，又A'C=3,故 A'C2=A'D2+DC2,则CD⊥A'D, 又CD⊥BD,A'D∩BD=D,所以CD⊥平面A'BD, 故平面A'BD⊥平面BDC. 又CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B,又A'B⊥A'D,A'D∩CD=D,所以A'B⊥平面 A'DC, 故平面A'DC⊥平面A'BC.故选AD. 8.AD.'BC⊥CD,BC⊥DE,CD∩DE=D,CDC平面 E CDE,DEC平面CDE,∴.BC⊥平面CDE, 又BCC平面ABCD,∴.平面ABCD⊥平面CDE,A项正 确； M 连接BD,易知BMC平面BDE,ENC平面BDE,∴.直 二B 线BM和EN共面，B项错误； 设CD的中点为F,连接EF,FN,FA,CM,则EF⊥CD, D 又.'平面ABCD⊥平面CDE,平面ABCD∩平面CDE =CD,EFC平面CDE, ∴EF⊥平面ABCD,又FNC平面ABCD,.EF⊥FN, :R,N分别为CD,BD的中点，FN=子BC=1, 又EF=√CE2-CF2=√3，∴.EN=√EF2+FN2=2, 又BM=√JBC2+CM=√7，∴.BM≠EN,C项错误； 设EA与平面ABCD所成的角为0，则0=∠EAF,易知AF=√5，EA=2√2，则cos0 _AF=0,D项正确.故选AD. EA 4 9.ABC因为AD⊥DC,AD⊥DB',且DC∩DB'=D,DC,DBC平面DBC,所以AD ⊥平面DB'C,故A正确； 当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A一DB'C的体积也最大，最大值 为×××合×-得故B正确， 当∠B'DC=60°时，△DB'C是等边三角形，设BC的中，点为E,连接AE,则AE⊥B C,即AB为点A到BC的距离AE=-(合-平，故C正角： 当∠BDC=90°时，CD⊥DB,CD⊥AD,故CD⊥平面ADB',则CD就是点C到平 面ADB'的距离，则CD=号，故D不正确，故选ABC 10.答案(6，十o∞) 解析由题意知PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P. 所以DE⊥平面PAE,则DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设BE=,22-器即。3。=音2-a+9=0,() 由题意方程(*)有两个不相等的实根，故△=a2一4×1X9>0,则a>6. 11.答案①④ 解析对于①，因为M,O分别为PB,AB的中点，所以MO为三角形BPA的中位 线，所以MO∥PA,又PAC平面PAC,MO寸平面PAC,所以MO∥平面PAC,所 以①正确. 对于②，因为PAC平面MOB,所以②错误， 对于③，因为BC⊥AC,所以OC不会垂直于AC,故OC不垂直于平面PAC,所以③ 错误. 对于④，因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC.又BC⊥AC,PA∩ AC=A,PA,ACC平面PAC,所以BC⊥平面PAC,又BCC平面PBC,所以平面 PAC⊥平面PBC,所以④正确. 12.答案号 解析.'AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2, D AC=√2，BC=√2，∴.AC2+BC2=AB2,.ACLBC, 取AC的中点E,连接D'E, E ,DA=D'C,∴.DE⊥AC, A 又平面D'AC∩平面ABC=AC,平面ABC⊥平面ACD', .DE⊥平面ABC, 易知DE=号期三技#D-ABC的体积为号×名×X号-号。 26 13.解(1)证明：在三棱台ABC一DEF中， AC∥DF,ACC平面ACE,DFt平面ACE,.DF∥平面ACE. 又.'DFC平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,.DF∥a. (2)线段BE上存在点G.使得平面DFG⊥平面CDE,此时 H B BG-专BE. 证明如下： 取CE的中，点O,连接FO并延长交BE于点G,交CB的延 长线于点H,连接GD, ,CF=EF,GF⊥CE. 在三棱台ABC-DEF中，AB⊥BC→DE⊥EF. 由CF⊥平面DEF可得CF⊥DE. 又CF∩EF=F,CF,EFC平面CBEF,∴.DE⊥平面CBEF, 又GFC平面CBEF,.DE⊥GF. ,CE∩DE=E,CEC平面CDE,DEC平面CDE,∴.GF⊥平面CDE 又GFC平面DFG,.平面DFG⊥平面CDE. 参考答案65第八章立体几何初步 单元3空间直线、平面的垂直 A卷 基础巩固 建议用时：70分钟满分90分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 密 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 幼 封 1.在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB⊥AC,在三棱柱所有的棱中， 和AC垂直且异面的直线有 孕 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 都 的 2.设a,b,c是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列条件 能使a⊥b成立的是 不 A.a⊥c,b⊥c B.&⊥B,aCa,bC3 准 C.a⊥a,b∥a D.a⊥a,b⊥a 数 3.在正方体ABCD-A1B,C,D1中，截面A1BD与底面ABCD所成 答 的二面角A1一BD一A的正切值等于 茶 题 众9 C.√2 D.3 4.已知四棱锥P一ABCD的底面四边形ABCD是正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD,PA=3,且直线PC与平面PAB所成角的正切值 丝 部 为5，则四棱锥P-ABCD的体积为 A.3 B.9 C.18 D.27 5.如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆 上异于A,B的任意一点，则下列关系中不正确的是() 0 B A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 6.已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面正三角形ABC的边长为1， 侧棱AA1长为2，则点B1到平面A1BC的距离为 () A.267 B.467 57 57 C.257 19 D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.已知m,n是两条不同的直线，a,3,y是三个不同的平面，则下列 四个命题中错误的是 A.若m⊥a,n⊥a,则m∥n B.若a⊥B,3⊥Y,则a⊥Y C.若m∥a,a⊥B,则m⊥3 D.若m,n是异面直线，且mCa,nCB,则n∥a 8.如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD,且 A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是 A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B 9.在正方体ABCD-A1BC,D,中，下列说法正确的是() A.与AC,垂直的面对角线有6条 B.直线AC1与直线AA1所成的角为45° C.直线AC1与平面CC1D1D所成的角为45° D.二面角A-B,D,-C的余弦值为- 3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.如图，二面角a-1-3的大小是60°，线段ABCa,B∈l,AB 与1所成的角为30°，则AB与平面3所成的角的正弦值是 e ·A B I 11.如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB= 60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,若 PB与平面ABCD所成的角为0，则0= B 12.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针 投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为 O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成的 角，点A处的水平面是指过点A且与晷OA垂直的平面，在点 A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的 纬度为北纬40°则晷针与点A处的水平面所成角的大小为 第一部分单元、阶段检测卷21 四、解答题（本题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)已知四棱锥P一ABCD的底面ABCD为矩形，AB=2, AD=4,PA⊥平面ABCD,E是BC的中点 (1)证明：DE⊥平面PAE; (2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-E 的正切值. B 22第一部分单元、阶段检测卷 14.(10分)如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至 △ABD的位置，使CD=AC. (1)求证：平面ABD⊥平面ABC; (2)求二面角C-BD一A的余弦值. 15.(10分)如图，在直四棱柱ABCD一AB1C,D1中，四边形ABCD 是菱形，E,F分别是棱BB1,DD1的中点. (1)证明：平面AEF⊥平面ACC1; (2)若AA1=2AB=4,∠BAD=60°，求点A1到平面AEF的 距离 D B F E C B