1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、 余弦函数定义 思考：根据图中数据，你能表示出跨径的近似角度吗？ 155 710 729 “横竖”都是第一 视频中是花江峡谷大桥， 其主桥跨径居山区桥梁跨径世界第一、桥梁高度居世界第一，被称为“横竖”都是世界第一. 设图中跨径的近似角度为 α，则有 sin α = . α 155 710 729 同样，还可以用余弦表示，cos α = . 问题1：如果将上述三角关系代入单位圆中，该如何表示？ 锐角的正弦函数和余弦函数 将图中三点分别设为 O、P、M，代入单位圆中，设锐角 α 的终边与单位圆的交点是 P (u，v). α x y O 1 P (u，v) M α O M P 如图所示，在 Rt△OMP 中，设 OP = 1，OM = u，MP = v，则对于任意锐角 α，有 sin α = v，cos α = u . 因为每一个锐角 α，都有唯一的坐标 (u，v) 与之对应；在弧度意义下，α∈，称 v = sin α 为锐角 α 的正弦函数，u = cos α 为锐角 α 的余弦函数. 在直角坐标系中，可利用单位圆来研究锐角 α 的正弦函数、余弦函数. 锐角 α 的正弦函数与余弦函数 任意角的正弦函数和余弦函数 问题2：参照锐角的正、余弦函数定义，说说在单位圆中，任意角 α 的正弦函数和余弦函数的定义. 如图，任意角 α 的终边与单位圆的交点为 P (u，v)，则把点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的正弦值，把横坐标 u 叫作角 α 的余弦值； 在弧度意义下，对于 α∈R，称 v = sin α 为任意角 α 的正弦函数，u = cos α 为任意角 α 的余弦函数. 例1：已知任意角 α 终边上除原点外的一点 Q (x，y)，求角 α 的正弦函数值、余弦函数值. 解：先考虑角 α 的终边不在坐标轴上的情况. 设角 α 的终边与单位圆交于点 P (如图)， 则点 P 的坐标为 (cos α，sin α)，且OP = 1. 点 Q (x，y) 在角 α 的终边上，则OQ = . x y O P α Q 分别过点 P，Q 作 x 轴的垂线 PM，QN 垂足为 M，N，易知△POM ∽△QON. N M 所以 ，即 . 因为点 P 和点 Q 在同一象限，所以 sin α 和 y 的符号相同， 当角 α 的终边在坐标轴上时，易验证上述等式仍然成立. 同理 . 于是得到 ， x y O P α Q N M 归纳小结： 设角 α 终边上除原点外的一点 Q (x，y)，则 其中 练一练1：判断正误 (正确的画“√”，错误的画“×”). （1）角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化. ( ) （2）若角 α 终边过点 (1，3)，则 ( ) （3）对于任意角 α，sin α，cos α 都有意义. ( ) × √ √ 注意：对任意一个给定的角 α，它只有唯一的一条终边，从而终边与单位圆只有唯一的交点，所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. 例2：在单位圆中， （1）画出角 α；（2）求角 α 的正弦函数值和余弦函数值. 解：（1）如图以原点为角的顶点，以 x 轴的非负半轴为始边，顺时针旋转 ，与单位圆交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M. 于是 即为所作的角. x y O P α M （2）设点 P (u，v)，则 所以 练一练2：若下列各角的终边与单位圆的交点坐标为 (u，v)，求下列各特殊角的正弦函数值、余弦函数值，填入表中. α 0 π 2π v = sin α u = cos α 1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 1 把点 P 的纵坐标 v 叫作角 α 的正弦值，记作 v = sin α； 把点 P 的横坐标 u 叫作角 α 的余弦值，记作 u = cos α. 根据今天所学，回答下列问题： 1. 什么是任意角的正弦函数、余弦函数？（从定义、坐标角度） 2. 写出任意角的正余弦函数值的计算方法： Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $