精品解析：重庆市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2027届重庆市高二上学期期末考试 数 学 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在y轴上的截距为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距. 【详解】由，可得， 则直线在轴上的截距为. 故选：A 2. 已知，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间两个向量共线定理得到方程，再根据向量相等列出方程组即可得解. 【详解】若，则存在实数，使， 即， 所以，解得. 故选：D 3. 过点的直线与椭圆交点个数有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 1 个或 2 个 D. 2 个 【答案】C 【解析】 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 4. 已知是抛物线上一点，则的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得抛物线，得到其焦点坐标和准线方程，即可求解. 【详解】将点代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的焦点为，准线方程为， 则抛物线的焦点到准线的距离. 故选：B. 5. 已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设平面的法向量为，结合法向量计算方法计算即可. 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C. 6. 在等差数列中，数列前项和为，若，当 时的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合，可得关于n的不等式，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知为等差数列，， 由于，即得， 即，解得或， 由于n为正整数，故，则的最小值为10， 故选：C 7. 已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线方程求两点的坐标，进而得到的长度，再根据内切圆半径公式得到关于的表达式，最后结合已知条件求出的最大值. 【详解】已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 令，得，则，则； 令，得，则，则， 根据距离公式可得， 设 内切圆半径为，则， 又，，即， 又，，即， 令，，当且仅当时等号成立， 又，，则， 将代入中，得， 又在上单调递增，当时，. 故选：A. 8. 已知点 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在一点 满足 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用向量的数量积坐标公式化简推得，再借助于双曲线上点的坐标的范围得到不等式求解即得. 【详解】设双曲线的半焦距为，则. 设，则， 则，可得，即点P在双曲线的右支上，则， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故选：D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题-6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知正方体 ，以下说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 直线与直线所成的角为 D. 三棱锥的外接球半径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的有关性质可判断AB的真假；求异面直线所成的角，判断B的真假；求三棱锥的外接球半径，判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为为正方体，所以平面，平面，所以， 又，平面，，所以平面. 平面，所以.故A正确； 对B：因为，平面，平面，所以平面.故B正确； 对C：因为，所以即为异面直线与所成的角， 又是边长为的等边三角形，所以，即直线与直线所成的角为 .故C正确； 对D：因为三棱锥的外接球就是正方体的外接球，其直径为正方体的体对角线长度，为，所以三棱锥的外接球半径为.故D错误. 故选：ABC 10. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是方程的两根，可得， 又由等比数列的性质，可得，所以. 显然存在（还有其它情况）满足题设. 故选：AD 11. 已知椭圆 ，分别为的左，右焦点，动点 为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为8 D. 动点满足 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据椭圆的定义和性质求出的周长；对于选项B，根据椭圆的性质求出面积的最大值；对于选项C，根据向量的坐标运算求出的最小值；对于选项D，求出，再根据两点间距离公式求出，进而判断与是否相等. 【详解】对于选项A，椭圆，，， 解得，，， 为上一点，，， ， 的周长为，故选项A错误； 对于选项B，，，， 的最大值为，的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，，， ， ， 点在椭圆上，， ，. ，当时，取得最小值8，故选项C正确. 对于选项D，， ， ， ，， 又， ，， ， ，此等式成立， 动点满足，故选项D正确. 故答案为：BCD. 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆 ，则其直径长为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的一般方程转化为圆的标准方程，求出圆的半径即可. 【详解】由，得， 所以圆的半径为1，则直径为2. 故答案为：2 13. 已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求，再根据数量积求向量的夹角. 【详解】因为. 由， 所以，所以. 故答案为： 14. 如图所示，已知抛物线，，为抛物线的焦点，直线交于，两点，则 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出直线的方程，联立抛物线方程利用韦达定理和焦点弦长公式求出，再利用两点间距离公式求出，最后计算求解． 【详解】抛物线， 焦点坐标， 直线的方程为，即， 联立直线与抛物线方程得， 设， 由韦达定理得， 由抛物线焦点弦长公式得， 由两点间距离公式得， ． 故答案为：． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. （1）该体育场观众席第一排原有多少个座位？ （2）若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】（1）322 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【小问1详解】 设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. 【小问2详解】 由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】利用圆心所在直线设圆心坐标，结合圆上两点坐标，利用两点间距离公式计算求解； 已知直线斜率，设直线方程，利用得出垂直关系，利用几何性质求出弦长，再利用弦长公式构造方程求出距离，最后利用点到直线距离公式构造求出得出直线方程． 【小问1详解】 圆心在直线上上，设，设圆半径为，则， ，化简展开得，解得， ，半径， 圆的方程为：． 【小问2详解】 直线的倾斜角为，直线的斜率，设直线的方程为， ， ，则是等腰直角三角形， ， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：， 解得或， 直线的方程为或． 17. 已知为数列的前项和，满足 . （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)结合计算的通项公式； (2)错位相减法计算数列的前项和. 【小问1详解】 由题可知, 所以 又因为，所以， 所以， 所以， 是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由题意知，， 所以， ， 则， ， . 故. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，平面，平面 ，， 为线段上一动点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 平面，平面，平面平面， .同理，由平面可得. 又，， 四边形是有一个内角为的菱形.. 平面，平面，. 又，平面，平面，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理先得到四边形是菱形，进而得到，再根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用得到点坐标，分别求出平面的法向量和平面的法向量的坐标，设平面与平面的夹角夹角为，再根据计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在的直线为轴，过作垂直于的直线为轴， 所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. . 设，则. 设，则有， 即. ， . ， . ，即 ，解得， ，. 设平面的法向量为， 则有，即. 令，则，. 设平面的法向量为， 则有，即. 令，则，. 设平面与平面的夹角为. 则. 平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆：的离心率为且过点，不过点的直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，证明直线过定点； （3）在（2）问的条件下，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及过点，结合，列方程组求解即可. （2）设出直线方程，与椭圆联立，得到两根之和与两根之积，代入已知条件中得到与的关系，进而确定所过定点. （3）将（2）种直线方程与椭圆联立，得到两根之和与两根之积，对进行整理化简，结合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为且过点， 所以， ， 又，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设方程为，，. 联立，整理得， ，即. ，. 又， 即， 整理得， 所以， 整理得，即. 又直线不过点，所以，即， 所以，即， 所以直线的方程为，故直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，直线，与椭圆无交点. 故直线过定点. 【小问3详解】 由（2）知，当时，直线方程为， ，，. 联立，整理得， ，所以. ，. 当时，直线方程为，与椭圆交于两点，满足条件，故. ， . 所以. 令，. 所以， . 所以， 即， 所以. 令，则，. 令， 因为在上单调递减，所以， 即. 故 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届重庆市高二上学期期末考试 数 学 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在y轴上的截距为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 过点的直线与椭圆交点个数有（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 1 个或 2 个 D. 2 个 4. 已知是抛物线上一点，则的焦点到准线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，数列前项和为，若，当 时的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点 是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在一点 满足 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共 3 小题，每小题-6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分. 9. 已知正方体 ，以下说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 直线与直线所成的角为 D. 三棱锥的外接球半径为 10. 已知等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆 ，分别为的左，右焦点，动点 为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的周长为10 B. 面积的最大值为 C. 的最小值为8 D. 动点满足 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知圆 ，则其直径长为_____. 13. 已知， 均为空间向量，及，， 则，的夹角为_____. 14. 如图所示，已知抛物线，，为抛物线的焦点，直线交于，两点，则 _____． 四、解答题:本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. （1）该体育场观众席第一排原有多少个座位？ （2）若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 16. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 17. 已知为数列的前项和，满足 . （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和 . 18. 如图，在四棱锥中，平面，，平面，平面 ，， 为线段上一动点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的离心率为且过点，不过点的直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，证明直线过定点； （3）在（2）问的条件下，求 的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $