第三单元 长方体和正方体（知识清单）数学冀教版五年级下册

第三单元：长方体和正方体 单元知识清单 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：长方体和正方体的棱长和 长方体棱长之和：（长+宽+高）×4     正方体棱长之和：棱长×12  知识点02：长方体和正方体的表面积 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2   正方体表面积=棱长×棱长×6 知识点03：求长方体和正方体的表面积的实际问题 1.并不是所有物体都有6个面： （1）6个面：长方体或正方体：油箱、罐头盒、纸箱等 （2）5个面：长方体或正方体：水池、鱼缸等 （3）4个面：长方体或正方体：通风管等 2.物体截成几段，增加一个截口就增加2个截面（增加面的个数=截口数×2） 考点1：长方体与正方体棱长 【典型例题】一个长方体，长是9分米，宽是7分米，高是6分米，它的棱长总和是（    ）分米。 A．88 B．156 C．192 【变式训练1】有一个长6厘米，宽3厘米，高3厘米的长方体铁丝框架，如果用这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 【变式训练2】用一根56厘米长的铁丝可以焊成个长6厘米、宽5厘米、高（    ）厘米的长方体教具。 A．4 B．3 C．2 考点2：长方体和正方体的展开图 【典型例题】下面图形（    ）沿虚线折叠后不能围成长方体。 A． B． C． 【变式训练1】如图是一个正方体表面展开图，与3号面相对的面是(    )号面。 A．5 B．6 C．4 【变式训练2】下图是每个面上分别标有“防、控、就、是、责、任”的一个正方体的三种不同摆法。与“防”“控”“任”相对的面分别是（    ）。 A．就，责，是 B．责，是，就 C．是，就，责 考点3：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体的棱长用a表示，这个正方体的表面积用算式表示为（    ）。 A．12a B．6a2 C．6a3 【变式训练1】一个正方体的表面积是24平方厘米，这个正方体的棱长是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4 【变式训练2】正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．9 C．27 考点4：立体图形的拼切 【典型例题】把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（    ）。 A．6 B．9 C．12 D．18 【变式训练1】把棱长是5厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了（    ）平方厘米。 A．50 B．25 C．10 【变式训练2】把一个长12厘米、宽6厘米、高6厘米的长方体照下图切三刀，切后的表面积之和比原来增加了（    ）平方厘米。 A．360 B．180 C．144 D．72 考点5：长方体的表面积 【典型例题】从长方体的一个顶点引出的三条棱的长分别是10厘米、6厘米和4厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【变式训练1】用两个完全一样的长方体木块（如下图）拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米，最大是( )平方厘米。 【变式训练2】一个长方体香皂盒，它的长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米。这个香皂盒的上、下两个面的面积都是( )平方厘米，前、后两个面的面积都是( )平方厘米，左、右两个面的面积都是( )平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 考点6：组合图形的表面积 【典型例题】一个长方体木块，从中挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 【变式训练1】图中，甲、乙两个立体图形表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 【变式训练2】由10个棱长为的小正方体拼成的几何体，如果从前面看到的形状是，那么从上面看到的图形面积最大是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 一、选择题 1．下面各图中，（    ）是正方体的平面展开图。 A． B． C． D． 2．用一根长是（    ）的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 A．28厘米 B．56厘米 C．90厘米 D．128厘米 3．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 4．棱长分别为5cm，4cm、3cm的长方体木箱，把它平放在地面上，占地面积至少是（    ）。 A． B． C． D． 5．如图是由同样大小的小正方体搭成的，想在此基础上继续拼摆成一个大正方体，至少还需要这样的小正方体（    ）。 A．8个 B．16个 C．24个 D．54个 二、填空题 6．看图填空。 如图是一个( )体。它共有( )个面，每个面都是( )形。它上面的长是( )厘米，宽是( )厘米。它前面的长是( )厘米，宽是( )厘米。它右面的长是( )厘米，宽是( )厘米。 7．下图中的长方体，前面的面积是( )平方分米，右面的面积是( )平方分米，底面的面积是( )平方分米。 8．把一根铁丝折成长是9厘米、宽是7厘米、高是4厘米的一个长方体框架正好没有剩余。这根铁丝的长是( )厘米。 9．用一根长是24厘米的铁丝做成一个正方体模型，如果在这个模型的外表糊上塑料薄膜，至少要用( )平方厘米塑料薄膜。 10．一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，这个长方体的所有棱长之和是( )厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )厘米，剩余部分的体积是( )立方厘米。 11．用铁丝焊成一个长方体框架（如图），做这个框架至少需要铁丝( )cm，这个长方体占地面积最小是( )cm2。 12．有一个正方体小木块，它的六个面分别涂有不同的颜色。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的红色面与( )色面相对，黄色面与( )色面相对，绿色面与( )色面相对。 13．一根铁丝可以做一个棱长是4厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体框架的高是( )厘米。 14．制作一个长30cm，宽20cm，高15cm的长方体纸盒，至少需要( )cm2的纸板；将这个做好的纸盒放在桌子上，所占桌子的面积最大是( )cm2。 15．小卖部要做一个长2.2m、宽50cm、高80cm的玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角钢，至少需要( )m的角钢。 16．把一个长8厘米，宽和高都是4厘米的长方体，沿着垂直于长的方向切成两个长方体，这时它的表面积增加了( )平方厘米。 17．如图所示制作这样一个长方体框架，共需要铁丝( )厘米。 三、判断题 18．一个长是20米、宽是10米、高是5米的长方体货箱，占地面积是1000平方米。( ) 19．正方体的每个面一定都是正方形，长方体的每个面一定都是长方形。( ) 20．用一根长是36厘米的铁丝做一个正方体模型，棱长应该是6厘米。( ) 21．长方体的12条棱可以分成3组，分别是长方体的长、宽和高。( ) 22．正方体的棱长是a时，它的表面积是6a2。( ) 四、计算题 23．计算下面图形的表面积。                      （单位：dm） 五、解答题 24．把下面这个展开图折成长方体。 （1）如果B面在下面，那么哪一面在上面？ （2）如果C面在前面，从右面看是F面，那么哪一面在下面？ 25．张师傅要做一个长方体木箱，他已经做了四块宽都是3分米的木板，如下图。你知道剩下的两块木板的长、宽分别是多少分米吗？ 26．把一个正方体木块锯成两个小长方体，表面积增加了18平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 27．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 28．一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。 （1）请你设计一种符合要求的包装箱。 （2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 29．如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 （1）每个小长方体的表面积是多少平方分米？ （2）两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元：长方体和正方体 单元知识清单 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：长方体和正方体的棱长和 长方体棱长之和：（长+宽+高）×4     正方体棱长之和：棱长×12  知识点02：长方体和正方体的表面积 长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2   正方体表面积=棱长×棱长×6 知识点03：求长方体和正方体的表面积的实际问题 1.并不是所有物体都有6个面： （1）6个面：长方体或正方体：油箱、罐头盒、纸箱等 （2）5个面：长方体或正方体：水池、鱼缸等 （3）4个面：长方体或正方体：通风管等 2.物体截成几段，增加一个截口就增加2个截面（增加面的个数=截口数×2） 考点1：长方体与正方体棱长 【典型例题】一个长方体，长是9分米，宽是7分米，高是6分米，它的棱长总和是（    ）分米。 A．88 B．156 C．192 【答案】A 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据解答即可。 【详解】（9＋7＋6）×4 ＝22×4 ＝88（分米） 所以它的棱长总和是88分米。 故答案为：A 【变式训练1】有一个长6厘米，宽3厘米，高3厘米的长方体铁丝框架，如果用这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 【答案】B 【分析】由题意知：长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和。先求得长方体的棱长总和，再除以12，好可得长方体的棱长。据此解答。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 故答案为：B 【点睛】掌握长方体和正方体的棱长总和计算方法是解答本题的关键。 【变式训练2】用一根56厘米长的铁丝可以焊成个长6厘米、宽5厘米、高（    ）厘米的长方体教具。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【分析】根据题意，56厘米就是长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此用棱长之和除以4，再减去长和宽即可求出长方体的高。 【详解】（厘米） （厘米） 用一根56厘米长的铁丝可以焊成个长6厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体教具。 故答案为：B 【点睛】掌握长方体的棱长之和公式并灵活运用是解题的关键。 考点2：长方体和正方体的展开图 【典型例题】下面图形（    ）沿虚线折叠后不能围成长方体。 A． B． C． 【答案】C 【分析】根据长方体展开图的特征进行解答。 【详解】 A．，符合长方体展开图的“1－4－1”型，能折叠成长方体； B．，符合长方体展开图的“1－4－1”型，能折叠成长方体； C．，不符合长方体展开图的特征，不能折叠成长方体。 故答案为：C 【点睛】熟记长方体展开图的特征是解答本题的关键。 【变式训练1】如图是一个正方体表面展开图，与3号面相对的面是(    )号面。 A．5 B．6 C．4 【答案】B 【分析】正方体展开图中相对的面具有以下特点：相对的两个面在展开图中不相邻，即它们之间隔着其他的面。沿着正方体的棱折叠时，相对的面会完全重合。据此解答。 【详解】根据分析可得： 1和5相对，2和4相对，3和6相对。 这个正方体表面展开图，与3号面相对的面是6号面。 故答案为：B 【变式训练2】下图是每个面上分别标有“防、控、就、是、责、任”的一个正方体的三种不同摆法。与“防”“控”“任”相对的面分别是（    ）。 A．就，责，是 B．责，是，就 C．是，就，责 【答案】A 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形。 由图一和图二可知，“防”与“控”、“任”、“是”、“责”相邻，那么“防”与“就”相对； 由图一和图三可知，“任”与“防”、“控”、“就”、“责”相邻，那么“任”与“是”相对； 由此可知，“控”与“责”相对。 【详解】与“防”相对的面是“就”； 与“控”相对的面是“责”； 与“任”相对的面是“是”。 故答案为：A 考点3：正方体的表面积 【典型例题】一个正方体的棱长用a表示，这个正方体的表面积用算式表示为（    ）。 A．12a B．6a2 C．6a3 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把棱长a代入公式，并把算式写为最简形式即可。 【详解】一个正方体的棱长用a表示，这个正方体的表面积用算式表示为6a2。 故答案为：B 【变式训练1】一个正方体的表面积是24平方厘米，这个正方体的棱长是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】正方体的表面积公式为6×棱长2，题目中已经告诉了我们表面积是24平方厘米，接下来只要把表面积除以6就能得到棱长的平方的值，然后找出看哪个数的平方等于这个数，就能得到棱长的长度。 【详解】24÷6＝4（平方厘米） 2×2＝4（厘米） 正方体的棱长是2厘米。 故答案为：A 【点睛】这道题考查了正方体的表面积公式，要求我们学会灵活运用这个公式。 【变式训练2】正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．9 C．27 【答案】B 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，根据积的变化规律，因数乘几，积跟着乘几，正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（3×3）倍，据此分析。 【详解】3×3＝9 正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的9倍。 故答案为：B 考点4：立体图形的拼切 【典型例题】把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了（    ）。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】由题意可知，表面积减少的是正方体的两个面，根据，代入数据求出正方形的面积再乘2即可得解。 【详解】 （cm2） 把两个棱长为的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了18。 故答案为：D 【变式训练1】把棱长是5厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了（    ）平方厘米。 A．50 B．25 C．10 【答案】A 【分析】当两个正方体拼成一个长方体时，两个正方体各有一个面重合，也就是表面积减少了2个正方形的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了多少平方厘米。 【详解】5×5×2＝50（平方厘米） 即长方体的表面积比两个正方体表面积之和减少了50平方厘米。 故答案为：A 【变式训练2】把一个长12厘米、宽6厘米、高6厘米的长方体照下图切三刀，切后的表面积之和比原来增加了（    ）平方厘米。 A．360 B．180 C．144 D．72 【答案】A 【分析】长方体中间切一刀，会增加两个切面的面积；垂直于长方体长的切法，此时增加了左面和右面的面积；当垂直于高的切法，此时增加了上面和下面的面积；当垂直于宽的切法时，此时增加了前面和后面的面积，由此即可知道按照图中的方法切了三刀，相当于增加了一个长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 【详解】由分析可知： 切了三刀会增加一个长方体的表面积。 （12×6＋12×6＋6×6）×2 ＝（72＋72＋36）×2 ＝180×2 ＝360（平方厘米） 切后的表面积之和比原来增加了360平方厘米。 故答案为：A 考点5：长方体的表面积 【典型例题】从长方体的一个顶点引出的三条棱的长分别是10厘米、6厘米和4厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】248 【分析】根据长方体的特征可知，从长方体的一个顶点引出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求出它的表面积。 【详解】（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝124×2 ＝248（平方厘米） 它的表面积是248平方厘米。 【变式训练1】用两个完全一样的长方体木块（如下图）拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米，最大是( )平方厘米。 【答案】 192 222 【分析】先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出一个长方体木块的表面积，再乘2，即是两个完全一样的长方体木块的表面积之和； 因为6×5＞6×3＞5×3，让长方体中面积最小的面重合，会使拼成的长方体表面积最大，用两个木块的表面积之和减去2个“5×3”的面积，即是拼成的长方体最大的表面积；让长方体中面积最大的面重合，会使拼成的长方体表面积最小，用两个木块的表面积之和减去2个“6×5”的面积，即是拼成的长方体最小的表面积。 【详解】原来2个长方体的表面积之和： （6×3＋6×5＋3×5）×2×2 ＝（18＋30＋15）×2×2 ＝63×2×2 ＝252（平方厘米） 拼成的长方体表面积最小： 252－6×5×2 ＝252－60 ＝192（平方厘米） 拼成的长方体表面积最大： 252－5×3×2 ＝252－30 ＝222（平方厘米） 这个长方体的表面积最小是192平方厘米，最大是222平方厘米。 【变式训练2】一个长方体香皂盒，它的长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米。这个香皂盒的上、下两个面的面积都是( )平方厘米，前、后两个面的面积都是( )平方厘米，左、右两个面的面积都是( )平方厘米，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】 48 32 24 208 【分析】上下每个面的面积＝长×宽，前后每个面的面积＝长×高，左右每个面的面积＝宽×高，长方体表面积＝（上下每个面的面积＋前后每个面的面积＋左右每个面的面积）×2，据此列式计算。 【详解】8×6＝48（平方厘米） 8×4＝32（平方厘米） 6×4＝24（平方厘米） （48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 这个香皂盒的上、下两个面的面积都是48平方厘米，前、后两个面的面积都是32平方厘米，左、右两个面的面积都是24平方厘米，它的表面积是208平方厘米。 考点6：组合图形的表面积 【典型例题】一个长方体木块，从中挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 【答案】B 【分析】如图挖掉一小块，看上去表面积减少了3个正方形的面，但是从里面又出现了同样的3个正方形的面，因此它的表面积不变，据此分析。 【详解】根据分析，一个长方体木块，从中挖掉一小块后（如图），因为面的总数没变，它的表面积和原来同样大。 故答案为：B 【变式训练1】图中，甲、乙两个立体图形表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 【答案】C 【分析】假设每个小正方体的一个面的面积是1； 甲图：上面有4个面，下面有4个面，左边有4个面，右边有4个面，前面有4个面，后面有4个面，一共有4×6个面；进而求出表面积； 乙图：上面有5个面，下面有5个面，左边有3个面，右边有3个面积，前面有5个面，后面有5个面，一共有5×4＋3×2个面，进而求出表面积，再进行比较，即可解答。 【详解】假设每个小正方体的一个面的面积是1。 甲图：4×6×1 ＝24×1 ＝24 乙图：（5×4＋3×2）×1 ＝（20＋6）×1 ＝26×1 ＝26 24＜26，即甲＜乙。 图中，甲、乙两个立体图形表面积的大小关系是甲＜乙。 故答案为：C 【变式训练2】由10个棱长为的小正方体拼成的几何体，如果从前面看到的形状是，那么从上面看到的图形面积最大是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】 根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，求出小正方体一个面的面积；从前面看到的形状是，这个几何体有2层，上层至少需要2个小正方体，所以从上面最多能看到10－2＝8个小正方形，据此求出从上面看到的图形面积最大。 【详解】根据分析可知，看到的图像面积最大是： （10－2）×（1×1） ＝8×1 ＝8（cm2） 从上面看到的图形面积最大的是8cm2。 故答案为：B 一、选择题 1．下面各图中，（    ）是正方体的平面展开图。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”型，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”型，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”型，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1－3－2”型，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【详解】A．围成几何体时，有两个面重合，少另一个面，不符合正方体展开图的特征，不符合题意； B．换个方向看，属于“2－2－2”型，是正方体的展开图，能围成正方体，符合题意； C．正方体有6个大小相等的面，该选项有7个面，不符合正方体展开图的特征，不符合题意； D．围成几何体时，有两个面重合，少另一个面，不符合正方体展开图的特征，不符合题意。 故答案为：B 2．用一根长是（    ）的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 A．28厘米 B．56厘米 C．90厘米 D．128厘米 【答案】B 【分析】根据题意，用一根铁丝做一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【详解】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（厘米） 用一根长是56厘米的铁丝正好可以做一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体框架。 故答案为：B 3．有一根铁丝，恰好可以围成长6厘米、宽3厘米、高3厘米的长方体框架，这根铁丝恰好也可以围成一个正方体框架，则围成的正方体框架的棱长是（    ）厘米。 A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度，铁丝的长度也是正方体框架的总棱长，再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。 【详解】（6＋3＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 48÷12＝4（厘米） 则围成的正方体框架的棱长是4厘米。 故答案为：B 4．棱长分别为5cm，4cm、3cm的长方体木箱，把它平放在地面上，占地面积至少是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先明确：长方体的占地面积即为底面积，要求占地面积至少，即是求底面积最小的放法；由上步分析可知应以长4cm、宽3cm为底面放置木箱，进而根据长方体的底面积＝长×宽即可求解，据此解答。 【详解】3×4＝12（cm2） 占地面积至少是12cm2。 故答案为：A 【点睛】本题是一道关于长方体表面积方面的题目，可依据对长方体的认识以及长方形的面积计算方法求解。 5．如图是由同样大小的小正方体搭成的，想在此基础上继续拼摆成一个大正方体，至少还需要这样的小正方体（    ）。 A．8个 B．16个 C．24个 D．54个 【答案】D 【分析】找出图形中最长的一边为正方体的棱长，最长的有4块小正方体，那么拼成一个长、宽、高都为4个正方体的大正方体需要4×4×4＝64（个）小正方体，再利用总数减掉图中已有的10个即可。 【详解】4×4×4－10 ＝64－10 ＝54（个） 故答案为：D。 【点睛】本题考查了正方体的特征。 二、填空题 6．看图填空。 如图是一个( )体。它共有( )个面，每个面都是( )形。它上面的长是( )厘米，宽是( )厘米。它前面的长是( )厘米，宽是( )厘米。它右面的长是( )厘米，宽是( )厘米。 【答案】 长方 6 长方 8 6 8 4 6 4 【分析】长方体定义：由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。 长方体特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 【详解】根据分析可知，如图是一个长方体。它共有6个面，每个面都是长方形。它上面的长是8厘米，宽是6厘米。它前面的长是8厘米，宽是4厘米。它右面的长是6厘米，宽是4厘米。 7．下图中的长方体，前面的面积是( )平方分米，右面的面积是( )平方分米，底面的面积是( )平方分米。 【答案】 40 15 24 【分析】根据长方形的面积＝长宽，观察可知长方体前面是一个长8分米，宽5分米的长方形，右面是一个长5分米，宽3分米的长方形，底面是一个长8分米，宽3分米的长方形，分别代入长方形的面积公式计算即可得解。 【详解】（平方分米） （平方分米） （平方分米） 长方体前面的面积是40平方分米，右面的面积是15平方分米，底面的面积是24平方分米。 8．把一根铁丝折成长是9厘米、宽是7厘米、高是4厘米的一个长方体框架正好没有剩余。这根铁丝的长是( )厘米。 【答案】80 【分析】长方体的长、宽、高个各有4条，长方体的棱长总和是就是铁丝的长度，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4进行计算即可。 【详解】（9＋7＋4）×4 ＝20×4 ＝80（厘米） 所以，这根铁丝的长是80厘米。 9．用一根长是24厘米的铁丝做成一个正方体模型，如果在这个模型的外表糊上塑料薄膜，至少要用( )平方厘米塑料薄膜。 【答案】24 【分析】根据题意，用一根长是24厘米的铁丝做成一个正方体模型，那么这个正方体模型的棱长总和等于铁丝的长度； 根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体模型的棱长； 如果在这个模型的外表糊上塑料薄膜，求至少要用塑料薄膜的面积，就是求模型的表面积；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可求解。 【详解】24÷12＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 至少要用24平方厘米塑料薄膜。 10．一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，这个长方体的所有棱长之和是( )厘米，这个长方体的体积是( )立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )厘米，剩余部分的体积是( )立方厘米。 【答案】 76 240 5 115 【分析】（1）根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求出这个长方体的棱长总和； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出这个长方体的体积； （3）从这个长方体切割下一个最大的正方体，因为长方体中高最短，所以正方体的棱长等于长方体的高时最大； （4）先根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积，即是剩余部分的体积。 【详解】（1）（8＋6＋5）×4 ＝19×4 ＝76（厘米） （2）8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） （3）5＜6＜8，所以正方体的棱长是5厘米。 （4）240－5×5×5 ＝240－125 ＝115（立方厘米） 这个长方体的所有棱长之和是76厘米，这个长方体的体积是240立方厘米；若从这个长方体切割下一个最大的正方体，这个正方体的棱长是5厘米，剩余部分的体积是115立方厘米。 11．用铁丝焊成一个长方体框架（如图），做这个框架至少需要铁丝( )cm，这个长方体占地面积最小是( )cm2。 【答案】 68 20 【分析】长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4；长方体的占地面积可以是长×宽、长×高、宽×高这三个面的面积中的一个面，代入数值计算出这三个面的面积，再比较大小即可得出最小的占地面积。 【详解】铁丝的总长度： （8＋4＋5）×4 ＝17×4 ＝68（cm）； 长方体占地面积分别是： 8×4＝32（cm2） 8×5＝40（cm2） 4×5＝20（cm2） 所以占地面积最小的是20cm2。 做这个框架至少需要铁丝（68）cm，这个长方体占地面积最小是（20）cm2。 12．有一个正方体小木块，它的六个面分别涂有不同的颜色。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的红色面与( )色面相对，黄色面与( )色面相对，绿色面与( )色面相对。 【答案】 黑 白 蓝 【分析】根据正方体展开图的特征，相邻必不相对，结合题干中的三幅图示分析解答即可。 【详解】根据图示，白和绿、红、黑、蓝相邻，所以白和黄相对； 红和绿、白、黄、蓝相邻，所以红和黑相对； 由此可知蓝和绿相对。 所以木块上的红色面与黑色面相对，黄色面与白色面相对，绿色面与蓝色面相对。 13．一根铁丝可以做一个棱长是4厘米的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长6厘米、宽3厘米的长方体框架，长方体框架的高是( )厘米。 【答案】3 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用4×12即可求出铁丝的长度；再根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用铁丝的长度÷4－6－3即可求出长方体框架的高。 【详解】4×12＝48（厘米） 48÷4－6－3＝3（厘米） 长方体框架的高是3厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体棱长和公式、长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 14．制作一个长30cm，宽20cm，高15cm的长方体纸盒，至少需要( )cm2的纸板；将这个做好的纸盒放在桌子上，所占桌子的面积最大是( )cm2。 【答案】 2700 600 【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据求出需要多少纸板； 长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，本题中，想要占桌子的面积最大，就是把长方体中最大的一个长方形向下摆放在桌子上，即长30cm，宽20cm这个面，根据长方形面积公式：S＝长×宽，代入数据求值即可。 【详解】由分析可得： （30×20＋30×15＋20×15）×2 ＝（600＋450＋300）×2 ＝（1050＋300）×2 ＝1350×2 ＝2700（cm2） 30×20＝600（cm2） 综上所述：制作一个长30cm，宽20cm，高15cm的长方体纸盒，至少需要2700cm2的纸板；将这个做好的纸盒放在桌子上，所占桌子的面积最大是600cm2。 【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式以及长方形面积公式，需要熟练掌握并且能够结合实际灵活运用。 15．小卖部要做一个长2.2m、宽50cm、高80cm的玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角钢，至少需要( )m的角钢。 【答案】14 【分析】根据题意，求柜台各边都安上角钢的长度，就是求这个长方体柜台的棱长总和，根据长方体棱长总和：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】50cm＝0.5m；80cm＝0.8m （2.2＋0.5＋0.8）×4 ＝（2.7＋0.8）×4 ＝3.5×4 ＝14（m） 小卖部要做一个长2.2m、宽50cm、高80cm的玻璃柜台。现在要在柜台各边都安上角钢，至少需要14m的角钢。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的应用，注意单位名数的统一。 16．把一个长8厘米，宽和高都是4厘米的长方体，沿着垂直于长的方向切成两个长方体，这时它的表面积增加了( )平方厘米。 【答案】32 【分析】根据图可知，长方体切成两个小正方体，会增加两个切面的面积，切面是一个边长为4厘米的正方形，根据正方形的面积公式：边长×边长，把数代入求出一个切面的面积，再乘2即可求解。 【详解】4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 这时它的表面积增加了32平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，关键是找准切面是解题的关键。 17．如图所示制作这样一个长方体框架，共需要铁丝( )厘米。 【答案】52 【分析】图中的三个数据分别是长方体的长、宽、高，求铁丝的长度就是求长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算。 【详解】 ＝52（厘米） 则共需要铁丝52厘米。 【点睛】掌握长方体的棱长之和公式是解题的关键。 三、判断题 18．一个长是20米、宽是10米、高是5米的长方体货箱，占地面积是1000平方米。( ) 【答案】× 【分析】面积的意义：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。长方体货箱的占地面积指的是底面积，长是20米、宽是10米。根据长方体底面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】20×10＝200（平方米） 占地面积是200平方米，原题说法错误。 故答案为：× 19．正方体的每个面一定都是正方形，长方体的每个面一定都是长方形。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体的特征：正方体的所有棱长都相等，则正方体的所有面都相等，即所有面都是正方形；再根据长方体的特征：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答。 【详解】由分析可知：正方体的每个面一定都是正方形，长方体的每个面不一定都是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形。 所以原题说法错误。 故答案为：× 20．用一根长是36厘米的铁丝做一个正方体模型，棱长应该是6厘米。( ) 【答案】× 【分析】由题意可知，这根铁丝的长度就是正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用铁丝的长度除以12即可得解。 【详解】（厘米） 用一根长是36厘米的铁丝做一个正方体模型，棱长应该是3厘米。原题说法错误。 故答案为：× 21．长方体的12条棱可以分成3组，分别是长方体的长、宽和高。( ) 【答案】√ 【分析】根据长方体的特征，长方体有4条长，4条宽，4条高，组成12条棱长。据此解答。 【详解】据分析可知，长方体的12条棱可以分成3组，分别是长方体的长、宽和高。原题说法正确。 故答案为：√ 22．正方体的棱长是a时，它的表面积是6a2。( ) 【答案】√ 【分析】已知正方体的棱长是a，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把字母代入公式中化简即可。 【详解】a×a×6＝6a2 正方体的棱长是a时，它的表面积是6a2。 原题说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 23．计算下面图形的表面积。                      （单位：dm） 【答案】150cm2；306dm2 【分析】将数据代入正方体表面积公式：S＝6a2计算即可； 图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的侧面面积（4个正方形面的面积），将数据代入长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体表面积公式：S＝6a2，计算即可。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） （10×7＋10×3＋7×3）×2＋4×4×4 ＝（70＋30＋21）×2＋4×4×4 ＝121×2＋16×4 ＝242＋64 ＝306（dm2） 正方体的表面积是150cm2，组合体的表面积是306dm2。 五、解答题 24．把下面这个展开图折成长方体。 （1）如果B面在下面，那么哪一面在上面？ （2）如果C面在前面，从右面看是F面，那么哪一面在下面？ 【答案】（1）D面在上面 （2）B面在下面 【分析】长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 想象把长方体展开图折成长方体，相对的面为：A与F相对，B与D相对，C与E相对。 （1）如果B面在底部，则与B面相对的D面在上面。 （2）如果C面在前面，F面在右面，则E面在后面，A面在左面，B面在下面，D面在上面。 据此分析即可。 【详解】（1）如果B面在下面，那么D面在上面； （2）如果C面在前面，从右面看是F面，B面在下面。 25．张师傅要做一个长方体木箱，他已经做了四块宽都是3分米的木板，如下图。你知道剩下的两块木板的长、宽分别是多少分米吗？ 【答案】长：8分米；宽：5分米 【分析】长方体定义：由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。 长方体特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【详解】因为长方体相对面相等，所以剩下的两块木板的长是8分米，宽是5分米。 答：剩下的两块木板的长是8分米，宽是5分米。 26．把一个正方体木块锯成两个小长方体，表面积增加了18平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】54平方厘米 【分析】看图可知，增加的表面积是两个正方形的面积，那么将18平方厘米除以2，可求出一个正方形的面积。这个正方形和正方体的每个面都相同，正方体一共有6个面，那么将每个面的面积乘6，即可求出原来正方体的表面积。 【详解】18÷2×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 答：原正方体的表面积是54平方厘米。 27．张亮想按照如图方式，在盒子上扎根带子，另外要剩25厘米用来打蝴蝶结。张亮需要的带子长多少厘米？ 【答案】77厘米 【分析】根据图形可知，所需带子的长度等于2条长棱＋两条宽棱＋4条高棱＋打结用的25厘米。由此列式解答。 【详解】12×2＋8×2＋3×4＋25 ＝24＋16＋12＋25 ＝40＋12＋25 ＝52＋25 ＝77（厘米） 答：张亮需要的带子长77厘米。 28．一种汽车玩具包装盒如下图。玩具厂生产的汽车玩具在出厂前计划用一种长方体纸箱装这种汽车玩具盒，每箱装18盒。 （1）请你设计一种符合要求的包装箱。 （2）与同学议一议：谁设计的包装箱用料最少？最少是多少？ 【答案】（1）包装箱的长180厘米；宽12厘米；高12厘米（答案不唯一） （2）包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米；最少5472平方厘米 【分析】 （1）如图，可以设计一种能放下2层汽车玩具盒的包装箱，包装箱的长＝汽车玩具盒的长×9，包装箱的宽＝汽车玩具盒的宽，包装箱的高＝汽车玩具盒的高×2，据此分析，答案不唯一。 （2）要想用料最少，尽可能的将玩具盒较大较多的面拼起来，如图、、三种拼法，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出表面积，比较即可。 【详解】（1）20×9＝180（厘米） 6×2＝12（厘米） 答：可以设计一种长180厘米，宽12厘米，高12厘米的包装箱。 （2）长：20厘米 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×6＝36（厘米） （20×36＋20×36＋36×36）×2 ＝（720＋720＋1296）×2 ＝2736×2 ＝5472（平方厘米） 长：20×2＝40（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×3＝18（厘米） （40×36＋40×18＋36×18）×2 ＝（1440＋720＋648）×2 ＝2808×2 ＝5616（平方厘米） 长：20×3＝60（厘米） 宽：12×3＝36（厘米） 高：6×2＝12（厘米） （60×36＋60×12＋36×12）×2 ＝（2160＋720＋432）×2 ＝3312×2 ＝6624（平方厘米） 6624＞5616＞5472 答：当包装箱长20厘米、宽36厘米，高36厘米时用料最少，最少是5472平方厘米。 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积公式。 29．如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 （1）每个小长方体的表面积是多少平方分米？ （2）两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 【答案】（1）256平方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）根据题意，切成两个完全一样的小长方体，则切成的长方体的长等于原正方体棱长的一半，宽等于原正方体的棱长，高等于原正方体的棱长，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； （2）把正方体切成两个一样的长方体，两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多原来正方体的两个面的面积，据此解答。 【详解】（1）8÷2＝4（分米） （4×8＋4×8＋8×8） ＝（32＋32＋64）×2 ＝（64＋64）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 答：每个小正方体的表面积是256平方分米。 （2）8×8×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多128平方分米。 【点睛】解答本题的关键明确切成的小长方体长、宽、高与原正方体棱长之间的关系，进而解答。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $