2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：有理数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：有理数 一、单选题 1．在中负数的个数有（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2． 有理数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是(　　) A．-a<a<-1 B．-a<-1<a C．a<-1<-a D．a<-a<-1 3．初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（　　） A．6 B．15 C．18 D．30 4．下面说法正确的有（　　） ①符号相反的数互为相反数；②的相反数是3.8； ③一个数和它的相反数不可能相等；④正数与负数互为相反数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．一种巧克力的质量标识为“100±0.25克”，则下列巧克力合格的是（　　） A．100.30克 B．100.70克 C．100.51克 D．99.80克 6．现有以下五个结论： ①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；②若两个数互为相反数，则它们的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零； ⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数个则乘积为负数， 其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（　　） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 8．如果是最大的负整数，绝对值最小的整数，则 +的值是（       ） A．-2000 B．-1 C．1 D．2016 9．已知数 的大小关系如图，下列说法： ① ab+ac>0 ；②-a-b+c>0；③④ |a-b|-|c+b|+|a-c|=-2b．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 10．在90%，+8，0，﹣15，﹣0.7，+ ，19，π中正数有　 　个． 11．比较：　 　（用，，填空） 12．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，﹣ ， ，﹣ ，　 　…，则第n个数是　 　． 13．规定“*”表示一种运算，且a*b= ，则3*（4* ）的值是　 　． 14．如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为-4，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为1秒(t> 0)，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为　 　秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度。 15．m是常数，若式子的最小值是6，则m的值是　 　. 16．如图，数轴上点A、B所表示的两个数的和的绝对值是　 　 . ​ 三、解答题 17．如图，数轴上有两点，，原点O是线段上的一点，． （1）写出两点所表示的有理数； （2）若点C是线段上一点，且满足，求点C所表示的有理数； （3）若动点分别从同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，两点停止运动．直接写出当t为何值时，． 18．数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个不同的数，如图，然后从中抽取2张． （1）使这2张卡片上各数之积最小，最小的积为多少？ （2）使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为多少？ 19．已知、在数轴上分别表示、， （1）对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 0 （2）若、两点间的距离记为，试问和、()的数量关系是________； （3）写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； （4）若点表示的数为，当取最小值时，相应的的取值范围是________． 20．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）MN的长为　 　； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么点P的值是　 　； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由． （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动. 设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 21．在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B，C表示的数分别为，0，12，28． （1）点P在数轴上表示的数为x，若点P为线段上的一个动点，求的值． （2）如图，在数轴的原点O处放置了一台粒子加速器，当粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的3倍．在C处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即反弹，速度不变．甲粒子从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动．同时，乙粒子从B点出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t． ①当甲、乙两粒子第一次相遇时，相遇点表示的数为________． ②当甲、乙两粒子距离为4时，求t的值． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：， ∴负数有 故答案为：A. 【分析】由绝对值及乘方运算进行化简，再根据负数的定义进行逐一筛选得出结果. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵a<-1<0 ∴-a>1 ∴a<-1<-a 故答案为：C 【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：6支球队举行单循环比赛， 每支球队比赛5场， 每两支球队之间都比赛一场， 总的比赛场数为场； 故选：B． 【分析】本题考查了列式计算，根据单循环比赛的特点，得到6支球队举行单循环比赛，每支球队比赛5场，列出算式，进行计算，即可求解. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：①只有符号相反的数才可能为相反数， ① 错误； ②-(-3.8)的相反数为-3.8， ② 错误； ③0的相反数等于0， ③ 错误； ④正数、负数不一定互为相反数， ④ 错误； 故答案为：A. 【分析】本题考查相反数的概念，根据“只有符号相反的数互为相反数”对选项进行分析. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：100﹣0.25＝99.75（克）， 100+0.25＝100.25（克）， 所以巧克力的质量标识范围是：在99.75到100.25之间． 故答案为： D． 【分析】计算巧克力的质量标识的范围：在100−0.25和100＋0.25之间，即99.75到100.25之间． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，符合题意； ②若两个数互为相反数，则它们的商等于﹣1，不符合题意，0的相反数是0，没有商； ③所有的有理数均可以用数轴上的点表示，但是，数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数，不正确，不符合题意； ④绝对值等于其本身的有理数是零，不符合题意，正数的绝对值是它本身； ⑤几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数个则乘积为负数，故⑤不符合题意. ∴正确的结论只有1个. 故答案为：B. 【分析】根据有理数的分类，互为相反数的定义，数轴上的点与有理数的对应关系，绝对值的非负性和有理数的乘法法则分别判断，即可解答. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故答案为：B． 【分析】分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，分别计算每种情况下甲车恰有2个孩子来自于同一个家庭的乘坐方式数，再求和即可. 8．B 9．【答案】D 【解析】【解答】由图可得：b＜0＜a＜c. ∵c＞b，∴ac＞ab，即ac+ab>0，故①符合题意； ∵c＞a，∴c-a＞0，又∵b＜0，∴c-a-b＞0，故②符合题意； ，故③符合题意； |a-b|-|c+b|+|a-c|=a-b-(c+b)-(a-c)=a-b-c-b-a+c=-2b，故④符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用数轴可得：b＜0＜a＜c，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质逐一判断即可. 10．【答案】5 【解析】【解答】解：在90%，+8，0，﹣15，﹣0.7，+ ，19，π中， 正数有90%，+8，+ ，19，π，共5个． 故答案为：5． 【分析】正数大于0，根据正数的定义判断即可。 11．【答案】< 【解析】【解答】解：∵，3＞2， ∴-3＜-2. 故答案为：＜。 【分析】比较两个负数的绝对值的大小，从而得出两个负数的大小关系。 12．【答案】；（﹣1）n+1 【解析】【解答】解：1= ，﹣ ， ，﹣ ， ，…，第n个数为（﹣1）n+1 ． 故答案为： ；（﹣1）n+1 【分析】根据题意可知，偶数项为正，奇数项为负可确定符号，再根据分子是连续的奇数，分母是连续正整数的平方可得结论。 13．【答案】0 【解析】【解答】解：3*（4* ） =3* =3*1.5 = =0 故答案为：0． 【分析】根据*的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出算式3*（4* ）的值是多少即可． 14．【答案】1或 【解析】【解答】解：点C表示的数为6，点A表示的数为-4， ∴点B表示的数是. 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：-4+2t，Q表示的数为：1-x， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ∵PQ=2， ∴（1-x）-（-4+2x）=2， 解得x=1； ②P在Q的右边， ∵PQ=2， ∴（-4+2x）-(1-x）=2， 解得x=. 综上所述，当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度. 故答案为：1或. 【分析】先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时P、Q两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据PQ=2列方程，求解即可. 15．【答案】或7 【解析】【解答】解：∵可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且的最小值是6， ①当时，则时，原式有最小值， 此时， 解得：； ②当时，则时，原式有最小值， 此时， 此时方程无解； ③当时，则时，原式有最小值， 此时， 解得：； 综上，m的值为或7， 故答案为：-1或7. 【分析】由可以看作数轴上表示x的点距离表示1，5和m的点的距离之和，且该式有最小值6，从而分①m＜1，②1≤m≤5，③m＞5三种情况，根据绝对值的性质分别解含绝对值的方程即可得出答案. 16．【答案】1 【解析】【解答】解：解：从数轴上可知：表示点A的数为﹣3，表示点B的数是2， 则﹣3+2=﹣1， |﹣1|=1， 故答案为：1． 【分析】首先根据数轴得到表示点A、B的实数，然后求其和绝对值即可． 17．【答案】（1）解：∵， ∴点所表示的实数为点所表示的实数为4； （2）解：设点所表示的实数为， 分两种情况：①点在线段上时，则，如图1， ②点在线段上时，则，如图2， (不符合题意，舍)； 综上所述，点所表示的实数是； （3）当为1.6秒或8秒时， 【解析】【解答】解：（3）当时，如图3， 当点与点重合时，如图4， 当时，如图5， 则， 综上所述，当为1.6秒或8秒时，． 【分析】（1）根据题意结合数轴即可求解； （2）设点所表示的实数为，进而分类讨论：①点在线段上时，则，②点在线段上时，则，从而即可列出一元一次方程，进而即可求解； （3）结合题意分类讨论：当时，当点与点重合时，当时，再结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。 18．【答案】（1）解：； 故最小的积为； （2）； 故最大的积为24． 【解析】【分析】（1）要使两数之积最小，需要找到符号相反且绝对值乘积最大的两个数即可； （2）要使两数之积最大，需找同号且绝对值乘积最大的两个数． （1）解：； 故最小的积为； （2）； 故最大的积为24． 19．【答案】（1）从左到右为： （2） （3）解：∵-7和7之间的整数有：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7， 且这些数到-7和7之间的距离之和都为14， ∴ 数轴上到-7和的距离之和为的所有整数有：-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7； 这些整数的和为：-7+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6+7 =(-7+7)+(-6+6)+(-5+5)+(-4+4)+(-3+3)+(-2+2)+-1+1)+0 =0. 故答案为：、、、、、、、0、1、2、3、4、5、6、7；0 （4） 【解析】【解答】（1）解：对照数轴填写下表： 6 2 4 0 、两点的距离 2 6 2 12 0 （2）解：∵、两点间的距离记为， ∴， ∵， ∴d=b-a. 故答案为：d=b-a. （4）解：由绝对值的几何意义可知： 和2之间的任何一点均能使取得的值最小． 即当取最小值时，x的取值范围为， ∴点x的取值范围为：． 故答案为：. 【分析】（1）根据数轴的意义和数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值并结合表格中的数计算即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值并结合绝对值的非负性即可求解； （3）根据数轴的意义可只要在和7之间的整数均满足题意即可求解； （4）根据绝对值的几何意义即可求解． 20．【答案】（1）4 （2）1 （3）解：当点P在M点左侧时，则有（3-x）+(-1-x)=8，解得：x=-3， 当点P在N点右侧是时，则有（x-3）+[x-（-1）]=8，解得：x=5， 综上，x的值是-3或5； （4）解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM = PN， 点P对应的数是-t，点M对应的数是-1 - 2t，点N对应的数是3 - 3t， ①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，所以-1 - 2t = 3 - 3t，解得t = 4，符合题意； ②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），故PM = -t -（-1 - 2t）= t + 1，PN=（3 - 3t）-（-t）= 3 - 2t， 所以t + 1 = 3 - 2t，解得t =，符合题意， 综上所述，t的值为或4． 【解析】【解答】解：（1）的长为； （2）根据题意得：， 解得：， ∴x对应的数为； 【分析】 （1）根据数轴上两点间的距离结合题意即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解；、 （3）根据题意分类讨论：当点P在M点左侧时，当点P在N点右侧是时，进而即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM = PN，点P对应的数是-t，点M对应的数是-1 - 2t，点N对应的数是3 - 3t，进而分类讨论：①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）进而解一元一次方程即可求解。 21．【答案】（1）解：根据题意得： ，， 在线段上， ， ∴的值为22. （2）解：①14.4 ②当甲粒子未到达点处时， a、当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ，解得. b、当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ，解得. c、当甲粒子从处反弹开始追乙粒子， 甲粒子运动到点时，，解得， 甲从到点的时间为， 此时乙粒子穿过了点，速度变成个单位秒， ∴甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了， 此时， ， d、未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ，解得. 追上后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ，解得. 综上所述，的值为7或7.8或或． 【解析】【解答】（2）解：①如图， 第一次相遇应为甲穿过了，乙从反弹后相遇，假设相遇点为，此时，， ，， ，解得，此时相遇点为：， 故答案为：14.4 【分析】（1）根据绝对值的定义得，，进一步得即可. .（2）①第一次相遇应为甲穿过了，乙从反弹后相遇，假设相遇点为，此时，，求解即可. ②当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时，，进一步，解得，同理可得，当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时，，当甲粒子从处反弹开始追乙粒子，，未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， ，得，追上后，甲、乙两粒子距离为4时，，综上所述，的值为7或7.8或或． （1）解：由题可知，， 在线段上， ， 即的值为22； （2）解：①第一次相遇应为甲穿过了，乙从反弹后相遇，假设相遇点为， 此时，， ，， ， 解得， 此时相遇点为：， 故答案为：14.4； ②当甲粒子未到达点处时， 当第一次相遇前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 当第一次相遇后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 当甲粒子从处反弹开始追乙粒子， 甲粒子运动到点时，， 解得， 甲从到点的时间为， 此时乙粒子穿过了点，速度变成个单位秒， 所以甲乙粒子距离为4时，甲粒子再次反弹过程中穿过了， 此时， ， 未追上前，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 追上后，甲、乙两粒子距离为4时， ， ， 解得； 综上，的值为7或7.8或或． 学科网（北京）股份有限公司 $