1.6.1 余弦定理同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.1　余弦定理 一、必备知识基础练 1.在△ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=3,∠A=60°,则c=(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 2.如图,一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30 m,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为45°,沿直线步行1 min 后在B点观察塔顶,仰角为30°,若∠ADB=30°,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为(　　) A.1 m/s B. m/s C. m/s D. m/s 3.(多选题)在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a∶b∶c=5∶6∶7,则sin C=(　　) A. B. C. D. 5.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 6.在△ABC中,已知a-b=4,a+c=2b,且最大内角为120°,则该三角形的周长为　　　;最小角的余弦值为　　　　　.  7.(2025甘肃白银高一期末)在锐角三角形ABC中,内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b-3cos C=ccos A,则a=　　　　　.  二、关键能力提升练 8.(多选题)(2025甘肃金昌高一期末)在△ABC中,AB=,AC=1,M为BC的中点,∠MAC=60°,则下列说法正确的有(　　) A.AM= B.BC=4 C.cos B= D.∠C为钝角 9.在△ABC中,a,b,c为内角∠A,∠B,∠C的对边,且b2=ac,则∠B的取值范围是(　　) A. B. C. D. 10.在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,AB=3,BC=2,AC=,则sin∠ABD=　　　.  11.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　　　.  12.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围. 三、学科素养创新练 13.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1. (1)求∠C的大小; (2)求AB的长. 14.在锐角三角形ABC中,内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos 2A=1. (1)求∠A; (2)若a=2,求△ABC周长的最大值. 参考答案 1.C　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0, 解得c=4(负值舍去). 2.D　依题意,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30 m. 在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°, 则BD==30(m). 在△ADB中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, 即AB2=302+(30)2-2×30×30cos 30°=900, 解得AB=30 m. 所以此人的步行速度为 m/s.故选D. 3.ACD　若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3, ∴a>,故<a<. 4.D　因为a∶b∶c=5∶6∶7,所以设a=5m,b=6m,c=7m,m∈R,结合余弦定理得cos C=.因为∠C∈(0,π),所以sin C>0,因此sin C=.故选D. 5.B　在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理,得cos A=, ∴∠A=60°.∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=. 故选B. 6.30　　由a-b=4,a+c=2b,得b=a-4,c=a-8, 所以a>b,a>c,即a是最长边,所以角A最大.由余弦定理,得cos 120°=,解得a=14(a=4舍去),所以b=10,c=6,故△ABC的周长为30. 最小内角为∠C,cos C=. 7.3　依题意,b-3cos C=ccos A,由余弦定理得b-3·=c·,整理得(a2+b2-c2)·a=3(a2+b2-c2). 因为△ABC是锐角三角形,所以a2+b2-c2>0,则a=3. 8.AC　在△ABM和△ACM中,设BM=CM=x,AM=y,则cos∠AMB=,cos∠AMC=. 又因为cos∠AMB=-cos∠AMC,可得=-,化简为x2+y2=4. ① 在△ACM中,cos 60°=. ② 由①②,可得y=(负值舍去),则x=(负值舍去), 因此AM=,BC=. 在△ABC中,cos B=.又cos C=>0,所以∠C为锐角.故选AC. 9.A　cos B=,当且仅当a=c时取等号. ∵0<∠B<π,∴∠B∈. 10.　因为BD为∠ABC的平分线,所以∠ABD=∠ABC.由余弦定理,得cos∠ABC=,所以cos∠ABC=1-2sin2∠ABD=, 所以sin∠ABD=. 11.　因为sin∠BAC=,且AD⊥AC, 所以sin,所以cos∠BAD=. 在△BAD中,由余弦定理,得 BD===. 12.解因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长, 所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2.设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°,所以cos θ=<0,解得<a<8. 综上可知实数a的取值范围是(2,8). 13.解(1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且∠C∈(0,π),∴∠C=. (2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10,∴AB=. 14.解(1)由2sin22A+cos 2A=1,得2(1-cos22A)+cos 2A=1,即2cos22A-cos 2A-1=0. 因为△ABC是锐角三角形,所以∠A∈(0,), 所以2∠A∈(0,π),所以cos 2A=-, 所以2∠A=,即∠A=. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A. 因为a=2,∠A=, 所以12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2=, 当且仅当b=c时取等号,所以(b+c)2≤48,即b+c≤4, 所以a+b+c≤6,当b=c=a=2时取等号. 所以△ABC周长的最大值为6. 6 学科网（北京）股份有限公司 $