4.3.2 等比数列的前n项和公式课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 学习目标 学科素养 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明.(重点) 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(重点) 3.熟练应用等比数列的前n项和公式的性质解题.(难点) 4.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系,并解决相应的问题.(难点) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 复习导入 性质3:若{an}是公比为q的等比数列,正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则aman=apaq. 推论1:特别地: 若m+n=2k(m,n,k∈N*),则有aman=ak2. 1.等比数列的定义: 2.等比数列的通项公式: 3.等比中项: 4.等比数列的主要性质: ① an=a1qn-1 ②an=amqn-m (m,n∈N*) 探究新知 相传古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨 班 达依尔,于是,这位国王对宰相说: ? 你想得到 什么样的 赏赐? 陛下赏小人几粒麦子就搞定. 第一格放1粒麦子, 以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍, 直到第64个格子. OK! 探究新知 根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言?故事可以提炼出一个什么数学问题? ? 1 2 … 实际上就是一个以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的求和问题 探究新知 ① ① 2得: 错位相减法 由②- ①得: S64=264-1 ② =18446744073709551615 ≈ 1.84 1019 所以当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时,国王才发现: 就是把全印度甚至全世界的麦粒拿来,也满足不了他的要求. 假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨. 2002年全世界小麦总产量约为4.56亿吨. 2016年全世界小麦总产量约为7.5亿吨. 探究新知 ① ① 2得: 错位相减法 由②- ①得: S64=264-1 ② 问题1:①式两边为什么要乘以2? 2是该等比数列的公比. 追问:类比上面求和的方法能否得到一般等比数列前n项和公式呢? 探究新知 错位相减法 ② ①-②得: ① q 得: 是否可以把等式两边同除以(1-q)? 探究新知 等比数列{an}的前n项和公式: 注意:等比数列求和时应考虑q=1与q≠1两种情况. 首项 末项 公比 前n项和 项数 “知三求二”(方程思想) 公式中涉及 五个量 探究新知 教材P35 例7.已知数列{an}是等比数列. 解: 探究新知 1. 已知数列{an}是等比数列. 教材P37 探究新知 教材P37 例8.已知等比数列{an}的首项为-1,前n项和为Sn,若 求公比q. 解: 探究新知 性质1: 教材P36 探究新知 例9.已知等比数列{an}的公比q ≠-1,前n项和为Sn,证明 Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 成等比数列,并这个数列的公比. 教材P37 证明: 探究新知 例9.已知等比数列{an}的公比q ≠-1,前n项和为Sn,证明 Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 成等比数列,并这个数列的公比. 证明: 性质2:若等比数列{an}的公比q≠ -1(或公比为-1,且n不是偶数),前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n ,…成等比数列,其中公比为qn. 教材P37 探究新知 5. 如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50,那么这个数列的公比等于多少? 解法1: 解法2: 教材P37 探究新知 问题2:若{an}是公比为q的等比数列,S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则S偶, S奇之间有什么关系? (1)若等比数列{an}的项数有2n项,则 (2)若等比数列{an}的项数有2n+1项,则 S奇=a1+a3+… + a2n-1 +a2n+1 =a1+(a3+… a2n-1 +a2n+1) =a1+q(a2+a4+…+a2n) =a1+qS偶 S偶=a2+a4+…+a2n S奇=a1+a3+…+a2n-1 S偶=a2+a4+…+a2n S偶=qS奇 S奇=a1+qS偶 (1)若等比数列{an}的项数有2n项,则 (2)若等比数列{an}的项数有2n+1项,则 S奇=a1+qS偶 S偶=qS奇 性质3:若等比数列{an}的奇数项的和S奇、偶数项的和S偶: 探究新知 练习:一个等比数列共2n项,其和为-240,且奇数项和比偶数项和大80,则公比q=_. 2 练习: 探究新知 问题3:等比数列{an}的前n项和Sn有怎样的函数特征? (1)当q=1时, 是关于n的一次函数. (2)当q≠1时, 即Sn是关于n的一个指数型函数. 结构特点:qn的系数与常数项互为相反数. 性质4: 数列{an}是等比数列 (A≠0, q≠0, q≠1 ) . Sn= Aqn -A 探究新知 ﹣1 ﹣2 练习: 探究新知 问题4:等比数列{an}中Sm+n、Sn、Sn有怎样的关系? 性质5:若等比数列{an}中的Sm+n、Sn、Sn满足: 作业布置 1.导学案:P32-P37. 2.课时作业(十一、十二) $