专题2.1投影（高效培优讲义，4知识&8考点9题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

专题2.1投影 教学目标 1.了解投影的意义及投影面、投射线等概念.2能说出中心投影和平行投影的意义，能够2.辨别中心投影和平行投影，能够根据中心投影和平行投影的性质进行相关的计算. 3.了解正投影的意义和正投影的性质，知道正投影是特殊的平行投影. 4.了解视图的意义，知道一个几何体的正投影和视图的关系. 教学重难点 教学重点:掌握平行投影、中心投影与正投影的核心概念及正投影性质，能识别、作图与应用； 教学难点：区分两种投影的本质差异、归纳正投影规律并解决空间几何问题，关键在于建立空间观念与几何直观。 知识点01 投影 1. 投影的定义： 一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影. 照射光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 2. 投影的性质 (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投射线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同. 知识点02 平行投影 平行投影的定义 ：由平行的光线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光可以看成平行光线，太阳光照射物体所形成的影子属于平行投影. (1)等高的物体垂直于地面放置时，如图①，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图②，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等，并且影长等于物体本身的长度. (3)在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影子不仅方向不同，影子的长度一般也不同，从早晨到傍晚，物体影子的指向是正西→西北→正北→东北→正东(北半球北回归线以北地区). 一天之中，同一物体的影子的长度的变化规律是：长→短→最短→短→长. (4)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 知识点03 中心投影 1. 中心投影的定义：由一点(点光源)发出的光线所形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 特别提醒：中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点，常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等. 2. 中心投影的性质 (1)等高的物体垂直于地面放置时，如图，在灯光下，(水平方向)离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图，一般情况下，(竖直方向)离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短. (3)在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 3. 中心投影点光源的确定方法：形成中心投影的光线是不平行的，即光线是相交的，分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为点光源的位置. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 知识点04 正投影 1. 正投影的定义： 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.示图(如图)： 2. 正投影与平行投影、中心投影的关系 （1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影； （2）正投影限制的是光线与投影面之间的关系，与物体的位置无关； （3）物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，它分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况. 3. 线段、平面图形、几何体的正投影 线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影 规律 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 图示 4. 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 【即学即练】如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（    ）    A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 题型01 平行投影 【例1】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为米，落在墙上的影子高为米，同一时刻同一地点，身高米他在阳光下的影子长米，求这棵树的高． 【变式1-1】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）若测量出DE在阳光下的投影长为9m，请你计算DE的长. 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 题型02 中心投影的变化规律 【例2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 【变式2-1】如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 【变式2-2】张强的身高和李华的身高一样，那么在同一路灯下（ ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【变式2-3】如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面． （1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？ 题型03 中心投影作图 【例3-1】画物体在灯下的影子 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【例3-2】确定中心投影中点光源的位置 如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.    （1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影. （2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子. 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上） (1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子； (2)求路灯O到地面的距离． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 题型04 正投影的特征 【例4】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【变式4-1】下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-2】线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式4-4】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 题型05 利用正投影作图 【例5】如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 【变式5】如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 题型06 有关正投影的计算 【例6】如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（   ）    A． B． C． D．以上都不对 【变式6-1】一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 题型07 平行投影、中心投影、正投影的综合应用 【例7】下列关于投影的描述，不正确的描述有（    ） A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 【变式7-1】（2023·安徽淮北·三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【变式7-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【变式7-3】日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或“中心”） 题型08 利用投影解决复杂的计算问题 【例8】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽亳州·月考）为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得到，可求得旗杆高度　　　； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【变式8-2】课本再现 （1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示． ①确定该路灯灯泡所在的位置； ②画出图中表示婷婷影长的线段． 数学思考 （2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上，两点的正中间，晚上，婷婷由点处径直走到点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（    ） A．    B．    C．    D． 解决问题 （3）婷婷在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长，如果婷婷的身高为1.6m，，求路灯杆的高度． 【变式8-3】（2023·安徽宿州·一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置． (2)估计路灯的高，并求影长的步数． (3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m． 一、单选题 1．如图，在中，，，垂足为，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 3．有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则A，B，C的先后顺序是（　　） A．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A 4．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2 5．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 二、填空题 7．小丽和小强在阳光下行走，小丽身高米，她的影长米，小强比小丽高，此刻小强的影长是 米． 8．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 9．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，同一时刻测得DE影长为4.5m，则DE＝ m． 10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 米. 11．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B（4，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长． 13．小军在假期利用所学知识测量了公园内一棵银杏树的高度（如图）．首先，小军在点处竖立一根高为1米的测角仪，测得；某一时刻，银杏树在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，小军在点处竖立一根高为1米的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，经测量，米，米，已知，，，，点、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算该银杏树的高度． 14．如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． (1)画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） (2)如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 15．如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 (1)请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； (2)在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 16．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置； (2)求路灯灯泡的垂直高度； (3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示） 17．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 18．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1投影 教学目标 1.了解投影的意义及投影面、投射线等概念.2能说出中心投影和平行投影的意义，能够2.辨别中心投影和平行投影，能够根据中心投影和平行投影的性质进行相关的计算. 3.了解正投影的意义和正投影的性质，知道正投影是特殊的平行投影. 4.了解视图的意义，知道一个几何体的正投影和视图的关系. 教学重难点 教学重点:掌握平行投影、中心投影与正投影的核心概念及正投影性质，能识别、作图与应用； 教学难点：区分两种投影的本质差异、归纳正投影规律并解决空间几何问题，关键在于建立空间观念与几何直观。 知识点01 投影 1. 投影的定义： 一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙面上留下它的影子，这个影子称为物体的投影. 照射光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 2. 投影的性质 (1)光线是沿直线照射的，因此可以由物体与它的投影确定光线的方向. (2)不同时刻，物体的影子的方向和大小会发生变化；在投射线和投影面相同的情况下，不同形状的物体的投影一般不同. 知识点02 平行投影 平行投影的定义 ：由平行的光线所形成的投影叫做平行投影. 例如，太阳光可以看成平行光线，太阳光照射物体所形成的影子属于平行投影. (1)等高的物体垂直于地面放置时，如图①，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图②，同一时刻，在太阳光下，它们的影长相等，并且影长等于物体本身的长度. (3)在太阳光下，不同时刻，同一地点、同一物体的影子不仅方向不同，影子的长度一般也不同，从早晨到傍晚，物体影子的指向是正西→西北→正北→东北→正东(北半球北回归线以北地区). 一天之中，同一物体的影子的长度的变化规律是：长→短→最短→短→长. (4)在太阳光下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体本身的高度与它们的影子长度成正比. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【答案】④③①② 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再由短变长．可知先后顺序是④③①②． 故答案为：④③①②． 知识点03 中心投影 1. 中心投影的定义：由一点(点光源)发出的光线所形成的投影叫做中心投影. 如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影. 特别提醒：中心投影的光源是点光源，它的光线相交于一点，常见的点光源有手电筒、路灯、台灯等. 2. 中心投影的性质 (1)等高的物体垂直于地面放置时，如图，在灯光下，(水平方向)离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长. (2)等长的物体平行于地面放置时，如图，一般情况下，(竖直方向)离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短. (3)在中心投影的情况下，点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上. 3. 中心投影点光源的确定方法：形成中心投影的光线是不平行的，即光线是相交的，分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线，这两条直线的交点即为点光源的位置. 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 【答案】C 【详解】设大型字母“”宣传牌上方的点A，B，C三个物点的像点为． 连接并延长相交于一点O， ∴光源在O点， ∴是中心投影． 故选：C． 知识点04 正投影 1. 正投影的定义： 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.示图(如图)： 活用巧记 投射线垂直于投影面，所得投影正投影； 物体平行投影面， 投影原图是全等； 物体倾斜投影面， 形状大小都会变； 物体垂直投影面， 投影就是点线面. 2. 正投影与平行投影、中心投影的关系 （1）正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影； （2）正投影限制的是光线与投影面之间的关系，与物体的位置无关； （3）物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，它分为物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况. 3. 线段、平面图形、几何体的正投影 线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影 规律 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形 图示 4. 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图. 【即学即练】如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（    ）    A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 【答案】B 【详解】根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是矩形，故答案选择B. 题型01 平行投影 【例1】（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，某一时刻太阳光下，小明测得一棵树落在地面上的影子长为米，落在墙上的影子高为米，同一时刻同一地点，身高米他在阳光下的影子长米，求这棵树的高． 【答案】米 【详解】解：设落在地面上的影长为米时，树的高度为米， 则， 解得：． 所以树高（米）． 答：这棵树的高为米． 【变式1-1】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m. （1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）若测量出DE在阳光下的投影长为9m，请你计算DE的长. 【详解】（1）如图所示：EF即为所求； （2）∵AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m，EF=9m， ∴，则， 解得：DE=15， 答：DE的长为15m． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 【详解】（1）解：根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行投影． （2）作图如图，即为所求． 题型02 中心投影的变化规律 【例2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 【答案】C 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：C． 【变式2-1】如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（   ） A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 【答案】B 【详解】由图易得AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短， 故选：B． 【变式2-2】张强的身高和李华的身高一样，那么在同一路灯下（ ） A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短 C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【答案】D 【详解】解: 张强的身高和李华的身高一样,在同一路灯下他们的影长与他们到路灯的距离有关,所以无法判断谁的影子长. 故选：D. 【变式2-3】如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面． （1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？ 【详解】如图， （1）DE即为木棒CD的影子， 根据题意，得 AB=6，CD=3，BD=3． ∵CD∥AB，∴ 即， 解得：DE=3． 所以影子DE的长度为3米； （2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时， 其影子的变化规律为：先变长，后变短； 当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长． 如图DC'⊥AE'，∴∠E'C'D=∠ABE'=90°， ∠C'E'D=∠AE'B，∴△E'C'D∽△E'BA， ∴ 即BE'=2C'E' 设C'E'=x，则BE'=2x， ∴DE'=BE'﹣BD=2x﹣3， 在Rt△DE'C'中，根据勾股定理，得(2x﹣3)2=32+x2 解得：x=0或4， ∴DE'=5， 所以其影长的取值范围是：大于或等于3米，小于或等于5米． 题型03 中心投影作图 【例3-1】画物体在灯下的影子 如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小亮的身高用线段表示，路灯在线段上． (1)请你确定路灯所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子． (2)如果路灯距离地面，小亮的身高为，小亮与灯杆的距离为，请求出小亮影子的长度． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求； （2）， △△， ， ， ， 答：小亮影子的长度为． 【例3-2】确定中心投影中点光源的位置 如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.    （1）填空：判断此光源下形成的投影是： 投影. （2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子. 【详解】（1）由中心投影的定义得：此光线下形成的投影是：中心投影 故答案为：中心； （2）如图，连接GA、HC，并延长相交于点O，则点O就是光源，再连接OE，并延长与地面相交，交点为I，则FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.    【变式3-1】（24-25九年级上·安徽宿州·月考）如图，电线杆上有盏路灯O，小明身高，他从点F出发，沿直线运动，当他运动到达点D处时（即），测得影长，再前进到达点B处时（即），测得影长．（图中线段，，表示小明的身高，，，均与垂直，且在同一平面上） (1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时的影子； (2)求路灯O到地面的距离． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为路灯的位置，线段即为小明位于F处时的影子 （2）解：如图，过点O作于点H． ∵，，， ∴． ∴，． ∴，． 设，． 又∵，，，， ∴，， 解得，． 经检验，，是原方程的解． ∴路灯O到地面的距离为． 【变式3-2】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，过点P作交延长线于H， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴路灯的高度为． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，在地面上竖直安装着三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱形成的影子分别为与． (1)通过作图判断此光源下形成的投影是中心投影还是平行投影，并说明理由； (2)作出立柱在此光源下所形成的影子． 【详解】（1）中心投影． 理由：如图所示，光线相交于点O，所以此光源下形成的投影是中心投影． （2）如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子． 题型04 正投影的特征 【例4】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【详解】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 【变式4-1】下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 【变式4-2】线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据正投影的定义可知，当与投影面平行时，； 当与投影面不平行时，； 综上所述，． 故选：C． 【变式5-3】下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式4-4】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ． 【答案】圆、矩形 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 题型05 利用正投影作图 【例5】如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 【详解】（1）解：圆柱从上向下的正投影如图； ． （2）解：该圆柱体从左向右的正投影如图． 【变式5】如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 题型06 有关正投影的计算 【例6】如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（   ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交于点，    ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为， 故选：B． 【变式6-1】一面积为S的矩形纸片在水平面的正投影面积为，则它在竖直面的正投影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形纸片与水平面的夹角为θ，根据题意得：， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形在竖直面的正投影面积为： ． 故选：A． 【变式6-2】如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 【变式6-3】空间观念如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（点）到水平地面的距离，沿方向观测物体的仰角，望远镜前端（点）与眼睛之间的距离（结果保留小数点后一位，参考数据：，，）．求： (1)点到水平地面的距离的长． (2)在水平地面上的正投影的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，， ， ． 故点到水平地面的距离的长约为173.6cm． （2）解：在中，， ， ． 故在水平地面上的正投影的长约为128.5cm． 题型07 平行投影、中心投影、正投影的综合应用 【例7】下列关于投影的描述，不正确的描述有（    ） A．在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 【答案】C 【详解】解：A. 在阳光下，同一时刻同一物体的高度与影长的比值是一个定值，说法正确，不符合题意； B. 一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形    ，说法正确，不符合题意； C. 物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关，说法错误，符合题意； D. 物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式7-1】（2023·安徽淮北·三模）一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意． 故选：A． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽宿州·月考）皖南皮影戏又称太平戏，被列入安徽省第二批省级非物质文化遗产，皖南皮影戏属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【详解】解：皖南皮影戏使用点光源（如灯或蜡烛），光线从光源中心发散，投射到屏幕上，因此属于中心投影． 故答案为：中心． 【变式7-3】日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线， ∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影， 故答案为：平行． 题型08 利用投影解决复杂的计算问题 【例8】（25-26九年级上·安徽亳州·月考）综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽亳州·月考）为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得到，可求得旗杆高度　　　； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度； (3)如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 故答案为：； （2）解：如图， 由反射定律可知，， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为； （3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 【变式8-2】课本再现 （1）两棵小树在一盏路灯下的影子如图1所示． ①确定该路灯灯泡所在的位置； ②画出图中表示婷婷影长的线段． 数学思考 （2）如图2，婷婷居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上，两点的正中间，晚上，婷婷由点处径直走到点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（    ） A．    B．    C．    D． 解决问题 （3）婷婷在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长，如果婷婷的身高为1.6m，，求路灯杆的高度． 【详解】解：（1）如图： ①点A即为路灯灯泡的位置； ②即为婷婷的影长． （2）小明从M点走到灯下方时影长由长变短， 从灯下方走到N点时影长由短变长， ∴C选项满足题意， 故选：C． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①②得：． 【变式8-3】（2023·安徽宿州·一模）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图1，身高的小王晚上在路灯灯柱下散步，他想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处，作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置． (2)估计路灯的高，并求影长的步数． (3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．测得，，，小明眼睛到地面的距离为，则树高为______m． 【详解】（1）路灯O和影子端点Q的位置如图所示． ． （2）∵， ∴， ∴，即， 解得． ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴路灯的高为，影长为步． （3）如图，∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：9． 一、单选题 1．如图，在中，，，垂足为，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以证明各个选项． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D ∴△ACD∽△CBD∽△ABC ∴A、∠ACD＝∠B，故A选项正确； B、应为CD•AB＝AC•BC，故B选项错误； C、D是射影定理，故C、D选项正确； 故答案选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；射影定理； 直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似． 2．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度（　　） A．12米 B．14米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】同一时刻下，不同物体的高度比与影长比相等，画出示意图，找见相似，代入计算即可． 【详解】解：如下图： 过点C作CE⊥AB于点E，某一时刻竹竿和影长构成的三角形为△FGH，此时FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米． 据题意，同一时刻， ∴ ∴ ∴AE=14 ∴AB=AE+BE=14+2=16米 故选：C 【点睛】本题考查平行投影，牢记知识点是解题关键． 3．有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则A，B，C的先后顺序是（　　） A．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A 【答案】D 【分析】直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案． 【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大， ∵投影长度， ∴A，B，C的先后顺序是B、C、A． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键． 4．圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2 【答案】B 【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ∵AC⊥OB，BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOD， ∴，即， 解得：BD＝2m， 同理可得：AC′＝0.5m，则BD′＝1m， ∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）． 故选B． 【点睛】考查的是相似三角形的应用以及中心投影，利用相似三角形的对应边成比例得出阴影部分的半径是解题关键． 5．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大， ∴用图象刻画出来应为C． 故选：C． 【点睛】考点：1．函数的图象；2．中心投影；3．数形结合． 6．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题 7．小丽和小强在阳光下行走，小丽身高米，她的影长米，小强比小丽高，此刻小强的影长是 米． 【答案】 【分析】在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，可得在同一时刻物高和影长成比例，再建立方程即可． 【详解】解：根据题意知，小强的身高为（厘米）， 设小强的影长为x厘米，则 解得：，经检验符合题意； ∴小强的影长为米， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想． 8．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 9．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，同一时刻测得DE影长为4.5m，则DE＝ m． 【答案】6 【分析】根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作交地面于点F，DF即为所求，根据平行的性质可知，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长. 【详解】，，，， ， ， . 故答案为6. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质. 10．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 米. 【答案】10 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 【详解】∵=，即=，∴楼高=10米． 故答案为10． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 11．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m． 【答案】3 【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可； 【详解】根据题意做出示意图，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即树的高度为3m． 故答案是3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，3）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A（0，1），B（4，1）．画出木杆AB在x轴上的投影，并求出其投影长． 【答案】见解析，6 【分析】利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：连接PA、PB并延长分别交x轴于点C、D， 线段CD就是木杆AB在x轴上的投影． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，交AB于点N， ∵点P（3，3），A（0，1），B（4，1）， ∴OM=AN=3，AB=4，PN=2，PM=3， ∵AB∥CD， ∴∠PAB=∠PCD，∠PBA=∠PDC， ∴△PAB∽△PCD， ∴，即， ∴CD=6． 故木杆AB在x轴上的投影长为6． 【点睛】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法． 13．小军在假期利用所学知识测量了公园内一棵银杏树的高度（如图）．首先，小军在点处竖立一根高为1米的测角仪，测得；某一时刻，银杏树在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，小军在点处竖立一根高为1米的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子顶端落在地面上的点处，经测量，米，米，已知，，，，点、、、在一条直线上，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算该银杏树的高度． 【答案】15米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂直关系，可证出四边形为矩形，得，，随后证出，根据比例关系和线段关系，求出的值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴，即， 由题意知：，， ∴， ∴，解得， ∴该银杏树的高度为15米． 14．如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． (1)画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） (2)如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 【答案】(1)见解析 (2)的高度为1.75米 【分析】本题考查了平行投影的知识，相似三角形的应用． （1）先画出线段，并作出的垂线，过点C作，交于点F；此时在太阳下的影子为线段； （2）过点F作于点G，由，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴此时在太阳下的影子为线段； （2）解：过点F作于点G，则，， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米） 答：的高度为1.75米． 15．如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 (1)请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； (2)在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 【答案】(1)图以及步骤见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键． （1）连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影； （2）证明，利用相似三角形的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； 连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影 （2）∵， ． ， ． ，即， ∴ 旗杆的高度为． 16．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得． (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置； (2)求路灯灯泡的垂直高度； (3)如果小明沿线段向小颖（点走去，当小明走到中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 ．（直接用的代数式表示） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中，由它们对应成比例可以求出； （3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 【详解】（1）解：如图 （2），， ， ， ， ，， ， m． （3）同理， ， 设长为，则， 解得：，即． 同理， 解得， ， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题． 17．如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1.6米．夜晚，身高为1.6米的小明以1.5米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为秒．当行走2秒时，他走到了处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)当秒时，求影子的长？ 【答案】(1)路灯的高度为9.6米 (2)的长是米 【分析】本题考查相似三角形的应用、列代数式，属于中档题． （1）由证△△，用相似比求高度； （2）由证△△，代入求长度． 【详解】（1）解：由题意，可知，米，米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， 答：路灯的高度为9.6米； （2）解：， 米， 米，米， 米，米， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 答：的长是米； 18．学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为、、，两根竹竿之间的距离均为米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图和图的示意图．请解决下列问题： （）反映平行投影的情形图是______，反映中心投影的情形图是______；（填“图”或“图”） 【画图操作】 （）结合图中的影子、画出表示竹竿的影子及光源； 【数学思考】 （）在（）中，小明从点向右沿地面走，经过光源的正下方沿直线走到点，小明的影长随小明与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______． A． B． . C． D． 【解决问题】 （）在图中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（）图，图；（）画图见解析；（）；（）米 【分析】本题考查了平行投影、中心投影和相似三角形的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （）根据中心投影的定义画出图形； （）利用相似三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：（）反映平行投影的情形图是图，反映中心投影的情形图是图， 故答案为：图，图； （）如图所示，线段和点即为所求； （）∵在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长， ∴小明的影长变化是先越来越短，再越来越长， 故选：； （）如图，过点作于点，设米，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即①， 同理可得：， 即②， 联立①②，得， 整理得，， 解得， ∴米，米， 又同理可得：， 即， 解得， 答：的影长为米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $