专题12分式方程寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题12分式方程寒假预习讲义 1.理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程； 2.掌握分式方程的解法，核心突破“去分母”转化为整式方程的步骤； 3.了解分式方程验根的必要性，能熟练检验方程的解是否有效； 4.能解决简单的分式方程应用题（基础题型），初步建立建模思维。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.解分式方程 3.方程解的相关问题 4.列分式方程 5.常见的实际应用类型 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.由分式方程解的情况求值 3.分式方程无解问题 4.列分式方程 5.解分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8,分式方程的经济问题 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式方程的定义】 分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 例如：=2，=3 都是分式方程；而 +1=3 不是分式方程，因为分母中没有未知数。 【知识点02.解分式方程】 解分式方程（化为一元一次方程） 基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1 去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母。 2 解整式方程：按解一元一次方程的步骤求出未知数的值 3 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若公分母为 0，则是增根，原分式方程无解。 【知识点03.方程解的相关问题】 1.根据分式方程解的情况求值 已知分式方程的解满足某些条件（如解为正数、负数、非负数等），求方程中参数的取值范围。 注意：不仅要考虑解满足的条件，还要保证分母不为 0，排除增根的情况。 2. 分式方程无解问题 分式方程无解有两种情况： 1 去分母后的整式方程本身无解； 2 整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根（即使最简公分母为 0 的解）。 【知识点04.列分式方程】 基本步骤 1 审题：找出题目中的等量关系。 2 设未知数：根据问题设出合适的未知数。 3 列方程：根据等量关系列出分式方程。 4 解方程并检验。 5 写出答案。 【知识点05.常见实际应用类型】 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3. 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 4.和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【跟踪专练2】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.由分式方程解的情况求值】 【典例】若关于的分式方程的解为2，则的值为 ． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【跟踪专练2】若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【题型3.分式方程无解问题】 【典例】分式方程的增根是(   ) A． B．0 C．3 D．0或3 【跟踪专练1】当 时，方程无解． 【跟踪专练2】关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4.列分式方程】 【典例】某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 ． 【跟踪专练1】某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【题型5.解分式方程】 【典例】数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【跟踪专练1】若分式与分式的值相等，则 ． 【跟踪专练2】解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 解：设张老师骑车的速度为． 依题意，得 【跟踪专练2】小强和小刚两人的家到学校的路程都是2千米，小强从家先步行200米到公交车站，剩余路程再搭乘公交车去学校；小刚从家骑自行车去学校．某天两人同时从家出发去学校，小强步行200米到公交车站等候4分钟然后坐上公交车，结果两人同时到达学校．已知小强步行的速度是小刚骑自行车速度的倍，公交车的速度是小刚骑自行车速度的3倍，求小刚骑自行车的速度． 【题型6.分式方程的工程问题】 【典例】随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 【跟踪专练1】“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是 ． 【跟踪专练2】宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠10元销售，能获得的毛利率（）．则销售一副该款耳机所得毛利润为 元． 【跟踪专练2】某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格元/斤，则下列方程正确的是（ ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练1】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 【跟踪专练2】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【跟踪专练1】某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13），如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁． 【跟踪专练2】保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 1．解方程： (1) (2) 2．阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 3．已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 4．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 5．甲自A向B先走分钟后，乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12分式方程寒假预习讲义 1.理解分式方程的定义，能准确区分分式方程与整式方程； 2.掌握分式方程的解法，核心突破“去分母”转化为整式方程的步骤； 3.了解分式方程验根的必要性，能熟练检验方程的解是否有效； 4.能解决简单的分式方程应用题（基础题型），初步建立建模思维。 预习必备 知识点梳理 1.分式方程的定义 2.解分式方程 3.方程解的相关问题 4.列分式方程 5.常见的实际应用类型 常考题型 精讲精炼 1.分式方程的定义 2.由分式方程解的情况求值 3.分式方程无解问题 4.列分式方程 5.解分式方程 6.分式方程的行程问题 7.分式方程的工程问题 8,分式方程的经济问题 9.分式方程的和差倍分问题 10.分式方程的其他实际问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.分式方程的定义】 分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 例如：=2，=3 都是分式方程；而 +1=3 不是分式方程，因为分母中没有未知数。 【知识点02.解分式方程】 解分式方程（化为一元一次方程） 基本思路：去分母，把分式方程转化为整式方程求解。 步骤： 1 去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母。 2 解整式方程：按解一元一次方程的步骤求出未知数的值 3 检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原分式方程的解；若公分母为 0，则是增根，原分式方程无解。 【知识点03.方程解的相关问题】 1.根据分式方程解的情况求值 已知分式方程的解满足某些条件（如解为正数、负数、非负数等），求方程中参数的取值范围。 注意：不仅要考虑解满足的条件，还要保证分母不为 0，排除增根的情况。 2. 分式方程无解问题 分式方程无解有两种情况： 1 去分母后的整式方程本身无解； 2 整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根（即使最简公分母为 0 的解）。 【知识点04.列分式方程】 基本步骤 1 审题：找出题目中的等量关系。 2 设未知数：根据问题设出合适的未知数。 3 列方程：根据等量关系列出分式方程。 4 解方程并检验。 5 写出答案。 【知识点05.常见实际应用类型】 1. 行程问题 核心公式：路程 = 速度 × 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 速度 = 路程 ÷ 时间 常见等量关系： 相遇问题：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及问题：快者路程 − 慢者路程 = 初始距离 顺逆水（风）：顺水速度 = 静水速度 + 水速逆水速度 = 静水速度 − 水速 2. 工程问题 核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间 工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率 常见等量关系： 通常把总工作量设为 1 各部分工作量之和 = 总工作量（1） 合作效率 = 各单独效率之和 3. 经济问题 核心公式：利润 = 售价 − 成本 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% 总利润 = 单件利润 × 销量 常见等量关系： 售价变化后，销量与利润的对应关系 打折后售价 = 原价 × 折扣率 4.和差倍分问题 常见等量关系： A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【跟踪专练1】请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 【跟踪专练2】下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键； 根据分式方程的定义逐个分析判断即可． 【详解】分母中含有未知数，故是分式方程； 分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程； 关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； 分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：是分式方程的有1个； 故选：A． 【题型2.由分式方程解的情况求值】 【典例】若关于的分式方程的解为2，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程，解决本题的关键是理解方程解的意义. 把方程的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：去分母得： 整理得： 因为分式方程的解为 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 【跟踪专练2】若解关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，进而求出x的值，代入整式方程求出m的值即可 【详解】解：原分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：或， 当时，，即； 当时，，即， 综上，m的值是或． 故答案为：或． 【题型3.分式方程无解问题】 【典例】分式方程的增根是(   ) A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程的增根问题是解题的关键．根据分式方程的增根问题可进行求解． 【详解】解：由可知当时，分式方程有增根， ∴该分式方程的增根为； 故选：C． 【跟踪专练1】当 时，方程无解． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的无解问题．先按照解分式方程的步骤得到，再把增根代入即可求出答案． 【详解】解析： 对 去分母可得：， 整理可得：， ∵当时，此分式方程无解， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【跟踪专练2】关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为，熟记增根特点是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 【题型4.列分式方程】 【典例】某河道有大小两台挖机作河底清淤泥工作，大挖机每小时比小挖机多挖，若大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同，若设小挖机每小时挖，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，根据“大挖机挖所用的时间与小挖机挖所用的时间相同”列出方程即可． 【详解】解：设小挖机每小时挖，则大挖机每小时挖，由题意可得， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 【跟踪专练1】某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 先弄清因客户要求工作提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：因客户的要求每天应该做件，所用的时间为：， 根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去新完成时间， 可以列出方程：． 故选：D． 【跟踪专练2】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ． 【答案】 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同，即可列出方程. 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量是mg，根据题意可得方程：； 故答案为：. 【题型5.解分式方程】 【典例】数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 【跟踪专练1】若分式与分式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解方式方程，根据题意列出分式方程，求出解后要检验是否是增根． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的根． 故答案为：． 【跟踪专练2】解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分式方程中的分母化为相同形式，再根据等式的性质，给方程两边同乘最简公分母去分母，从而判断变形是否正确．本题主要考查了解分式方程去分母的步骤，熟练掌握分式方程去分母时给方程两边同乘最简公分母的方法是解题的关键． 【详解】解：， ． 方程两边同乘，得 ． 故选：B． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时， 故选D． 【跟踪专练1】题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑车的速度”．阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 解：设张老师骑车的速度为． 依题意，得 【答案】其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 根据方程中左右两个代数式的含义即可解答． 【详解】解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发， ∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间， ∴被墨迹弄污的条件应是其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 【跟踪专练2】小强和小刚两人的家到学校的路程都是2千米，小强从家先步行200米到公交车站，剩余路程再搭乘公交车去学校；小刚从家骑自行车去学校．某天两人同时从家出发去学校，小强步行200米到公交车站等候4分钟然后坐上公交车，结果两人同时到达学校．已知小强步行的速度是小刚骑自行车速度的倍，公交车的速度是小刚骑自行车速度的3倍，求小刚骑自行车的速度． 【答案】12千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设小刚骑自行车的速度为v千米/分钟，根据速度关系表示出小强步行速度和公交车速度，再根据两人时间相等列出方程求解，最后将速度单位转换为千米/小时． 【详解】解∶设小刚骑自行车的速度为v千米/分钟， 则小强步行速度为千米/分钟，公交车速度为千米/分钟． 小强步行距离为200米即0.2 千米，公交车距离为千米， 小强步行时间为：分钟，等待时间为4分钟， 公交车时间为 小强总时间为分钟． 小刚时间为分钟， 两人同时到达，所以 整理得 解得：千米/分钟． 经检验是分式方程的解． 转换为千米/小时∶千米/小时， 答∶小刚骑自行车的速度为12千米/小时 【题型6.分式方程的工程问题】 【典例】随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药（    ） A．32亩 B．45亩 C．60亩 D．75亩 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意列出分式方程是解题的关键. 设一个人平均每小时喷洒农药x亩，根据题意列出分式方程解答即可. 【详解】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 故选C 【跟踪专练1】“绿水青山就是金山银山”，某市为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天植树x棵，则加入志愿者后实际每天植树棵，再根据结果比原计划提前4天完成任务列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵， 由题意得，， 故答案为：． 【跟踪专练2】宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】受天气等诸多因素影响，苹果平均每千克涨价4元，已知涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同，设涨价前价格为元/千克，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设涨价前价格为元/千克，则，涨价后价格为元/千克，再根据涨价前40元购买的苹果质量与涨价后60元购买的苹果质量相同列出方程即可． 【详解】解：设涨价前价格为元/千克， 由题意得，， 故选：A． 【跟踪专练1】某商店一款无线耳机按进价提高后标价，再优惠10元销售，能获得的毛利率（）．则销售一副该款耳机所得毛利润为 元． 【答案】50 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，代数式求值等知识点，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设该款耳机的进价为x元，则售价为元，根据“”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出x的值，再将其代入中计算即可得出答案． 【详解】解：设该款耳机的进价为x元，则售价为元， 依题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 故答案为：50． 【跟踪专练2】某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【答案】(1)批发价为5元 (2)总体赚元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的经济问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设批发价为元，根据题中的等量关系，列出分式方程求解； （2）分别求出两次获利，再求出总体获利． 【详解】（1）解：设批发价为元． 则第一次购书本． 第二次批发价为， 则第二次购书本， 则， 解得：， 经检验是分式方程的根， 所以第一次购书的进价为5元； （2）第一次获利 第二次批发价， 第二次购书本， 第二次获利， 则两次总获利， 即总体赚元． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】马站四季柚名扬天下，2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少3元.设白心柚价格元/斤，则下列方程正确的是（ ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】设白心柚价格元/斤，根据“2023年第一季度某农户生产红心柚质量是白心柚的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设白心柚价格元/斤，则红心柚价格元/斤， 根据题意可得，． 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【跟踪专练1】一商场先用3200元购进一批防紫外线太阳伞，很快就销售一空．商场又用8000元购进了第二批这种太阳伞，所购数量是第一批的2倍，但每把太阳伞贵了4元．则第一次购进这种太阳伞 把． 【答案】200 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把，根据第二批每把太阳伞比第一批贵了4元列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进这种太阳伞x把，则第二次购进这种太阳伞把， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴第一次购进这种太阳伞200把， 故答案为：200． 【跟踪专练2】研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴沙坡头旅游景区参加研学活动．为了让学生切身体会到麦草方格中的“愚公精神”及治沙成果的来之不易，研学基地特设了麦草方格制作实践活动．活动中甲、乙两队均需制作36块的麦草方格，已知乙队每小时比甲队多制作6块，甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍，求甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (1)根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程： 小聪： 小慧： 则小聪所列的方程中的x表示______，小慧所列的方程中的x表示______． (2)任选其中一种方法求出甲、乙两队每小时各制作多少块麦草方格？ (3)制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回，于是甲乙两队决定合作完成剩下的任务，如果速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？如果能，请说明理由：如果不能，请求出两队合作后每小时至少需要多做多少块才能保证在乘车前完成任务． 【答案】(1)甲队每小时制作麦草方格的数量；乙队完成任务所需时间 (2)甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块 (3)不能，每小时至少多做12块 【分析】本题考查分式方程的应用： （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【详解】（1）解：小聪所列方程，运用的等量关系为：甲队完成任务所需要的时间是乙队完成任务所需时间的1.5倍， 故x表示甲队每小时制作麦草方格的数量 小慧所列方程，运用的等量关系为：乙队每小时比甲队多制作6块， 故x表示乙队完成任务所需时间； （2）解：，得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； 解：，得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：甲队每小时制作12块，乙队每小时制作18块； （3）不能；1小时20分钟小时 甲队已完成：（块）； 乙队已完成：（块）； 还剩余：（块）； 两队合作1小时可完成：（块）， ， 故不能完成； （块）； 答：两队合作后每小时至少需要多做2块才能保证在乘车前完成任务． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（   ） A．6 升 B．8 升 C．16 升 D．18 升 【答案】D 【分析】先把3斗换算成30升，设可以换得粝米x升，再根据50单位的粟：30单位的粝米＝30升粟：x升粝米，列分式方程，求出x即可． 【详解】根据题意得：3斗＝30升， 设可以换得的粝米为x升， 则 ，      解得， 经检验：是原分式方程的解， 答：可以换得的粝米为18升． 故选：D． 【点睛】本题考查的是列分式方程解古代数学问题，弄清题意列出正确的方程是解题的关键．注意解分式方程必须要检验． 【跟踪专练1】某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13），如果一个儿童的服药量恰好是成人服药量的，那么他的年龄是 岁． 【答案】6 【分析】根据“一个儿童的服药量恰好是成人服药量的”为等量关系，列出方程，解出即可． 【详解】解：当儿童服药量占成人服药量的时， 即， 解得：x＝6， 检验：当x＝6时，x＋12≠0， ∴x＝6是原方程的根， 即：6岁的儿童服药量占成人服药量的． 故答案为6． 【点睛】本题考查分式方程的应用，关键是正确理解题意，列出方程，注意分式方程要检验． 【跟踪专练2】保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量多吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 【答案】生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨 【分析】本题考查分式方程的实际应用．根据题意先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原分式方程的解． 答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为吨． 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得， 解得， 检验：将代入得， 所以，是原方程的根． 2．阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 3．已知关于x的分式方程，回答下列问题： (1)原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得________________． (2)若原分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为1或 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 ）本身无解，即 且 ；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【详解】（1）解：方程两边同乘以最简公分母得， 整理得：． 故答案为：． （2）解：当， 即时，原分式方程无解； 当时，由原分式方程无解， 得， 解得． 把代入， 解得． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了已知含参分式方程的解的情况，求参数值，掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 4．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【答案】(1)从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间 (2)开往乙地列车的速度为千米/时，从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时；表格见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键； （1）根据题意“从A市到甲、乙两地所需时间相同”，可得到等量关系； （2）列出代数式填表即可； （3）根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵从A市到甲、乙两地所需时间相同． ∴等量关系为：从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间； （2）解：设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，则开往乙地列车的速度为千米/时； 则从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时； 列表格如下： 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 （3）解：根据等量关系可列方程：． 5．甲自A向B先走分钟后，乙自B向A行走，每分钟比甲多走30米．他们于途中C处相遇．甲自A到C用时比自C到B用时多4分钟，乙自C向A用时比自B向C用时多3分钟．请问甲从A到C用了多少分钟？A、B两处的距离是多少米？ 【答案】甲从A到C用了分钟，A、B两处的距离是米 【分析】本题考查分式方程的应用，熟知路程速度时间基本公式是解题的关键． 通过设甲、乙速度和相遇时间，结合路程、时间关系建立方程，逐步推导得出甲速度、相遇时间及总距离． 【详解】解：设甲的速度为米分钟，乙的速度为米分钟， 设乙出发后经过分钟相遇，则甲从到的总时间为分钟， 则甲从到的距离：米，乙从到的距离：米， 故总距离：米， 甲的时间差：甲从到的剩余路程，所需时间为分钟， 根据题意得：，化简得：，即， 乙的时间差：乙从到的路程为甲从到的距离米，所需时间为分钟， 根据题意得：， 代入后化简得：， 解得：， 则， 故甲从到的时间：分钟， 总距离：米． 答：甲从A到C用了分钟，A、B两处的距离是米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $