湖南长沙市望城区第一中学2025-2026学年高三上学期期末质量监测数学试卷

保密★启用前 2025-2026-1望城一中高三期末质量监测 数学试卷 望城一中数学组 2026.1.26 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知集合，则集合的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 4．已知命题p“”，若命题P为假，则a的取值范围为（      ） A．（-，-2] B．(-，-2） C．R D．（-，-1]U[2,+) 5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（    ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，在我国有四五千年的历史，是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体，圆柱和圆锥的底面半径均为6cm，高均为9cm，若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成，则该球形材料的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右两个焦点为，，若是双曲线左支上的一点，且，则此双曲线离心率的最大值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．已知函数（），且满足，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．， D．将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 11．如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（    ） A． B． 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为 C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的系数为 ． 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 14．已知直线与圆交于A，B两点，若a，b，c是等差数列中的连续三项，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在三棱柱中，平面． (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 16．（15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，为直线上的点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)已知． （i）求； （ii）若，求二面角的余弦值． 17．（15分）杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 (1)依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； (2)在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点. (1)求椭圆的方程； (2)斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点. （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值； （ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026-1望城一中高三期末质量监测 数学试卷及参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C A D B C BD ACD 题号 11 答案 ABD 12．18 13．4 14． 15.（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 16.（1）证明：因为，平面，平面， 故平面， 因为平面，平面平面， 则， 又，所以四边形为平行四边形； （2）（i）如图，在四边形中，连接， 由（1）知，故， 由余弦定理，有， 故，解得， 故， （ii）如图，在梯形中，作于， 由， 故，则， 又等腰梯形，，， 故，，则， 又，有，即， 故两两互相垂直，以为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 点在上，故平面即平面， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为． 17．（1）解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联． 由列联表中的数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可推断成立， 即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联． （2）解：①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅， 则， 所以， 即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为． ②由题得， 当时，， 所以，故为常数数列． 又，所以，故． 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故． 18．（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 19．（1）因为点的坐标为，且为的中点， 所以，即. 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为直线过点，可设直线的方程为，， 由消去得. 所以，. 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 所以.， 将，代入得 ， 即为定值. （ii）是定值. 因为，由两点式可得直线的方程为； 因为，，由两点式可得直线的方程为. 因为直线，交于点，所以， 将代入得， 整理得. 由得， 所以. 同理，直线的方程为，直线的方程为， 联立可解得， 因此，所以直线垂直于轴， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 令，可得. 将代入直线的方程得， 同理得. 则. 将代入得， 所以，解得， 故弦长为，是定值， 即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $