精品解析：湖南省岳阳市平江县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末检测卷八年级数学 温馨提示：时量120分钟，满分120分．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的正确性．因式分解需将多项式化为几个整式的乘积形式，且应分解到不能再分解为止．逐项验证各选项即可． 【详解】解：选项A：∵，∴错误； 选项B：∵，等式成立且为乘积形式，∴正确； 选项C：∵，但可进一步分解为，因式分解不彻底，∴错误； 选项D：∵右边不是乘积形式，∴不是因式分解，错误； 故选：B． 2. 当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，计算，故C错误； 对于选项D： ，故D正确． 故选：C． 4. 解分式方程：，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 首先观察分母和互为相反数，即，从而将方程简化后去分母． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为：， 去分母得， 即． 故选：A． 5. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质、三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键． 利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点E是边的中点，的面积等于12， ， ∵D是的中点， ． 故选B． 7. 如图，在中，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线，分别交，于两点．若的周长为，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由作图知垂直平分，得到，再求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图知垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 8. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 10. 如图，为的角平分线，，过作于交的延长线于，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断①正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故②正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③正确；根据，，结合线段的和差关系，判断④正确． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴；故④正确； 综上可知①②③④正确． 故选D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：2x2﹣4xy+2y2=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取2，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】 故答案为：． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． 12. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，通过移项和分式运算求解Δ，注意分母的变换和通分． 【详解】解：由原等式， 移项得． 由于， 代入得． 通分后公分母为， 计算分子：， 因此， 故答案为：． 14. 甲木条长9厘米，乙木条长4厘米，用这两种长度的木条三根（两种不同长度木条都要有），围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是______厘米． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，分析两种可能情况，排除不满足条件的组合即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：若腰为9厘米，底为4厘米，则三边为9、9、4，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为厘米； 若腰为4厘米，底为9厘米，则三边为4、4、9，因为，所以不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的周长是22厘米， 故答案为：22． 15. 若最简二次根式和能合并，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．两个最简二次根式能合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴被开方数相同，即， 解得：， 当时，，是最简二次根式，且被开方数与相同，故能合并． 故答案为：2． 16. 如图，在中，是的角平分线，于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，由角平分线的性质得到，再根据含角的直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 在中， ∴， 故答案为：． 17. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的依据是___________．（填全等判定方法的简写） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定. 由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 18. 如果一个三位正整数可以表示为的形式，其中为正整数，则称为“幸运数”．例如：三位数，，∴是“幸运数”；又如：三位数，，∴不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为______；若与都是“幸运数”，且，则所有满足条件的的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，因式分解，根据“幸运数”的定义即可得到最大的“幸运数”； 设，，得到，由分情况即可求出满足条件的的值，即可求解；理解“幸运数”的定义及运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴最大的“幸运数”为； ∵与都是“幸运数”， 设，， ∴， ∵， ∴或或或或， 解得（不符）或（不符）或（不符）或或， ∴满足条件的为和， ∴所有满足条件的的和， 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 化简：（结果不含负整数指数幂）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据积的乘方和单项式的乘法计算，再根据负整数指数幂的运算法则解答． 【详解】解：． 【点睛】本题考查了积的乘方和单项式的乘法、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 20. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，先求负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，立方根，然后再进行加减运算． 【详解】解： 21. 先化简，再求值：，请在0，1，2三个数中为选择一个合适的数代入求值． 【答案】；6 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则，将原式化简为最简分式或整式是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的方法进行分式化简，和使原式分母为零，故舍去，将代入化简后的代数式，进行计算求值即可 ． 【详解】解： 消去，此时，得 在0，1，2三个数中，和使原式分母为零，故舍去， 仅当时，原式的值为： 故答案为：；6． 22. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】（1）稳定 （2） 是的中点， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【小问1详解】 解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； 【小问2详解】 略 23. 学校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍．求排球、足球的单价各为多少？ 【答案】排球的单价为24元，足球的单价为44元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设排球的单价为x元，则可表示出足球的单价，根据等量关系：花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍，列出分式方程，再求解并检验即可． 【详解】解：设排球的单价为x元，则足球的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：排球的单价为24元，足球的单价为44元． 24. 如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到公路的距离； （2）一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】（1） （2）会造成噪声污染，污染的时间为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【小问1详解】 解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． 【小问2详解】 解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 25. 同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式． 他还发现像等神奇对称式都可以用表示．例如：，．于是小明把和称为基本神奇对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是________（填序号）； （2）已知． ①若，则神奇对称式_________； ②若，求神奇对称式的最小值． 【答案】（1）①，④； （2）①；②的最小值为-2． 【解析】 【分析】（1）根据题意，新定义的神奇对称式可以用任意交换两个字母的位置但式子的值不变来判断； （2）①把 通分用mn与m+n的形式表示，然后转换成用p、q表示的代数式代入即可求出值； ②把神奇对称式转换成用p、q表示的代数式，再利用配方利用非负数性质求出最值． 【小问1详解】 解：∵，任意交换两个字母的位置，式子的值都不变． ∴①是神奇对称式， ∵，交换字母的位置，式子的值变相反数， ∴②不是神奇对称式， ∵，交换字母的位置，式子的值变倒数， ∴③不是神奇对称式， ∵交换字母的位置，式子的值不变， ∴④是神奇对称式； ①④符合神奇对称式的定义，②③交换字母的位置，式子的值会变故不符合神奇对称式的定义． 故答案为：①，④； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案应为：； ②∵， ∴， ， = ， =， =， ∵， ∴. 即q=±p， （i）当时， ∴原式==. （ii）当时， ∴原式==. 综上，的最小值为-2． 【点睛】本题是一道综合性比较强的题，运用了整式的乘除法、根与系数关系，代数式的值，分式最值，根式化简，分式化简，完全平方数的性质等知识点；对新定义的公式的理解也是一项重要考点．因此难度相对较大． 26. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明∶ ∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴， ∴是等边三角形； （2）存在，； （3）存在，当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，由等边三角形的判定可得结论； （2）由旋转的性质可得，再由是等边三角形，可得，根据垂线段最短得，当时，的周长最小，根据等边三角形的性质以及勾股定理求出，即可求解． （3）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在，当时， 由旋转的性质得：， ∴， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，的周长最小， 此时，， ∴， ∴的最小周长； 【小问3详解】 解：存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， ②当时，由旋转可知，， ∴， 由（1）可知，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，不存在直角三角形． ④如图，当时，由旋转的性质可知，， 又由（1）知， ∴， 而， ∴， ∴只能， 从而， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当t的值为或时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末检测卷八年级数学 温馨提示：时量120分钟，满分120分．请将答案填写在答题卡上． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 解分式方程：，去分母得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点B，E，C，F在同一直线上，，，，则的长为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 6. 如图，已知中，点D，E分别是边的中点，若的面积等于12，则的面积等于（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在中，分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧交于两点，作直线，分别交，于两点．若的周长为，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，，过作于交的延长线于，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 分解因式：2x2﹣4xy+2y2=_____． 12. 科技兴则民族兴，科技强则国家强．近几年我国一直在芯片工艺上进行技术攻坚，目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 13. 小蕊在作业本上写完一个代数式的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原代数式的一部分（被墨水遮住的部分用代替）．该式为．则被墨水遮住部分△的代数式是_____． 14. 甲木条长9厘米，乙木条长4厘米，用这两种长度的木条三根（两种不同长度木条都要有），围成一个等腰三角形，这个等腰三角形的周长是______厘米． 15. 若最简二次根式和能合并，则a的值为______． 16. 如图，在中，是的角平分线，于，若，则______． 17. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的依据是___________．（填全等判定方法的简写） 18. 如果一个三位正整数可以表示为的形式，其中为正整数，则称为“幸运数”．例如：三位数，，∴是“幸运数”；又如：三位数，，∴不是“幸运数”、根据题意，最大的“幸运数”为______；若与都是“幸运数”，且，则所有满足条件的的和为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 化简：（结果不含负整数指数幂）． 20. 计算：． 21. 先化简，再求值：，请在0，1，2三个数中为选择一个合适的数代入求值． 22. 生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． （1）这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； （2）图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 23. 学校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费960元购买的排球数量是花费1320元购买的足球数量的倍．求排球、足球的单价各为多少？ 24. 如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到公路的距离； （2）一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 25. 同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式．小明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式． 他还发现像等神奇对称式都可以用表示．例如：，．于是小明把和称为基本神奇对称式． 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式①，②，③，④中，属于神奇对称式的是________（填序号）； （2）已知． ①若，则神奇对称式_________； ②若，求神奇对称式的最小值． 26. 如图1，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点D从O点出发，沿方向以的速度运动，当D不与点A重合时，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）如图2，当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $