考点03 空间向量的应用8大题型（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点03 空间向量的应用 考点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 考点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 考点三：用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 考点四：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 考点五：用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 题型一：直线的方向向量及其应用 理解直线方向向量的概念 （1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． （2）直线的方向向量不唯一． 易混淆方向向量与法向量，忽略方向向量不唯一、需非零向量，平行直线方向向量共线，不可直接等同于直线本身，计算时易漏写符号与比例关系。 1．（2025·高二·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【解析】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 3．（2025·高二·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 4．（2025·高二·广东惠州·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线l的方向向量， 则，令，得， 则， 故选：B． 5．（2025·高二·辽宁大连·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 故选：D. 题型二：平面的法向量及其求解 求平面法向量的步骤 （1）设出平面的法向量为． （2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，． （3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组 （4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）． 易忽视法向量为非零向量，求解时方程组解不唯一易算错，忽略法向量方向，混淆法向量与平面内向量，建系坐标出错导致结果偏差。 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 【解析】根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） 法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一）. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【解析】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 3．如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 【解析】如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2， 则，，，，， 于是，，， 所以，， 所以，，所以，． 因为，平面，平面， 所以平面．所以是平面的一个法向量． 4．（2025·高二·江苏徐州·月考）已知正方体，建立如图所示空间直角坐标系， (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 【解析】（1）设边长为，则， 所以， 所以对角线的一个方向向量为； （2）由（1）可得， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以， 所以平面的一个法向量. 5．（2025·高二·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【解析】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 题型三：向量法证明空间中的平行关系 先建立合适空间直角坐标系，求出对应向量坐标。证明线线平行，只需证两直线方向向量共线；证明线面平行，证直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内；证明面面平行，证两平面的法向量共线，步骤规范且需验证前提条件。 用向量法证明线面平行时，如何确定直线不在平面内？ 向量法证明面面平行时，如何避免法向量共线的情况？ 提供一些用向量法证明空间中平行关系的具体例子 易忽略线面平行时直线不在平面内的前提，混淆向量共线与直线平行，未验证面面法向量共线的合理性，建系或坐标计算失误致结论错误。 1．（2025·高二·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【解析】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以，由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面，所以直线平面. 2．（2025·高二·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【解析】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 3．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【解析】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 4．（2025·高二·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 5．如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【解析】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 题型四：向量法证明空间中的垂直关系 先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标。证明线线垂直，只需证两直线方向向量的点积为零；证明线面垂直，证直线方向向量与平面内两不共线向量均垂直，即可与平面法向量共线；证明面面垂直，证两平面的法向量点积为零，注意运算准确性与前提条件。 易忽略向量点积为零的前提是向量非零，混淆向量垂直与线线垂直，未区分线面、面面垂直的向量条件，坐标运算出错导致点积结果错误。 1．（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.    (1)求证：平面； (2)若，，，为线段的中点.求证：. 【解析】（1） 取，连接， 因为，由平行六面体的性质可得， 取中点，连接，则由中位线的性质可得， 又为中点，由平行六面体的性质可得且相等， 所以四边形为平行四边形，可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，用它们表示，，则 ，， 所以 ， 所以． 2．（2025·高二·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 3．（2025·高二·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 4．（2025·高三·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 5．（2025·高二·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 题型五：向量法求解异面直线所成角 运用向量法常有两种途径 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量． （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 易忽略异面直线所成角的范围，直接取向量夹角钝角，混淆向量夹角与线线角，坐标计算错误、向量选取不当导致结果偏差。 1．（2025·高二·河北邢台·月考）在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于轴的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则, 由于是的中点，所以. 所以， 所以. 故选：B. 2．（2025·高二·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 3．（2025·高二·陕西商洛·月考）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为. 故选：B 4．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 则， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则， 当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D． 5．（2025·高二·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 设异面直线与所成角大小为， 则. 故选：A 题型六：向量法求解直线与平面所成角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 易混淆线面角与向量夹角的关系，错用公式直接计算，忽视线面角的范围，忽略直线与平面垂直、平行的特殊情况，坐标运算失误致结果错误。 1．（2025·高二·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在直三棱柱中，四边形为矩形， 所以， 又分别是的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为点为的中点，，所以， 在矩形中，由分别是的中点， 所以， 在直三棱柱中， 由平面，则平面， 且平面，， 又，所以平面， 即平面，连接，如图所示： 所以为三棱锥的高， 因为，点为的中点，， 所以，所以， 所以， 又， 所以三棱锥的体积为：， 根据等体积法得：. （3）由（2）知平面，， 所以两两互相垂直， 因此以点为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2025·高二·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）由正四棱柱的底面边长为，且， 所以，所以，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图： 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2025·高二·海南儋州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点.    (1)求证：平面； (2)建立空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为在直三棱柱中，所以侧棱垂直于底面， 所以平面，因为平面，所以， 又因为，所以， ,,， 所以. （2）以为原点，CA为轴，CB为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，D为的中点.， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 4．（2025·高二·上海·期末）如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点.    (1)求证：、、、四点共面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为、分别是、的中点， 所以，又， 则， 所以、、、四点共面. （2）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5．（2025·高二·河北·期末）如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点处，，O，M分别为AC，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)N为直线MO上的动点，求直线BN与平面所成角正弦值的最大值. 【解析】（1）如图，连接，，由题意可知：， 因为，则， 又因为，，平面， 所以平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：，，， 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 且是中点，则， 可得，， 设，，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为. 题型七：向量法求解二面角 利用向量法求二面角的步骤 （1）建立空间直角坐标系． （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． （3）求两个法向量的夹角． （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角． （5）确定二面角的大小． 易混淆二面角与法向量夹角的互补或相等关系，忽略二面角范围[0,π]，未判断法向量方向，坐标计算、点积运算出错，忽视平面棱的前提条件。 1．（2025·高二·新疆喀什·期末）如图，在长方体中，为的中点．    (1)求证：直线平面PAC； (2)求平面PAC与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面PAC的法向量为， 则取，则， 所以． 因为， 所以． 又因为平面PAC，所以平面PAC. （2）由（1）易知． 设平面的法向量为， 则取，则， 所以． 设平面PAC与平面的夹角为， 则， 所以平面PAC与平面夹角的余弦值为． 2．（2025·高二·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，点是棱上一点，且平面．    (1)求证：点是棱的中点； (2)若，请再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为平面． 因为平面，且平面平面， 所以． 因为底面是菱形，所以是的中点，所以是的中点； （2）选择条件①： 因为是的中点，所以， 因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系． 因为菱形的边长为2，，所以， 所以． 所以， 设为平面的一个法向量， 由得所以，所以 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以 因此平面与平面的夹角的余弦值． 选择条件②： 因为，在菱形中，， ，所以平面， 因为平面，所以，因为 所以两两垂直， 以为原点建立空间直角坐标系． 因为菱形的边长为2，，所以， 所以． 所以， 设为平面的一个法向量， 由得所以，所以 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以 因此平面与平面的夹角的余弦值． 3．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 【解析】（1）取中点，连接，， 在中，分别为中点，则且， 又正方形中，为中点，则， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面； （2）取中点为中点为，连接，， 在中，，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又四边形为正方形，则， 以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以，设平面的法向量为， 由，得，所以， 取，则，可得， 易知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则． 由图，二面角为锐角，所以其余弦为． 4．（2025·高二·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 【解析】（1）在四棱锥中，由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 而平面，因此，由，得， 又平面，则，又平面，平面， 所以平面. （2）假定存在点满足题意，令， 过作，则平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面CPD的法向量为，则，取，得， 由二面角的余弦值为，得，解得， 所以. 5．（2025·高二·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 【解析】（1）取CD的中点O，连接PO， 因为，所以， 因为，所以， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面ABCD， 以O为原点，以平行于BC的直线为x轴，以OC，OP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，所以Q为PB的中点，所以，所以， （ⅰ）易知平面PCD的一个法向量为， 则，即， 因为平面PCD，所以平面PCD； （ⅱ）由上面分析得，，设平面的法向量为， 由，得，取，则． 则， 故直线CD与平面所成角的正弦值为． （2）由上可知，，，， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 又知平面PCD的一个法向量为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以，则，所以， 故的长度为． 题型八：向量法求解空间中的距离问题 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 易混淆点线、点面、线面、面面距离的向量公式，忽略距离为非负值，坐标与法向量求解出错，未验证特殊位置关系，运算过程易出现符号与计算失误。 1．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为，平面，平面，故平面， 则直线到平面的距离与点到平面的距离相等. 因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 2．（2025·高二·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 3．（2025·高二·山东济南·月考）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 【解析】（1）以为原点， ， ，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则； ，则， ， 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为. （2）直线与直线平行 ， 因此直线到直线的距离 ， 即点到直线的距离. ， 则, 所以向量在直线上的投影向量的长度为. 所以点到直线的距离为, 故直线到直线的距离为. （3），设平面的法向量， 则，取 ， 则 ， ， 所以平面的一个法向量为 . 又， 所以， 所以点到平面的距离为. （4）因为， 平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离 . 由 ( 3 ) 可知平面的一个法向量为. 因为，所以. 所以点到平面的距离为， 故直线到平面的距离为. 4．（2025·高二·天津南开·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1） 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； （2）    设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 5．（2025·高二·全国·月考）如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【解析】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 因为，则， 记直线所成角为， 故； （2）因为，，则，又， 故， 则点到直线的距离 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·期末）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，点关于平面的对称点为， 则. 故选：D. 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】A 【解析】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 5．（25-26高二上·北京·期末）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 故选：A. 6．（25-26高二上·安徽池州·月考）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为， 则，故直线到平面的距离为. 故选：D 7．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系： 由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 8．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 9．（多选题）（25-26高二上·江苏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当时，三棱锥体积的最大值为 D．当时，的最小值为2 【答案】AB 【解析】以为原点建立坐标系，则，，， ，，， 时，，故， ，故， 平面，故平面，故A正确； 当时，， 由于，故，， 平面，平面，故平面，故B正确； 由， 当时，，， ，故C错误； 当时，则， ， 可将看作是平面内到点的距离之和， 如图：作出关于直线的对称点， 则的最小距离为与点之间的距离， 故， 过与点的直线方程为，令，则， 故当时取等号，故D错误． 故选：AB 10．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 【答案】ABC 【解析】对于选项A：因为平面平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，， ，，， 对于选项B：，， 因为， 所以，即，故选项B正确； 因为，在棱上，所以二面角即二面角， 因为，， 平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 在正方形中，， 所以二面角的大小为，故选项C正确； 直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 随的值的变化其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：ABC 11．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 12．（25-26高二上·上海松江·期末）小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【解析】分别以原轴为空间直角坐标系的轴，以过点O且垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 在原平面图形中作于，则. 在空间直角坐标系中，， 设在平面内的投影为，则，因为， 所以点坐标为. ，设平面的法向量为， 则，得，不妨令，则， ，设与平面所成的角为， 则 故答案为： 13．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【解析】方法一：如图1，连接. 因为正四棱柱的底面边长为1，侧棱， 所以，所以. 由正四棱柱的结构知，即，四边形为矩形. 将平面沿展开至平面，点至点，如图2. 则的最小值即的长度. 在中，， 由余弦定理得. 故答案为：. 方法二：如下图，建立空间直角坐标系： 则， 因为为上的动点，由可知， 所以可设， 所以， 所以， 令，则即， 求最小值即求平面直角坐标系中，点到点的距离之和的最小值， 如下图，作点关于x轴的对称点， 则所求最小值为. 故答案为：. 14．（2026·吉林·模拟预测）在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 ；若，则点的轨迹长度为 . 【答案】 【解析】 如图连接，则，平面.过作，则，，又，故，. 如图：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设与都垂直的向量为，则，取，则，异面直线之间的距离，则点到直线的距离的最小值为. 如图：过作 因为，所以，所以点在正方形内，以为圆心,为半径的圆弧上，因为，所以，，所以，同理,所以，所以点的轨迹长度为. 故答案为：； 15．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）在矩形中，，，点，分别是，的中点， 所以四边形和是全等的正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，，平面， 所以平面； （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，， 因为， 所以，， 则， ， 所以线段的长为； （3）因为，所以当时，线段最短， 此时，分别为线段，的中点，，， 则， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知，为平面的一个法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．（25-26高二上·安徽·月考）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，是棱的中点. (1)设. ①证明：平面平面. ②求点到平面的距离. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角. 【解析】（1）①证明：取棱的中点，连接，. 因为，且是棱的中点，所以. 因为，且是棱的中点，所以. 因为，所以. 因为，所以，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. ②由①可知，，两两垂直，则以为坐标原点， ，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可得，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，得， 故点到平面的距离为. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图2所示的空间直角坐标系. 设（）， 则，，，， 故，，. 设平面的法向量为， 则， 令，得. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得. 因为，所以，则，. 因为，，，所以，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角为. 17．（25-26高二上·四川德阳·期末）如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点.    (1)求证：； (2)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (3)若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）在正四棱锥中，底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以； （2）当为的中点时，平面平面， 证明如下： 在正四棱锥中，，又为中点， 所以， 在正方形中，，所以， 在正方形中，，又， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）因为正四棱锥的所有棱长均相等，所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正四棱锥的棱长为， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 【解析】（1）根据棱柱的性质可知，， 由于平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面，所以． （2）由于⊥平面，平面， 所以，，由于，D是AC的中点， 所以⊥， 以D为原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设（），已知， 则，则， ，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以点C与平面的距离， 解得或（舍）， 即，． 19．（25-26高二上·北京·期末）图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． (1)求证：平面； (2)若的中点为．在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 （2）取的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 设，因为， 则， ， ， 设平面的法向量为， 取，则，即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以线段上存在点，当时，使得平面与平面夹角的余弦值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 空间向量的应用 考点一：直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式． 2、平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 考点二：用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 考点三：用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 考点四：用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，． 若分别为面的法向量， 则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． 考点五：用向量方法求空间距离 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 题型一：直线的方向向量及其应用 理解直线方向向量的概念 （1）直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． （2）直线的方向向量不唯一． 易混淆方向向量与法向量，忽略方向向量不唯一、需非零向量，平行直线方向向量共线，不可直接等同于直线本身，计算时易漏写符号与比例关系。 1．（2025·高二·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·山西·月考）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·高二·广东惠州·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为 的平面的方程为 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·辽宁大连·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（   ） A． B． C． D． 题型二：平面的法向量及其求解 求平面法向量的步骤 （1）设出平面的法向量为． （2）找出（求出）平面中两个不共线的向量的坐标，． （3）根据法向量的定义建立关于，，的方程组 （4）解方程组，取其中的一个解作为法向量（由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量）． 易忽视法向量为非零向量，求解时方程组解不唯一易算错，忽略法向量方向，混淆法向量与平面内向量，建系坐标出错导致结果偏差。 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 3．如图，在正方体中，是的中点，为底面的中心．求证：是平面的一个法向量． 4．（2025·高二·江苏徐州·月考）已知正方体，建立如图所示空间直角坐标系， (1)求出对角线的一个方向向量． (2)求出平面的一个法向量． 5．（2025·高二·广东江门·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 题型三：向量法证明空间中的平行关系 先建立合适空间直角坐标系，求出对应向量坐标。证明线线平行，只需证两直线方向向量共线；证明线面平行，证直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内；证明面面平行，证两平面的法向量共线，步骤规范且需验证前提条件。 用向量法证明线面平行时，如何确定直线不在平面内？ 向量法证明面面平行时，如何避免法向量共线的情况？ 提供一些用向量法证明空间中平行关系的具体例子 易忽略线面平行时直线不在平面内的前提，混淆向量共线与直线平行，未验证面面法向量共线的合理性，建系或坐标计算失误致结论错误。 1．（2025·高二·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 2．（2025·高二·北京·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 3．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 4．（2025·高二·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 5．如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    题型四：向量法证明空间中的垂直关系 先建立空间直角坐标系，求出相关向量坐标。证明线线垂直，只需证两直线方向向量的点积为零；证明线面垂直，证直线方向向量与平面内两不共线向量均垂直，即可与平面法向量共线；证明面面垂直，证两平面的法向量点积为零，注意运算准确性与前提条件。 易忽略向量点积为零的前提是向量非零，混淆向量垂直与线线垂直，未区分线面、面面垂直的向量条件，坐标运算出错导致点积结果错误。 1．（2025·高二·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，.    (1)求证：平面； (2)若，，，为线段的中点.求证：. 2．（2025·高二·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 3．（2025·高二·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 4．（2025·高三·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（2025·高二·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 题型五：向量法求解异面直线所成角 运用向量法常有两种途径 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，经常采用取定基底的方法，在由公式求向量，的夹角时，关键是求出及与，一般是把，用基向量表示出来，再求有关的量． （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 易忽略异面直线所成角的范围，直接取向量夹角钝角，混淆向量夹角与线线角，坐标计算错误、向量选取不当导致结果偏差。 1．（2025·高二·河北邢台·月考）在正三棱柱中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·西藏拉萨·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·陕西商洛·月考）在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 5．（2025·高二·浙江湖州·月考）在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型六：向量法求解直线与平面所成角 若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 易混淆线面角与向量夹角的关系，错用公式直接计算，忽视线面角的范围，忽略直线与平面垂直、平行的特殊情况，坐标运算失误致结果错误。 1．（2025·高二·上海·期末）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2025·高二·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为，点分别在边上，且，．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（2025·高二·海南儋州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，D为的中点.    (1)求证：平面； (2)建立空间直角坐标系，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（2025·高二·上海·期末）如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点.    (1)求证：、、、四点共面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2025·高二·河北·期末）如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点处，，O，M分别为AC，的中点.    (1)求证：平面平面； (2)N为直线MO上的动点，求直线BN与平面所成角正弦值的最大值. 题型七：向量法求解二面角 利用向量法求二面角的步骤 （1）建立空间直角坐标系． （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量． （3）求两个法向量的夹角． （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角． （5）确定二面角的大小． 易混淆二面角与法向量夹角的互补或相等关系，忽略二面角范围[0,π]，未判断法向量方向，坐标计算、点积运算出错，忽视平面棱的前提条件。 1．（2025·高二·新疆喀什·期末）如图，在长方体中，为的中点．    (1)求证：直线平面PAC； (2)求平面PAC与平面夹角的余弦值． 2．（2025·高二·北京·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，点是棱上一点，且平面．    (1)求证：点是棱的中点； (2)若，请再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 3．（2025·高二·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，分别为中点．    (1)求证：平面； (2)若，平面平面，求二面角的余弦值． 4．（2025·高二·广西玉林·期末）如图，四棱锥中，底面，，，. (1)若，求证：平面； (2)是否存在点，使得，且二面角的余弦值为；若存在，求出长；若不存在，说明理由. 5．（2025·高二·河南商丘·月考）如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．    (1)若， （ⅰ）证明：平面PCD； （ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值． (2)若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度． 题型八：向量法求解空间中的距离问题 1、求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解- 即：点到平面的距离，其中是平面的法向量． 直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量． 3、点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离． 易混淆点线、点面、线面、面面距离的向量公式，忽略距离为非负值，坐标与法向量求解出错，未验证特殊位置关系，运算过程易出现符号与计算失误。 1．如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 2．（2025·高二·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 3．（2025·高二·山东济南·月考）如图，在棱长为的正方体中， 为线段的中点， 为线段的中点. (1)求点到直线的距离; (2)求直线到直线的距离; (3)求点到平面的距离; (4)求直线到平面的距离. 4．（2025·高二·天津南开·开学考试）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 5．（2025·高二·全国·月考）如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.    (1)求与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（25-26高二上·全国·期末）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海黄浦·期末）如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 5．（25-26高二上·北京·期末）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽池州·月考）在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 7．（25-26高二上·河南·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖北·月考）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·江苏·期末）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，，，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，平面 C．当时，三棱锥体积的最大值为 D．当时，的最小值为2 10．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点．则下列结论正确的是（   ）    A．平面 B． C．二面角的大小为 D．直线与平面所成角的大小不变 11．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 12．（25-26高二上·上海松江·期末）小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为 ． 13．（25-26高二上·上海松江·期末）已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱，为上的动点，则的最小值为 ．    14．（2026·吉林·模拟预测）在正四棱台中，，点是四边形内的动点（含边界）.若点在线段上，则点到直线的距离的最小值为 ；若，则点的轨迹长度为 . 15．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，分别是对角线，上的动点（不包括端点），且，将四边形沿翻折，使平面平面. (1)求证：平面； (2)求线段的长（用表示）； (3)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 16．（25-26高二上·安徽·月考）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，是棱的中点. (1)设. ①证明：平面平面. ②求点到平面的距离. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角. 17．（25-26高二上·四川德阳·期末）如图，四棱锥是正四棱锥，设平面与平面的交线为，为上异于点的一点.    (1)求证：； (2)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (3)若正四棱锥的所有棱长均相等，，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，⊥平面，平面与棱交于点E，，．    (1)求证：； (2)已知点C与平面的距离为，求的长度． 19．（25-26高二上·北京·期末）图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面．如图2，的中点为． (1)求证：平面； (2)若的中点为．在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $